分式化简求值的七种类型.doc

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分式化简求值的七种类型

分式的化简与求值是分式运算的重要内容，现摘取几例加以分析。

㈠与因式分解相结合的单一化简

例1、先化简：

，再求当时分式的值。

思路分析：

题目中出现了特殊的二次三项式，注意运用多项式因式分解的方法，一般地，若二次项系数是1，一次项的系数可以看作两个数的和（或者是和的相反数），常数项可以作为上面和中的两数的乘积，即可把二次三项式分解因式。

如果二次项系数不为1，则可以把二次项系数提出来。

解：

原式=

当a=-3时，原式=

点评：

注意特殊的二次三项式因式分解的方法，以及乘法公式、提取公因式、分组分解等方法的灵活运用，比如的化简，应注意分组。

。

㈡巧变幻求值型

例2：

设abc=1，求的值。

思路分析：

第一个分式分母中的1可巧妙变换成abc，第3个分式的分子，分母同时乘b。

解：

原式=

点评：

仔细分析题中的条件和所求代数式之间的关系，巧妙变幻是解决分式中较复杂运算的重要途径。

㈢“自力更生”型

例3：

已知：

。

求的值。

思路分析：

本题首先要根据已知条件求出a,b的值，再将所求代数式进行化简，最后代入求值。

解：

∵=

∴当时，原式=

点评：

⑴几个非负数的和为零，则每个非负数都为零；⑵把握好混合运算的顺序。

㈣巧用特殊值型

例4：

若abc≠0，a+b+c=0，则=_____________。

解析：

用特殊值法，即令字母取符合条件的特殊值，然后代入计算。

令，则原式=。

答案：

-3

点评：

用特殊值法求分式的值，是解选择题或填空题的常用方法。

㈤巧设参数型

例5：

已知求的值。

思路分析：

对于此类问题，将已知式和求值式变形很难找出它们之间的联系，不妨设连比的比值为k，代入求值式可求出这个k的值。

解：

设

即或

由得，

即原式=或原式=

当已知条件同此类的连等式出现时，用设k值法求解较简便。

㈥巧取“倒数”型

例6：

已知：

，求的值。

思路分析：

首先由已知可得，再观察已知分式和要求分式的特点，就会很容易联想到可取倒数求值。

解：

对已知条件两边取倒数，得，即，再对求值式取倒数，得：

，故原式=。

点评：

在求代数式的值时，有时会出现条件或所求代数式不易化简变形的情况，当把代数式的分子、分母颠倒位置后，变形就容易了，就样的问题通常采用倒数（把分子、分母倒过来）求值。

㈦整体代入型

例7：

先化简，再求值：

，其中x满足。

思路分析：

题目中给出的分式是连除的形式，可以结合分式除法的性质转化为乘法，以便约分化简。

另外，给出的字母x的值满足所给方程，根据现有的知识不易求出x的值来，可以先化简题目中的分式，观察化简的结果，变化为的形式，整体代入求值。

解：

原式=。

由于，所以，代入化简后的式子，

原式=。

点评：

利用整体代换计算代数式的值，是一类新颖的试题，考查学生运用数学方法解决综合问题的能力，其一般思路是把代数式变形为与题目给出的方程（等式）相关的形式，寻求两者相同的部分，把它看成一个整体代入，从而解决问题。

即学即练

1、先化简，再求值：

，其中。

2、先化简，再求值：

，其中a满足。

3、先化简，再求值：

，其中。

4、先化简：

，当时，再从的范围内选取一个合适的整数a 代入求值。

5、已知，则的值是（）

6、已知实数a满足，求的值。