分式知识点总结和练习题讲义.doc
《分式知识点总结和练习题讲义.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《分式知识点总结和练习题讲义.doc(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
分式知识点总结和题型归纳
第一部分分式的运算
(一)分式定义及有关题型
题型一:
考查分式的定义:
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。
【例1】下列代数式中:
,是分式的有:
.
题型二:
考查分式有意义的条件
分式有意义:
分母不为0()
分式无意义:
分母为0()
【例1】当有何值时,下列分式有意义
(1)
(2) (3) (4) (5)
题型三:
考查分式的值为0的条件
分式值为0:
分子为0且分母不为0()
【例1】当取何值时,下列分式的值为0.
(1)
(2) (3)
【例2】当为何值时,下列分式的值为零:
(1)
(2)
题型四:
考查分式的值为正、负的条件
分式值为正或大于0:
分子分母同号(或)
分式值为负或小于0:
分子分母异号(或)
【例1】
(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数.
【例2】解下列不等式
(1)
(2)
题型五:
考查分式的值为1,-1的条件
分式值为1:
分子分母值相等(A=B)
分式值为-1:
分子分母值互为相反数(A+B=0)
【例1】若的值为1,-1,则x的取值分别为
思维拓展练习题:
1、若a>b>0,+-6ab=0,则
2、一组按规律排列的分式:
(ab0),则第n个分式为
3、已知,求的值。
4、已知求分式的值。
(二)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:
题型一:
化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
(1)
(2)
题型二:
分数的系数变号
【例1】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1)
(2) (3)
题型三:
化简求值题
【例1】已知:
,求的值.
【例2】已知:
,求的值.
【例3】若,求的值.
【例4】已知:
,求的值.
【例5】若,求的值.
【例6】如果,试化简.
思维拓展练习题
1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下:
求2*1+3*2+…+10*9的值
2、已知求代数式的值
(三)分式的运算
①分式的乘除法法则:
乘法分式式子表示为:
除法分式式子表示为:
②分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子表示为:
③分式的加减法则:
异分母分式加减法:
式子表示为:
整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
题型一:
通分
1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
【例1】将下列各式分别通分.
(1);
(2);
(3);(4)
题型二:
约分
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。
【例2】约分:
(1);
(2);(3).
题型三:
分式的混合运算
【例3】计算:
(1);
(2);
(3); (4);
(5);(6);
(7)
题型四:
化简求值题
【例4】先化简后求值
(1)已知:
,求分子的值;
(2)已知:
,求的值;
(3)已知:
,试求的值.
题型五:
求待定字母的值
【例5】若,试求的值.
思维拓展练习题:
1、某工厂通过改造设备,平均每天节约用煤,那么相同数量的煤,现在使用的天数是原来的几倍?
2、若非零实数a,b满足,则
3、若,求的值
4、已知abc=1,求的值
5、已知a,b,c为实数,且,求的值
第二部分分式方程
分式方程的解的步骤:
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
(一)分式方程题型分析
题型一:
用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
(1);
(2);(3);(4)
题型二:
特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
(1);
(2)
提示:
(1)换元法,设;
(2)裂项法,.
【例3】解下列方程组
题型三:
求待定字母的值
【例4】若关于的分式方程有增根,求的值.
【例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围.
题型四:
解含有字母系数的方程
【例6】解关于的方程
题型五:
列分式方程解应用题
1、某服装厂准备加工400套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问:
原计划每天加工服装多少套?
2、某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打6折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元。
(1)求该种纪念4月份的销售价格?
(2)若4月份销售这种纪念品获得800元,5月份销售这种纪念品获利多少元?
3、河边两地相距50km,,船在静水中的速度是m(km/h),水流速度是n(km/h).
(1)船从河边两地往返一次需要多长时间?
(2)当m=30,n=10时,求船往返一次需要的时间?
4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a(m)的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
思维拓展练习题:
1、已知,求的值。
(二)分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法
例1.解方程:
二、化归法
例2.解方程:
三、左边通分法
例3:
解方程:
四、分子对等法
例4.解方程:
五、观察比较法
例5.解方程:
六、分离常数法
例6.解方程:
七、分组通分法
例7.解方程:
于的分式方程无解,试求的值.
(三)分式方程求待定字母值的方法
题型一:
关于无解的情况
例1.若分式方程无解,求的值。
题型二:
关于不会有增根的情况
例2.若关于的方程不会产生增根,求的值。
题型三:
关于有增根的情况
例3.若关于分式方程有增根,求的值。
例4.若关于的方程有增根,求的值。
11