数列的函数特性教学案Word格式.docx
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（ⅰ）有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：
（ⅱ）数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算an+1-an，并研究差的符号的正负；
除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列an=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断数列{an}是递减数列.
4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：
（1）定义法：
其中之一是作差比较，为了便于判断an+1-an的符号，通常将an+1-an变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.
除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项an的符号（an>
0还是an
（2）借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.
知能自主梳理
1.几种数列的概念
（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.
（2）一般地，一个数列｛an｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；
（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；
（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；
（5）如果数列｛an｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.
2.数列的递推公式
如果已知数列的（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的与它的
（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
公式.
3.an与Sn的关系
S1（n=1）
若数列｛an｝的前n项和记为Sn，即Sn=a1+a2+…+an,则an=
（n≥2）
［答案］1.
（1）递增递减摆动常
（2）an+1>
an递增（3）an+12.第1项任一项an前一项an-1递推
3.Sn-Sn-1
思路方法技巧
命题方向数列表示法的应用
［例1］
（1）根据数列的通项公式填表：
n12…5……n
an……153…3（3+4n）
（2）画出数列{an}的图像，其中an=3n-1.
［分析］
（1）根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值.
（2）在直角坐标系下，描出点（n,an）.
［解析］
（1）由第n项可知此数列的通项公式为：
an=3（4n+3）,
所以a1=3×
（4×
1+3）=21,a2=3×
2+3）=33,a5=3×
5+3）=69.
令3（4n+3）=153，解得n=12.
故填充完整的表格为：
n12…5…12…n
an2133…69…153…3（3+4n）
（2）∵an=3n-1，列表：
n1234…
an13927…
在直角坐标系中图像如下：
［说明］
（1）列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；
（2）数列an=3n-1的图像是函数y=3x-1（x>
0）上的无穷多个孤立的点.
变式应用1已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,作出该数列的图像.
［解析］分别取n=1,2,3,…,得到点（1,1）,（2,3）,（3,5）,…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.
命题方向数列单调性的判断
［例2］已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证数列{an}是递减数列.
［分析］
（1）已知函数关系式，由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于an的方程即可；
（2）只需证明an+1-an1（an>
0）即可.
［解析］
（1）∵f（x）=2x-2-x,f（log2an）=-2n,
∴2log2an-2-log2an=-2n,an-=-2n,
∴an2+2nan-1=0,解得an=-n±
.
∵an>
0,∴an=-n.
（2）=
=即{an}是递减数列.
［说明］我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较an与an+1大小的常用方法有：
①作差法：
若an+1-an>
0,则数列{an}是递增数列；
若an+1-an1,则数列{an}是递增数列；
若变式应用2写出数列1,,,,,…的通项公式，并判断它的增减性.
［解析］该数列的通项公式为an=,
∴an+1-an=-=.
∵n∈N+,∴（3n+1）（3n-2）>
0,
∴an+1命题方向数列中最大项与最小项的求法
［例3］求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.
［分析］由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n为正整数.
［解析］由已知an=-2n2+9n+3=-2（n-）2+.
由于n为正整数,故当n=2时,an取得最大值为13.
所以数列{-2n2+9n+3}的最大值为a2=13.
［说明］数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.
变式应用3已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.
（1）数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？
并求出最小值.
［解析］
（1）由n2-5n+4∵n∈N＋,∴n=2,3.
∴数列有两项是负数.
（2）∵an=n2-5n+4=（n-）2-,可知对称轴方程为n==2.5.
又∵n∈N＋,∴n=2或3时，an有最小值，其最小值为22-5×
2+4=-2.
探索延拓创新
命题方向数列的实际应用题
［例4］在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：
A公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：
该人在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？
并说明理由（精确到1元）.
［分析］根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n∈N+,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解.
［解析］设在A公司月工资为an，在B公司月工资为bn，则
问题等价于求cn=an-bn=1270+230n-2000×
1.05n-1（n∈N+）的最大值.
当n≥2时，cn-cn-1=230-100×
1.05n-2;
当cn-cn-1>
0,即230-100×
1.05n-2>
0时，1.05n-2因此，当2≤n≤19时，cn-1于是当n≥20时，cn所以c19=a19-b19≈827（元）.
即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.
［说明］数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1,2,3,…,n}）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.
变式应用4某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{an}，满足an=2n2-15n+3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？
［解析］由题意知，实质是求数列{an}的最小项.
由于an=2n2-15n+3=2（n-）2-，
图像如图所示，由图像知n=4时，a4最小，a4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.
名师辨误做答
［例5］已知an=a•（）n（a≠0且a为常数），试判断数列{an}的单调性.
［误解］∵an-an-1=a（）n-a（）n-1=-a（）n∴数列{an}为递减数列.
［辨析］错误原因是误认为a>
0,其实对非零实数a应分a>
0和a［正解］∵an-an-1=-a（）n（n≥2,n∈N*）,
∴①当a>
0时，an-an-1∴数列{an}是递减数列.
②当a0,∴an>
an-1,
∴数列｛an｝是递增数列.
课堂巩固训练
一、选择题
1.已知数列｛an｝,a1=1,an-an-1＝n-1（n≥2），则a6=（）
A.7B.11C.16D.17
［答案］C
［解析］∵a1=1,an-an-1=n-1（n≥2），
∴a2-a1=1,∴a2=a1+1=2,
∴a3-a2=2,∴a3=a2+2=4,
∴a4-a3=3,∴a4=a3+3=7,
∴a5-a4=4,∴a5=a4+4=11,
∴a6-a5=5,∴a6=a5+5=16.
2.（2012•济南高二检测）数列{an}中，an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（）
A.B.30C.31D.32
［答案］B
［解析］an=-n2+11n=-（n-）2+,
∵n∈N+,∴当n=5或6时，an取最大值30，故选B.
3.一给定函数y=f（x）的图像在下列图中，并且对任意a1∈（0,1）,由关系式an+1=f（an）得到数列{an}满足an+1>
an（n∈N+），则该函数的图像是（）
［答案］A
［解析］由关系式an+1=f（an）得到数列{an}满足an+1>
an,可得f（an）>
an,即f（x）>
x.故要使该函数y=f（x）图像上任一点（x,y）都满足y>
x,图像必在直线y=x的上方，所以A正确.
说明：
借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.
二、填空题
4.已知f
（1）=2,f（n+1）=（n∈N+）,则f（4）=.
［答案］
［解析］∵f
（1）=2,f（n+1）=（n∈N＋）,
∴f
（2）==,
f（3）===,
f（4）===.
5.已知数列{an}中，an=an+m（a［答案］2
2=a+ma=2a=-1
［解析］∵a1=2,a2=4,∴,∴（舍去）或,
4=a2+mm=0m=3
∴a3=（-1）3+3=2.
三、解答题
6.证明数列｛｝是递减数列.
［证明］令an=，
∴an+1-an=-
=-
=-∴an+1课后强化作业
1.已知数列{an}满足an+1-an-3=0，则数列{an}是（）
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定
［答案］A
［解析］由条件得an+1-an=3>
0可知an+1>
an，
所以数列{an}是递增数列.
2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项为（）
A.5B.11C.10或11D.36
［答案］D
［解析］∵an=-n2+10n+11=-（n-5）2+36,
∴当n=5时，an取最大值36.
3.数列｛an｝中，a1=0，以后各项由公式a1•a2•a3•…•an＝n2给出，则a3+a5等于（）
A.B.C.D.
［解析］∵a1•a2•a3•…•an=n2,
∴a1•a2•a3=9,a1•a2=4,∴a3＝.
同理a5=,∴a3+a5=+=.
4.已知数列{an}的通项公式an=lg1536-（n-1）lg2，则使得anA.11B.13C.15D.12
［答案］D
［解析］lg1536-lg2n-1即2n-1>
1536,代入验证得答案为D.
5.已知数列{an}中，a1=1,a2=3，an=an-1+（n≥3），则a5=（）
A.B.C.4D.5
［解析］a3=a2+=3+1=4.
a4=a3+=4+=.
a5=a4+=+=.
6.在数列{an}中，a1=1,an•an-1=an-1+（-1）n（n≥2），则的值是（）
［答案］C
［解析］∵a1=1,∴a2=1+1=2,a3a2=a2+（-1）3=2+（-1）=1,∴a3=,
又a3a4=a3+（-1）4,∴a4=3,
∵a4a5=a4+（-1）5=2,∴a5=,
∴==.
7.已知Sk表示数列的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1（k∈N+），那么此数列是（）
A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列
［解析］∵ak+1=Sk+1-Sk=Sk+Sk+1，
∴Sk=0（k∈N+）.
可知此数列每一项均为0，
即an=0是常数列.
8.已知数列{an}的通项公式为an=（）n-1［（）n-1-1］，则关于an的最大项，最小项叙述正确的是（）
A.最大项为a1,最小项为a3
B.最大项为a1,最小项不存在
C.最大项不存在，最小项为a3
D.最大项为a1，最小项为a4
［解析］令t=（）n-1，则它在N+上递减且0a3，故选A.
9.已知数列{an}的通项公式an=n2-4n-12（n∈N+），则
（1）这个数列的第四项是；
（2）65是这个数列的第项；
（3）这个数列从第项起以后各项为正数.
［答案］－12117
［解析］
（1）a4=42-4×
4-12＝-12.
（2）令65＝n2-4n-12,∴n2-4n-77=0,
∴n=11或n=-7（舍去）.
故65是这个数列的第11项.
（3）令n2-4n-12>
0,得n>
6或n∴这个数列从第7项起各项为正数.
10.已知数列{an}的通项an=（a、b、c都是正实数），则an与an+1的大小关系是.
［答案］an+1>
an
［解析］∵a,b,c均为实数，f（x）==在（0,+∞）上是增函数，故数列an=在n∈N+时为递增数列，∴an11.已知｛an｝是递增数列，且对任意的自然数n（n≥1），都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为.
［答案］λ>
-3
［解析］由｛an｝为递增数列，得an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn=2n+1+λ>
0恒成立，
即λ>
-2n-1在n≥1时恒成立，
令f（n）=-2n-1,f（n）max=-3.
只需λ>
f（n）max=-3即可.
12.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法：
（1）该数列有无限多个正数项；
（2）该数列有无限多个负数项；
（3）该数列的最大项就是函数f（x）=-2x2+13x的最大值；
（4）-70是该数列中的一项.
其中正确的说法有.（把所有正确的序号都填上）
［答案］
（2）（4）
［解析］令-2n2+13n>
0，得0令-2n2+13n=-70，得n=10，或n=-（舍去）.即-70是该数列的第10项.
13.已知数列1，2，，，，….
（1）写出这个数列的一个通项公式an;
（2）判断数列｛an｝的增减性.
［解析］
（1）数列1，2，，，，….可变为，，，，，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍少2，∴an=.
（2）∵an==3-,
∴an+1=3-,
∴an+1-an=3--3+=-=>
0,∴an+1>
an.故数列｛an｝为递增数列.
14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.
（1）an=（-1）n+2;
（2）an=.
［解析］
（1）a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图1.
（2）a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图2.
15.已知数列｛an｝,a1=2,an+1=2an，写出数列的前4项，猜想an,并加以证明.
［证明］由a1=2,an+1=2an,得
a2=2a1=4=22,a3=2a2=2•22=23,
a4=2a3=2•23=24.
猜想an=2n（n∈N+）.
证明如下：
由a1=2,an+1=2an,
得==…===2.
∴an=•…••a1=2•2…2•2＝2n.
16.已知函数f（x）=,设f（n）=an（n∈N+）.求证：
≤an［解析］解法一：
因为an-1=-1=-an-=-＝≥0,
所以≤an解法二：
an===1-an+1-an=-
=
=.
由n∈N+得an+1-an>
0，即an+1>
an,
所以数列{an}是递增数列.
所以an的最小值为a1=,即an≥.
所以≤an<
1.
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