初三动点抛物线.doc
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动点问题四（抛物线）
例1、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③设是②中函数S的最大值，那么=.
解：
（1）．所求二次函数的关系式为
（2）∵=
∴顶点M的坐标为过点M作MF轴于F
∴=
∴四边形AOCM的面积为10
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．
设点E的坐标为∴，∴∵，
∴∴∵>2，不满足．
∴不存在．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当时，；
ⅱ）当时，设点E的坐标为
∴，∴∴
ⅲ）当2<<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得
设点D的坐标为∴，
∴∴
=
③
例2.关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；
（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
解：
（1）据题意得：
，．当时，．
当时，．又抛物线与轴的交点在轴上方，．
4
3
2
1
1
2
3
4
（第2题）
抛物线的解析式为：
．
（2）解：
令，得．
当时，，，
．
当时，，
．
．
关于的函数关系是：
当时，；
当时，．
（3）当时，令，
得．解得（舍），或．
将代入，得．
当时，令，得．解得（舍），或．
将代入，得．
综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．
例3：
如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
由已知得：
C（0，－3），A（－1，0）将A、B、C三点的坐标代入得
解得：
所以这个二次函数的表达式为：
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
理由：
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）
由A、C、E、F四点的坐标得：
AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得
∴圆的半径为或．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．
当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．
例4已知：
如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？
解：
（1）在中，令
x
y
A
B
C
E
M
D
P
N
O
，，
又点在上
的解析式为
（2）由，得
，，
（3）过点作于点
由直线可得：
在中，，，则
，
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．
y
C
x
B
A
例5图
例5在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？
若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．
解：
（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，
由 解得
此二次函数的表达式为 ．
（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．
y
x
B
E
A
O
C
D
在中，令，则由，解得
．令，得．．
设过点的直线交于点，过点作轴于点．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
．
要使或，
已有，则只需， ①
或 ②成立．
若是①，则有．而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （负值舍去）．．
点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］
若是②，则有．而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （负值舍去）．．
点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
x
B
E
A
O
C
P
·
存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．
（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．
将点的坐标代入中，求得．
此直线的函数表达式为．
设点的坐标为，并代入，得．
解得（不合题意，舍去）．．
点的坐标为．此时，锐角．
例6
C
P
B
y
A
又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为．
当时，锐角；
当时，锐角；
当时，锐角．
例6如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
解：
（1）令，得解得
令，得∴ABC
（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB，∴PAB=
过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴
G
M
图2
C
B
y
P
A
解得，（不合题意，舍去）∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
（3）．假设存在
∵PAB=BAC=∴PAAC
∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=
在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=
G
M
图3
C
B
y
P
A
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
（ⅰ）当AMGPCA时，有=
∵AG=，MG=即
解得（舍去）（舍去）
（ⅱ）当MAGPCA时有=
即解得：
（舍去）∴M
②点M在轴右侧时，则
（ⅰ）当AMGPCA时有=∵AG=，MG=
∴解得（舍去）∴M
（ⅱ）当MAGPCA时有=即
解得：
（舍去）∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，
例7、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
例7
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：
当点运动到什么位置时，的面积最大？
并求出此时点的坐标和的最大面积.
（1）解：
设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为.
（2）答：
与⊙相交.
证明：
当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交.
（3）解：
如图，过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.
∵,
∴当时，的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）.
例8在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE=S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE=2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
解：
（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴抛物线顶点的坐标为（1，4）．
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴抛物线的解析式为（）．
∴此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵方程的两个根为，，
∴此时，抛物线与轴的交点为，．
E
y
x
F
B
D
A
O
C
如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE=S△BCF．
∵S△BCE=S△ABC，
∴S△BCF=S△ABC．
∴．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴．结合题意，解得．
∴点，．
设直线的解析式为，则
解
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