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有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之：

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）实例：

设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：

A=B

①任何一个集合是它本身的子集。

AA

②真子集:

如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1、交集的定义：

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=

{x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。

记作：

A∪B（读作＂A并B＂），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：

A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：

设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的

集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：

CSA即CSA={xxS且xA}

（2）全集：

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

通常用U来表示。

（3）性质：

⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）∩A=Φ⑶（CUA）∪A=U

四、函数的有关概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充:

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（又注意：

求出不等式组的解集即为函数的定义域。

）

构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

再注意：

（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：

①表达式相同；

②定义域一致（两点必须同时具备）

值域补充:

（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

2.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,x∈A}。

图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线）,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

（2）画法

A、描点法：

根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

（3）作用：

1、直观的看出函数的性质；

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

提高解题的速度。

发现解题中的错误。

3.了解区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

4．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

AB”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；

②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

③对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；

○2解析法：

必须注明函数的定义域；

○3图象法：

描点法作图要注意：

确定函数的定义域；

化简函数的解析式；

观察函数的特征；

○4列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

解析法：

便于算出函数值。

列表法：

便于查出函数值。

图象法：

便于量出函数值

补充一：

分段函数：

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：

复合函数：

如果y=f（u）,（u∈M）,u=g（x）,（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f、g的复合函数。

例如:

y=2sinXy=2cos（X2+1）

5．函数单调性

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。

区间D称为y=f（x）的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；

当x1<

x2时，总有f（x1）<

f（x2）。

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1<

x2；

○2作差f（x1）－f（x2）；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

○5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）_

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：

函数单调性

u=g（x）增增减减

y=f（u）增减增减

y=f[g（x）]增减减增

1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

6．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

总结：

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

○2确定f（－x）与f（x）的关系；

○3作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）有时判定f（-x）=±

f（x）比较困难，可考虑根据是否有f（-x）±

f（x）=0或f（x）/f（-x）=±

1来判定;

（3）利用定理，或借助函数的图象判定.

7、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：

待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

已知复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；

当已知表达式较简单时，也可用凑配法；

若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）

8．函数最大（小）值

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2利用图象求函数的最大（小）值

○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）

第二章基本初等函数

一、指数函数

一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：

一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>

1，且∈*．

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）．

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±

（>

0）．由此可得：

负数没有偶次方根；

0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（1）•

（2）

（3）．

二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>

10<

a<

1

图象特征函数性质

向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在x轴上方函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；

取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

（4）当时，若，则；

二、对数函数

一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：

（—底数，—真数，—对数式）

○1注意底数的限制，且；

○2；

○3注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1常用对数：

以10为底的对数；

○2自然对数：

以无理数为底的对数的对数．

对数式与指数式的互化

对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂

二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

○1＋

○2－；

○3．

换底公式（，且；

，且；

）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；

（2）．

三）对数函数

1、对数函数的概念：

函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2对数函数对底数的限制：

，且．

2、对数函数的性质：

函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）

向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R

函数图象都过定点（1，0）

第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0

四）幂函数

1、幂函数定义：

一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；

当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

○1（代数法）求方程的实数根；

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

高中数学必修4知识点

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：

先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．

7、弧度制与角度制的换算公式：

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，

10、三角函数在各象限的符号：

第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：

，，．

12、同角三角函数的基本关系：

；

．

13、三角函数的诱导公式：

，，．口诀：

函数名称不变，符号看象限．

口诀：

正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；

再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；

函数的性质：

①振幅：

②周期：

③频率：

④相位：

⑤初相：

．

函数，当时，取得最小值为；

当时，取得最大值为，则

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

图象

定义域

值域

最值当时，；

当时，．

当时，；

既无最大值也无最小值

周期性

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调性在上是增函数；

在上是减函数．

在上是增函数；

在上是增函数．

对称性对称中心

对称轴对称中心

对称轴

对称中心

无对称轴

16、向量：

既有大小，又有方向的量．

数量：

只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：

起点、方向、长度．

零向量：

长度为的向量．

单位向量：

长度等于个单位的向量．

平行向量（共线向量）：

方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：

长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：

首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：

共起点．

⑶三角形不等式：

⑷运算性质：

①交换律：

②结合律：

③．

⑸坐标运算：

设，，则．

18、向量减法运算：

共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：

设、两点的坐标分别为，，则．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；

当时，的方向与的方向相反；

⑵运算律：

②；

⑶坐标运算：

设，则．

20、向量共线定理：

向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

21、平面向量基本定理：

如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：

设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

23、平面向量的数量积：

⑴．零向量与任一向量的数量积为．

⑵性质：

设和都是非零向量，则①．

②当与同向时，；

当与反向时，；

或．

⑶运算律：

⑷坐标运算：

设两个非零向量，，则．

若，则，或．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

24、两角和与差的正弦、余弦和