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二元一次方程培优

二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案

知识点：

1、二元一次方程：

（1）方程的两边都是整式，

（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。

2、二元一次方程的一个解：

使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组：

含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。

4、二元一次方程组的解：

二元一次方程组中各个方程的公共解。

（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）

无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成的形式。

5、二元一次方程组的解法：

基本思路是消元。

（1）代入消元法：

将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。

主要步骤：

变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。

代入——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（2）加减消元法：

适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。

加减——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（3）列方程解应用题的一般步骤是：

关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

1审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。

2找：

找出能够表示题意两个相等关系。

3列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。

4解：

解这个方程组，求出两个未知数的值。

⑤答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

6、二元一次方程组的解的情况有以下三种：

1当时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）

2当时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）

3当（即）时，方程组有唯一的解

7、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

8、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

练习题：

1、已知代数式是同类项，那么a=，b=。

2、已知是同类项，那么=_______。

3、解下列方程组：

4、已知则=。

5、关于x的方程组的解是，则|m-n|的值是。

6、已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为。

7、已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值是。

8、选择一组值使方程组

（1）有无数多解，

（2）无解，（3）有唯一的解。

9、a取什么值时，方程组的解是正数？

10、a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？

11、要使方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？

12、已知关于的方程组有整数解,即都是整数,是正整数，求的值。

13、m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？

14、若求代数式的值。

应用题：

一、数字问题.例1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。

二、利润问题.例2、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

三、配套问题.例3、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

四、行程问题.例4、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米。

分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上。

问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

五、货运问题.例5、某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

六、工程问题.例6、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？

要求的期限是几天？

15、用100枚铜板买桃、李、杏共100粒，己知桃、李每粒分别是3，4枚铜板，而杏7粒1枚铜板。

问桃、李、杏各买几粒？

16、今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？

17、某种商品价格为每件33元，某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品。

若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出2元和5元钱的张数）？

哪种付款方式付出的张数最少？

18、某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数（千克）

不超过20千克

20千克以上但不超过40千克

40千克以上

每千克价格

6元

5元

4元

张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

19、小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？

20、用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒。

现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？

　21、同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元．购买2个足球和5个篮球共需500元。

（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元?

（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个。

要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球?

22、为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”。

该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？

23、古算题：

“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？

”（题目大意是：

一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住人，就分有人没地方住；若每间房住人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）

24、某次数学竞赛前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人。

调整后一等奖的平均分数降低了3分，二等奖的平均分数降低了2分，三等奖平均分数降低1分。

如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比三等奖平均分数多几分？

二元一次方程组竞赛题集（答案+解析）

【例1】　已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】　本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.　（１）　由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.　（２）　把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.　（３）　将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.　　把代入①，得，解得　k=-4.　解法二：

　①×3－②×２，得　17y=k-22，　　　解法三：

　①+②，得　5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得　2k+11=3，解得　k=-4.【小结】　解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.

【例2】　某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？

哪种付款方式付出的张数最少？

　【思考与分析】　本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.　解：

　设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依题意可得方程：

　2x+5y=33.　因为5y个位上的数只可能是０或５，所以2x个位上数应为３或８.　又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：

　由得x+y=12；由得x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.　答：

　付款方式有３种，分别是：

　付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.　其中第一种付款方式付出的张数最少.

【例3】解方程组   【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.   解：

由①，得  y=4－mx，             ③把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8，   解得 （2－5m）x=-12，当2－5m＝0，即m＝时，方程无解，则原方程组无解.当2－5m≠0，即m≠时，方程解为将代入③，得故当m≠时，原方程组的解为　【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况．对于x、y的方程组中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则　①时，原方程组有惟一解；　②时，原方程组有无穷多组解；　③时，原方程组无解.

【例4】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：

当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：

建造的这4道门是否符合安全规定？

请说明理由.　【思考与解】

（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.根据题意，得所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人