学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学试题解析版Word下载.docx
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0,表示的平面区城为（）
7
x+y-l<
【解析】采用排除法可得答案.
【详解】由xno,排除&
c.
由x=O,y=O满足x+）」l<
0知A符合,
本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，属于基础题.
8.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则其向上一面的点数为偶数的概率为（）
1111
A.-B.-C.-D.-
6432
【解析】利用列举法可得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结果.
随机抛掷一枚骰子，向上点数有1,2,3,4,5,6共6种，为偶数的为2,4,6共3
31
种情况，则概率为一=—.
62
本题考查了利用列举法求占典概型的概率，属于基础题.
8.已知直线心y=x+i,/2：
y=kx-l9若则实数k等于（）
A.-1B.0C.1D.2
【解析】根据两条直线的斜率乘积等于-1可得结果.
因为直线4：
y=x+i,/2：
y=kx-i,且/J*
所以lxk=—l,即k=T.
本题考查了由两条直线垂直求参数值，属于基础题.
9.不等式V—x—2>
0的解集是（）
A.{止1cx<
2}B.卜,<
-2或%>
1}
C.{止2cx<
1}D.{中<
-1或x>
2}
【解析】根据二次不等式的解法求解即可.
由/一工一2>
0即（x+l）（x—2）>
0得x<
—l或x>
2.
所以原不等式的解集为：
或x>
2}.
本题考查一元二次不等式的解法，属于简单题.
3
10.已知。
是第二象限的角，且cosa=—§
则sin2。
等于（）
24121224
A.C.—D.—
25252525
【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式求解.
因为。
是第二象限的角，
所以sina=11-2=3,
siii2a=2sinacosa=2x-x
24
25
A
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于容易题.
11.已知4=log67,/?
=log76,c=log70.6,则。
，b,C的大小关系是（）
A.a<
b<
c
B.c<
a
C.c<
a<
b
D.a<
c<
【答案】B
【解析】根据对数函数的单调性可得。
>
1，0<
/?
<
1,C<
0.
由"
log67>
log66=1,
b=log76<
log77=1且b>
log-1=0,即0vbv1,
c=log70.6<
log71=0,即
B.
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
12.函数y=，sinx+立cos工的最大值是（）
【解析】先利用辅助角公式化简整理，再利用三角函数的值域求解最大值即可.
由y」smx+3c°
sx=
.22
=su】2
I3J
又函数》=sinx+g的值域为
\3）
则函数广如1+冬。
SX的最大值为1.
c.
【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及求三角函数的最值问题,属于较易题.
13.已知函数），=/,y=bx,y=c'
的图象如图所示，则实数〃，b,。
的大小关系
是（）
A.a<
cB.b<
a<
C.b<
aD.c<
【解析】取x=l，根据指数函数的图象可得结果.
当x取1时，三个函数的函数值分别为。
，b,C,由图知故选：
本题考查了指数函数的图象的应用，属于基础题.
14
A.1，2]
.函数=的定义域为（）
B.（1,2]C.（-00,2]D.（1,+8）
【解析】根据函数有意义的条件列出关于X的不等式组，解对数不等式组即可:
X>
1,
X-1<
x-l>
0,
log】（x-l）>
0»
解得所以l<
x<
本题考查了函数定义域的求解，其中主要考查了对数及根式有意义的条件，属于简单题,解题的关键在于对数不等式的解法的掌握.
15
.用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.已知墙长20米，则菜园面积的最大值是（）
36-V
【解析】设菜园靠墙一边的长为X米，则矩形菜园的宽为二一米，且0<
20,根据矩形的面积公式得到矩形的面枳，再根据基本不等式求出最大值即可得解.
36—丫
设菜园靠墙一边的长为X米，则矩形菜园的宽为工^米，且0<
x«
20,
2
x=36—x即x=18时等号成立,
本题考查了函数的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
二、填空题
16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为3,则输出的）的
.
【答案】2
【解析】根据程序框图判断框内的条件进行判断及运算即可.
根据程序框图可知，当x=3时，应执行步骤y=log2（x+l）=log24=2,
所以输出）'
的值为2.
故答案为：
2•
本题考查根据程序框图判断输出的结果，属于简单题.
17.已知|£
卜5,\b\=4f£
与5的夹角8=60°
则.
【答案】10
【解析】由。
•bTM-W-ose计算出答案即可
因为|。
|=5,|h|=4>
a与b的夹角6=60
所以。
・5=|4卜/?
•cos8=5x4xcos600=10
10
本题考查的是向量数量积的直接计算，属于基础题.
18.在△ABC中，AB=2»
A=45。
，C=30,则6C=.
【答案】2&
【解析】直接根据正弦定理可解得结果.
由正弦定理得里•二」也,smAsinC
BC2
所以7?
一工，得6c=2jl・T2
本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
以已知"
x）=Q（i）,m，则42）=——•
【解析】根据分段函数的解析式代入求值即可得解.
/
（2）=/（2-1）=/
（1）=21=2.
本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
20.已知函数〃x）=4W一丘-8.若对任意为，士45,20],且占工毛，均有/（不）。
/（毛），则实数出的取值范围.
【答案】
（y,40]U[160,+oo）
【解析】已知条件转化为函数AM在[5,20]上为单调函数，根据对称轴与区间端点的关系列式可解得结果.
依题意分析可知，函数AM在[5,20]上为单调函数，
_L_k
所以———45或———>
20,即ZK40或女2160.
2x42x4
（—s,40]U[160,+8）.
本题考查了二次函数的单调性，属于基础题.
三、解答题
21.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且生=5,d5=ll.
（1）求｛q｝的通项公式；
（2）若S“=120,求〃.
（1）%=2〃+1：
（2）10.
【解析】
（1）设等差数列｛〃”｝的首项为外，公差为d,由等差数列的通项公式代入
%=5,%=11，即可得解；
（2）由
（1）求出通项公式。
”，进而求出S“，代入求和公式即可的解.
（1）设等差数列｛4｝的首项为可,公差为d,
因为生=5,。
5=11，
所以q+d=5,q+4d=11,
解得q=3,d=2・
“=4+（〃—l）d=3+2（〃-1）=2〃+l,〃£
N*,
所以｛q｝的通项公式为%=2〃+1,〃GN”.
（2）由
（1）知q=3,=2〃+1,
因为S〃=120,
所以如包=120,2
nn（3+2〃+1）〃
即^<
-=120,
化简得〃2+2〃一120=0,
解得刀=10.
本题考查了等差数列基本量的计算，考查了等差数列的通项公式和求和公式，有一定的
计算量，难度不大，是基础题.
22.已知圆。
：
V+y=8,点"
（—1,2）,直线/过点4且倾斜角为a.
（1）判断点4与圆。
的位置关系，并说明理由；
（2）若a=：
求直线/被圆。
所戴得的弦A5的长.
4
（1）点々在圆。
内，理由见解析；
（2）晒.
（1）根据|北|<
，.可得结果；
（2）利用点斜式求出直线/的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线/的距离,根据勾股定理可求得弦长.
（1）点痣在圆。
内，理由如下：
由已知得圆。
的圆心为0（0,0）,半径「二2直，
因为《（一1,2）,所以|0周=J（_i）2+2?
=6.
因为|O引<
〃，所以点”在圆。
内.
（2）因为。
=」，所以直线/的斜率为—1.
因为直线/过点鸟（一1,2）,
所以直线/的方程为y—2=-（x+l）,即x+>
-l=0,
由圆心O到直线I的距离d=,
所以lABk2］（2&
j_孝=病.
本题考查了点与圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式，考查了点到直线的距离公式,属于基础题.
23.某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y（单位：
千元）的数据如表:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
年份代号，
1
5
6
人均纯收入）’
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求）‘关于，的线性回归方程；
（2）利用
（1）中的线性回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.
2（—）（丫-了）
附：
回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为〃=J,
f=l
a=y-bT
（1）夕=05+2.3；
（2）2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，7.8千元.
（1）根据根据最小二乘法估计公式，基础线性回归方程的基本量，即可得解：
（2）由
（1）知，〃=0.5>
0,故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐
年增加，将2020年的年份代号［=11代入1=0.5/+2.3,即可得解.
（1）由题意得丁=；
（1+2+3+4+5+6+7）=4,尸｝（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3,所以
_（-3）x（-1.4）+（-2）x（-l）+（-l）x（-0,7）+0x0.1+lx0.5+2x0.9+3xl.69+4+1+0+1+4+9
=—=0.5
28
所以力=了一〃7=4.3—0.5x4=2.3,
所以）'
关于t的线性回归方程为夕=0.5Z+2.3.
（2）由
（1）知，b=0.5>
0,
故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元,将2020年的年份代号％=11代入1=0.5f+2.3,
得9=0.5x11+2.3=7.8,
故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元.
本题考查了线性回归方程的计算，考杳了对线性回归方程各个量的理解以及线性回归方程的预测作用，在解题时公式已经给出，计算相对较为繁琐，属于中档题.
24.如图，在直四棱柱488—AdGR中，库面四边形A5CO的对角线AC,BD
互相平分，E为的中点.
（1）求证：
平面A£
C；
（2）若,则平面4EC_L平面8月试在三个条件“①四边形A6CQ是平行四边形；
②四边形A5CO是矩形；
③四边形A6CO是菱形”中选取一个，补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并证明.
（1）证明见解析：
（2）答案见解析，证明见解析.
（1）设ACn5O=O,连接。
石，由题意得8OJ/OE,利用线面平行的判定定理证明即可：
（2）先判断三个条件，判断选择的条件是③；
先利用菱形的特点得到ACLBD,又几何体为直四棱柱，得到。
R_L平面A5C。
，进而得到4C_LOR,利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明即可.
（1）证明：
如图，设Acnso=o,
为3。
的中点.
连接。
石，因为石为。
2的中点,
所以BDJ/OE.
又因为6%（Z平面AEC,OEu平面A£
C,
所以6D”平面AEC.
（2）解：
选择的条件是③.
证明如下：
因为四边形ABCO是菱形，
所以AC_L60,
因为四棱柱A5CQ—AdGR是直四棱柱，
所以0A_L平面A6C0,
因为4Cu平面468，
所以AC_L£
2，
因为6。
n。
。
]=d,
所以AC_L平面6月。
]。
，
因为人CU平面AEC,
所以平面AEC1平面BBQQ.
本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直，面面垂直的判定定理.属于中档题.
25.已知定义在R上的函数/（x）既是偶函数又是周期函数，4是它的一个周期，且
y=/（x）的图象关于点（1。
对称.
（1）试给出满足上述条件的一个函数，并加以证明；
（2）若TKxKl,f（x）=l-x2t写出/（x）的解析式和单调递增区间.
（1）/（x）=cosyx,证明见解析；
（2）
11—（x—4k>
，—l+4k（xKl+4k,
\keZ,单调递增区间是
[（x-2-4k）--1,1+4攵<
3+4k,
[―2+4攵,4k]（k£
Z）.
（I）/（x）=cosyX,根据偶函数的定义可证/（X）是偶函数；
根据周期函数乙
的定义可证4是函数/（X）的一个周期：
设4（.%,%）关于点（1,0）的对称点为
4（匕,乂），利用中点公式求出用（《兴），可证点《也在函数y=/（x）的图象上.
（2）利用对称性求出当1<
X<
3时，/（x）=（x—2f—1,再根据周期性可求出了（X）
的解析式：
先求出函数/（M在一个周期内的递增区间为[-Z0],再根据周期性得到函数的单调递增区间.
（1）/（^）=cos^-x
①因为函数"
X）的定义域为H，
且〃T）=C0S（—]x
=cos
所以/（X）是偶函数.
所以4是函数/（x）的一个周期.
③设4（X。
稣）在函数y=/（X）的图象上,
71
则兄二COS/，
设治）关于点（1,0）的对称点为兄（匕,乂），
工+>
T
2，=2-x0,
则〈,得到《.
儿+儿_0,1）0=->
0-
兀]兀,
兀一/a=_cos,*。
=-y0=y0,
所以点4'
也在函数y=/（x）的图象上,所以y=/（x）的图象关于点（L0）对称.综上，/（x）=cos^x是满足题设的一个函数.
（2）因为当T«
l时，/（x）=l-x2,且函数y=〃x）的图象关于点（LO）对称,所以当1cx<
3时，-1K2—XV1,所以
f（x）=-/（2--v）=-1一（2-x）~=（x-2）~-1,
因为的一个周期为4,
所以/（x）的解析式为
。
-（工-4&
『,-1+4kWl+4k,
、，ksZ,
［（%-2-4氏）-1,1+4&
<
3+4&
因为当1cx<
3时，/（6二。
-2）2—1的单调递增区间为［2,3］,
又/（x）的一个周期为4,所以/U）在［-2-1］上递增，
又/W在［—L0］上递增，所以/W在［-2,0］上递增，
所以“X）的单调递增区间为［―2+4k,4k］（k£
本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性，属于中档题.
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