初三动点抛物线.doc

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动点问题四（抛物线）

例1、如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；

（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.

①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

③设是②中函数S的最大值，那么=.

解：

（1）．所求二次函数的关系式为

（2）∵=

∴顶点M的坐标为过点M作MF轴于F

∴=

∴四边形AOCM的面积为10

（3）①不存在DE∥OC

∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．

设点E的坐标为∴，∴∵，

∴∴∵>2，不满足．

∴不存在．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）

现分情况讨论如下：

ⅰ）当时，；

ⅱ）当时，设点E的坐标为

∴，∴∴

ⅲ）当2<<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得

设点D的坐标为∴，

∴∴

=

③

例2.关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．

（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；

（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

解：

（1）据题意得：

，．当时，．

当时，．又抛物线与轴的交点在轴上方，．

4

3

2

1

1

2

3

4

（第2题）

抛物线的解析式为：

．

（2）解：

令，得．

当时，，，

．

当时，，

．

．

关于的函数关系是：

当时，；

当时，．

（3）当时，令，

得．解得（舍），或．

将代入，得．

当时，令，得．解得（舍），或．

将代入，得．

综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．

例3：

如图在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？

求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

由已知得：

C（0，－3），A（－1，0）将A、B、C三点的坐标代入得

解得：

所以这个二次函数的表达式为：

（2）存在，F点的坐标为（2，－3）

理由：

易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）

由A、C、E、F四点的坐标得：

AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得

∴圆的半径为或．

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为．

设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为，．

例4已知：

如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．

（1）写出直线的解析式．

（2）求的面积．（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？

解：

（1）在中，令

x

y

A

B

C

E

M

D

P

N

O

，，

又点在上

的解析式为

（2）由，得

，，

（3）过点作于点

由直线可得：

在中，，，则

，

此抛物线开口向下，当时，

当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．

y

C

x

B

A

例5图

例5在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？

若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

解：

（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，

由 解得

此二次函数的表达式为 ．

（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．

y

x

B

E

A

O

C

D

在中，令，则由，解得

．令，得．．

设过点的直线交于点，过点作轴于点．

点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

．

要使或，

已有，则只需， ①

或 ②成立．

若是①，则有．而．

在中，由勾股定理，得．

解得 （负值舍去）．．

点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．

满足条件的直线的函数表达式为．

［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］

若是②，则有．而．

在中，由勾股定理，得．

解得 （负值舍去）．．

点的坐标为．将点的坐标代入中，求得．

满足条件的直线的函数表达式为．

x

B

E

A

O

C

P

·

存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．

（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．

将点的坐标代入中，求得．

此直线的函数表达式为．

设点的坐标为，并代入，得．

解得（不合题意，舍去）．．

点的坐标为．此时，锐角．

例6

C

P

B

y

A

又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为．

当时，锐角；

当时，锐角；

当时，锐角．

例6如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

解：

（1）令，得解得

令，得∴ABC

（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，∴PAB=

过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=∴P∵点P在抛物线上∴

G

M

图2

C

B

y

P

A

解得，（不合题意，舍去）∴PE=

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=

（3）．假设存在

∵PAB=BAC=∴PAAC

∵MG轴于点G，∴MGA=PAC=

在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=

G

M

图3

C

B

y

P

A

设M点的横坐标为，则M

①点M在轴左侧时，则

（ⅰ）当AMGPCA时，有=

∵AG=，MG=即

解得（舍去）（舍去）

（ⅱ）当MAGPCA时有=

即解得：

（舍去）∴M

②点M在轴右侧时，则

（ⅰ）当AMGPCA时有=∵AG=，MG=

∴解得（舍去）∴M

（ⅱ）当MAGPCA时有=即

解得：

（舍去）∴M

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似，M点的坐标为，，

例7、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

例7

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：

当点运动到什么位置时，的面积最大？

并求出此时点的坐标和的最大面积.

（1）解：

设抛物线为.

∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.

∴抛物线为.

（2）答：

与⊙相交.

证明：

当时，，.

∴为（2，0），为（6，0）.∴.

设⊙与相切于点，连接，则.

∵，∴.

又∵，∴.∴∽.

∴.∴.∴.

∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.

∴抛物线的对称轴与⊙相交.

（3）解：

如图，过点作平行于轴的直线交于点.

可求出的解析式为.

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.

∴.

∵,

∴当时，的面积最大为.

此时，点的坐标为（3，）.

例8在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.

（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S△BCE=S△ABC，求此时直线的解析式；

（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S△BCE=2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.

解：

（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.

∴抛物线顶点的坐标为（1，4）．

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，

∴抛物线的解析式为（）．

∴此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．

∵方程的两个根为，，

∴此时，抛物线与轴的交点为，．

E

y

x

F

B

D

A

O

C

如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE=S△BCF．

∵S△BCE=S△ABC，

∴S△BCF=S△ABC．

∴．

设对称轴与轴交于点，

则．

由EF∥CB，得．

∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．

∴．结合题意，解得．

∴点，．

设直线的解析式为，则

解