高考数学理全程训练计划习题仿真考一Word文档格式.docx
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15B．k<
10
C．10≤k<
15D．10<
k<
15
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0,3）和C（0，－3），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝（ ）
A.B.
C.D.
9.
如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A.B．1
10．已知双曲线C：
－＝1（a>
0，b>
0）的右焦点为F，以点F为圆心和双曲线C的渐近线相切的圆与双曲线C在第一象限的交点为M，且MF与双曲线C的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
C.D．2
11．已知点O是△ABC外心，AB＝4，AO＝3，则·
的取值范围是（ ）
A．[－4,24]B．[－8,20]
C．[－8,12]D．[－4,20]
12．已知偶函数f（x）的定义域为（－1,0）∪（0,1），且f＝0，当0<
x<
1时，不等式f′（x）·
ln（1－x2）>
2f（x）恒成立，那么不等式f（x）<
0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．二项式8的展开式中常数项为________．
14．在椭圆＋＝1上有两个动点M，N，K（2,0）为定点，若·
＝0，则·
的最小值为________．
15．若函数y＝ex－a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件则实数a的取值范围是________．
16．已知正四棱锥P－ABCD的所有顶点都在半径为1的球面上，当正四棱锥P－ABCD的体积最大时，该正四棱锥的高为________．
三、解答题：
本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
（1）求的值；
（2）若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．
18．（本小题满分12分）
近两年“双11”网购受到广大市民的热捧．某网站为了答谢老顾客，在“双11”当天零点整，每个金冠买家都可以免费抽取200元或者500元代金券一张，中奖率分别是和.每人限抽一次，中奖率为100%.小张，小王，小李，小赵4个金冠买家约定零点整抽奖．
（1）试求这4人中恰有1人抽到500元代金券的概率；
（2）这4人中抽到200元、500元代金券的人数分别用X，Y表示，记ξ＝XY，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
19．（本小题满分12分）
已知等腰梯形ABCD（如图1所示），其中AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点．现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA（如图2所示），N是线段CD上一动点，且CN＝λND.
（1）当λ＝时，求证：
MN∥平面EFDA；
（2）当λ＝1时，求二面角M－NA－F的余弦值．
20．（本小题满分12分）
椭圆C1：
＋＝1（a>
b>
0）的长轴长等于圆C2：
x2＋y2＝4的直径，且C1的离心率等于.直线l1和l2是过点M（1,0）互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．
（1）求C1的标准方程；
（2）求四边形ADBC的面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
设函数f（x）＝x2－ln（x＋a）＋b，g（x）＝x3.
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x＋y＝0，求实数a，b的值；
（2）在
（1）的条件下，当x∈（0，＋∞）时，求证：
f（x）<
g（x）；
（3）证明：
对于任意的正整数n，不等式
成立．
请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，点F的极坐标为（2，π），且F在直线l上．
（1）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·
|FB|的值；
（2）求曲线C内接矩形周长的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
若∃x0∈R，使关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T.
（1）求集合T；
（2）若m>
1，n>
1且对于∀t∈T，不等式log3m·
log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．
1．D 本题考查集合的运算及对Venn图的认识．因为U＝R，A＝{x|x<
4}，所以∁UA＝{x|－1≤x≤4}，则阴影部分表示的集合为B∩∁UA＝{x|－2≤x≤3}∩{x|－1≤x≤4}＝{x|－1≤x≤3}，故选D.利用数轴处理集合的交、并、补运算非常直观、快捷．
2．D 本题考查复数的运算、共轭复数的概念及复数的几何意义．因为iz＝2－4i，所以z＝＝＝－4－2i，所以＝－4＋2i，即在复平面内对应的点的坐标是（－4,2），故选D.
掌握复数的相关概念及基本运算是解决复数问题的关键．
3．B 本题考查分段函数的求值．因为f＝log5＝log55－2＝－2，所以f＝f（－2）＝2－2＝，故选B.
4．C 本题考查等差数列的性质．第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×
3a52＝63，所以a52＝7，故选C.
若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，熟练掌握等差中项的性质是解决此类问题的关键．
一题多解：
由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9数均相同，显然满足题意，所以有63÷
9＝7，即a52＝7，故选C.
5．D 本题考查统计案例知识以及对相关系数的认识．吸烟年龄X越来越大时，其得肺癌的相对危险度Y反而越来越小，说明X与Y呈负相关，即r1<
0；
而每天吸烟数量U越大时，其得肺癌的相对危险度V越大，说明U与V呈正相关，即r2>
0，所以r1<
r2，故选D.
本题容易忽略正相关和负相关，认为给出了数据就据相关系数公式进行计算，再比较．
6．A 本题考查程序框图．第一次循环得b＝1，i＝2；
第二次循环得b＝3，i＝3；
第三次循环得b＝3，i＝4；
第四次循环得b＝3，i＝5；
第五次循环得b＝19，i＝6；
第六次循环得b＝51，i＝7，此时满足i>
6，退出循环，输出b的值为51，故选A.
对于循环次数较少的程序框图，可以通过依次列举得到输出结果；
对于循环次数较多的程序框图，可以通过列举前面几次的循环结果进而发现规律．
7．C 本题考查数列、对数运算及不等式．因为点（n，an）在y＝ex的图象上．所以an＝en，所以Tn＝ln（e1e2…en）＝，由>
k的n的最小值为5，即解得10≤k<
15，故选C.
数列与函数结合的问题一般转化为数列问题，进而求解．
8．A 本题考查椭圆的定义及正弦定理．据题意可知点A，C恰为椭圆的焦点，所以|AB|＋|BC|＝10，|AC|＝6，据正弦定理有＝＝＝＝，故选A.
9．B
本题考查三视图的判断与几何体体积的求解及空间想象能力．俯视图为正方形，所以可知这是一个底面为正方形的直四棱柱被切割所得的几何体，又正视图的左边高为2，侧视图的左边高为2，所以此几何体为ABCDEFG，如图所示，其体积恰好是底面边长为1的正方形且高为2的直四棱柱体积的一半，即此几何体的体积为1，故选B.
识别三视图主要是根据三视图“长对正，高平齐，宽相等”的特征分析．
10．C 本题考查双曲线的几何性质．双曲线－＝1的渐近线为y＝±
x，右焦点为F（c,0），到渐近线的距离为d＝＝b，所以b为圆的半径，又MF垂直实轴，所以M（c，b），代入双曲线方程得－＝1，得离心率e＝＝，故选C.
解答本题的关键是确定点M的坐标，代入双曲线方程，通过建立a，b，c之间的关系式求得离心率．
知识拓展：
椭圆和双曲线的离心率的题型主要有两类：
一类是求解离心率的值；
一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立参数a，b，c之间的关系式，求值时是建立关于a，b，c的等式，求取值范围时是建立关于a，b，c的不等式．
11．D 本题综合考查向量运算、解三角形、三角函数．如图，O为三角形ABC的外心，延长AO交BC于点D，在三角形ABO中，cos∠AOB＝＝＝，所以cos∠BOD＝－，sin∠BOD＝，所以·
＝（·
）·
（＋）＝2＋·
＋·
＝9＋9cos∠COD＋9cos∠BOD＋9cos（∠BOD＋∠COD）＝8＋8cos∠COD－4sin∠COD＝8－12sin（∠COD＋φ）．因为－1≤sin（∠COD＋φ）≤1，所以－4≤·
≤20，故选D.
向量运算一般有两种方式，一是结合几何图形直接进行向量运算，二是借助坐标系转化为坐标运算．
12．B 本题考查函数的性质以及导数的应用．当0<
1时，f′（x）·
2f（x）整理得f′（x）·
ln（1－x2）－2f（x）>
0，即f′（x）·
ln（1－x2）－>
0，即[f（x）·
ln（1－x2）]′>
0，所以函数g（x）＝f（x）·
ln（1－x2）在（0,1）上单调递增，因为f＝0，所以g＝0，所以当0<
时，g（x）<
当<
1时，g（x）>
0，又函数y＝ln（1－x2）在（0,1）上恒有ln（1－x2）<
0成立，所以当0<
时，f（x）>
1时，f（x）<
0.因为函数f（x）为偶函数，所以当－1<
－时，f（x）<
0，所以不等式f（x）<
0的解集为，故选B.
抽象形式的含导数不等式的问题一般可通过构建新的函数求解．
一般地，若题中出现了含导数和的形式，可构建函数F（x）＝f（x）·
g（x）求导再求解，若题中出现了含导数差的形式，可构建函数F（x）＝求导再求解．
13．28 本题考查二项式定理.8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx
，令8－r＝0，得r＝6，所以常数项为C＝C＝28.
要熟悉并能灵活应用（a＋b）n展开式中的通项公式Tr＋1＝Can－rbr.
14. 本题考查椭圆的方程及向量数量积的应用．设M（m，n），则＋＝1，得n2＝9－m2，所以·
＝·
（＋）＝·
＋2＝2＝（m－2）2＋n2＝（m－2）2＋9－m2＝2＋，当m＝时，·
有最小值.
解题的关键是将两向量的数量积的最小值问题转化为椭圆上的点到定点K的距离的最小值的平方．
15．[1，e5＋1]
解析：
本题考查线性规划知识．作出约束条件对应的可行域，如图，函数y＝ex－a的图象上存在点满足约束条件，即函数图象与可行域有公共点，对y＝ex－a求导得y′＝ex，令y′＝1，得x＝0，即函数在点（0,1－a）处的切线平行于直线x－y＝0，当a＝1时恰有一个公共点．另外当函数的图象经过可行域的顶点A（5，－1）时，即－1＝e5－a，得a＝e5＋1，结合图象可知1≤a≤e5＋1.
对于线性规划问题，需要准确作图，数列结合求解．
16.
本题考查多面体与球的位置关系与导数的综合应用．如图，球心O应位于正四棱锥的高PO1上，设四棱锥的高为PO1＝h，球的半径OC＝1，在Rt△OO1C中，有12＝O1C2＋（h－1）2，所以O1C＝，又AC＝2O1C，所以AB2＝4h－2h2，所以V四棱锥P－ABCD＝×
AB2×
PO1＝（4h－2h2）×
h，令f（h）＝（4h－2h2）×
h，则由f′（h）＝（8h－6h2）＝0，得h＝，此时正四棱锥P－ABCD的体积有最大值．利用导数求解实际问题中的函数的最值．一般求出的极大（小）值就是最大（小）值．
17．分析：
本题考查用正弦定理、余弦定理求解三角形，考查考生的转化与化归能力．
（1）利用正弦定理将等式中的边转化为角，通过三角恒等变换求出的值，从而得到的值；
（2）因为A为钝角，所以cosA<
0，利用余弦定理求b的范围．在求解三角形边的范围时，不要忽略“两边之和大于第三边”的限制．
解：
（1）由已知及正弦定理可得
sinCcosB－2sinCcosA＝2sinAcosC－sinBcosC，（1分）
∴sinCcosB＋sinBcosC＝2（sinCcosA＋sinAcosC），
∴sin（B＋C）＝2sin（A＋C）．（3分）
∵A＋B＋C＝π，（4分）
∴sinA＝2sinB，∴＝＝2.（5分）
（2）由已知及余弦定理可得cosA＝＝＝<
0，
∴b>
. ①（8分）
由三角形三边关系，得b＋c>
a，
故b＋3>
2b，解得b<
3. ②（10分）
由①②得b的范围是（，3）．（12分）
18．分析：
本题考查利用概率知识解决实际问题，考查考生的逻辑推理能力．
（1）直接利用独立重复试验概率公式求解；
（2）4人中都抽到200元或500元，或1人抽到200元且3人抽到500元，或2人抽到200元且2人抽到500元，或3人抽到200元且1人抽到500元，所以ξ＝0,3,4.
（1）设“这4人中恰有i人抽到500元代金券”为事件Ai（i＝1,2,3,4）．（1分）
P（A1）＝C13＝.（4分）
（2）由题可知X＝0，Y＝4；
X＝1，Y＝3；
X＝2，Y＝2；
X＝3，Y＝1；
X＝4，Y＝0，故ξ可取0,3,4.（5分）
P（ξ＝0）＝P（A0）＋P（A4）＝C04＋C4·
0＝＋＝，
P（ξ＝3）＝P（A1）＋P（A3）＝C13＋C3·
1＝＋＝，
P（ξ＝4）＝P（A2）＝C22＝＝.（9分）
故ξ的分布列为
ξ
3
4
P
（11分）
E（ξ）＝0×
＋3×
＋4×
＝.（12分）
19．分析：
本题考查空间几何体的位置关系及二面角，考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力．
（1）要证线面平行，先证线线平行，所以只需证明MN与平面EFDA中的一条直线平行．
（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，表示出二面角对应的两平面的法向量，通过求解两法向量成角的余弦值得二面角的余弦值．
（1）证明：
过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ.
由题意，平面EFCB⊥平面EFDA，MP⊥EF，则MP⊥平面EFDA，
又EF⊥CF，EF⊥DF，且CF∩DF＝F，所以EF⊥平面CFD，
又NQ⊂平面CFD，所以NQ⊥EF，又EF∩FD＝F，所以NQ⊥平面EFDA，
所以MP∥NQ.（2分）
当λ＝时，CN＝ND，所以NQ＝CF＝×
3＝2，
又MP＝（BE＋CF）＝×
（1＋3）＝2，所以MP綊NQ，
所以四边形MNQP为平行四边形．（4分）
所以MN∥PQ，
又因为MN⊄平面EFDA，PQ⊂平面EFDA，（6分）
所以MN∥平面EFDA.
（2）以F为坐标原点，分别以FE，FD，FC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
由题意，M（1,0,2），A（2,1,0），F（0,0,0），C（0,0,3），D（0,3,0），N，
设平面AMN的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
又＝（－1，－1,2），＝，
则即
令x1＝1，则n1＝（1,1,1）．（8分）
设平面NAF的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
又＝（2,1,0），＝，
令x2＝1，则n2＝（1，－2,2）（10分）
则cosθ＝＝，
所以二面角M－NA－F的余弦值为.（12分）
20．分析：
本题考查直线、圆、椭圆的综合问题，考查考生的运算能力、方程思想及分类讨论思想．
（1）由圆的直径得a，由离心离得c，b，从而得椭圆方程；
（2）写出直线AB，CD的方程，建立方程组，用斜率k表示出|AB|，|CD|，最后用k表示出四边形ADBC的面积，再研究此面积式的最大值．
（1）由题意得2a＝4，∴a＝2.（1分）
∵＝，∴c＝1.（2分）
由a2＝b2＋c2得b＝.（3分）
∴C1的标准方程为＋＝1.（4分）
（2）①当直线AB，CD的斜率均存在时，设直线AB的方程为y＝k（x－1），则直线CD的方程为y＝－（x－1），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立直线AB与C1的方程，得
得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴Δ＝（－8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12）＝144k2＋144>
∴|AB|＝|x1－x2|＝.（6分）
设圆心（0,0）到直线CD：
x＋ky－1＝0的距离为d，易求d＝，
∴＋d2＝4，得|CD|＝2.（8分）
∵AB⊥CD，∴S四边形ADBC＝|AB|·
|CD|＝，（9分）
整理得S四边形ADBC＝12.
∵4k2＋3>
3，∴S四边形ADBC<
4.（10分）
②当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4，|CD|＝2，∴S四边形ADBC＝4；
③当直线AB的斜率不存在时，
|AB|＝3，|CD|＝4，∴S四边形ADBC＝6<
4.（11分）
综上，四边形ADBC的面积的最大值为4.（12分）
21．分析：
本题考查导数的应用及不等式恒成立问题的证明，考查考生的运算能力、转化与化归能力．
（1）对函数f（x）求导，函数在x＝0处的导数为－1，且切点在直线x＋y＝0上，求出a，b；
（2）构建函数h（x）＝f（x）－g（x），通过研究函数h（x）的单调性达到证明f（x）<
g（x）的目的；
（3）在
（2）的基础上，转化成不等式e（1－n）n2<
n＋1去证明不等式成立．
（1）f′（x）＝2x－，（1分）
依题意∴a＝1，b＝0.（3分）
（2）证明：
由
（1）可知函数f（x）＝x2－ln（x＋1）．
令h（x）＝f（x）－g（x）＝－x3＋x2－ln（x＋1），
则h′（x）＝－3x2＋2x－＝－，（5分）
显然，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）<
0，∴函数h（x）在（0，＋∞）上单调递减，又h（0）＝0，∴当x∈（0，＋∞）时，恒有h（x）<
h（0）＝0，
即f（x）－g（x）<
0恒成立．
故当x∈（0，＋∞）时，有f（x）<
g（x）．（7分）
由
（2）知x∈（0，＋∞），x2－ln（x＋1）<
x3，
∴x2－x3<
ln（x＋1），x∈（0，＋∞），即（1－x）x2<
ln（x＋1），（8分）
∴x∈（0，＋∞），e（1－x）x2<
x＋1，∴当n∈N*时，e（1－n）n2<
n＋1，（10分）
∴e0＋e－1×
4＋e－2×
9＋…＋e（1－n）n2<
2＋3＋4＋…＋（n＋1）＝，
∴原不等式得证．（12分）
22．分析：
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中t的意义与应用，考查考生的运算能力、逻辑分析能力．
（1）利用直线参数方程中t的意义求解；
（2）求椭圆内接矩形周长的最大值，可转化为求椭圆在第一象限内的顶点到坐标轴的距离和的最大值的4倍．
因为点F的极坐标为（2，π），所以直角坐标为（－2，0），由题意得解得m＝－2，
因为曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，
所以直角坐标方程为x2＋3y2＝12.（3分）
将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，得t2－2t－2＝0，
所以|FA|·
|FB|＝2.（5分）
（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2cosθ，2sinθ），由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为
8cosθ＋8sinθ＝16sin，（9分）
当θ＋＝，即θ＝时，椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.（10分）
23．分析：
本题考查绝对值不等式的求解以及不等式恒成立问题，考查考生的运算能力、逻辑推理能力．
（1）只需求|x－1|－|x－2|的最大值，即满足此最大值大于等于t即可；
（2）结合
（1）中所得t的取值范围和基本不等式求解．
（1）因为||x－1|－|x－2||≤|x－1－（x－2）|＝1，
所以|x－1|－|x－2|≤1，所以实数t构成的集合T为（－∞，1]．（4分）
（2）若对于∀t∈T，不等式log3m·
log3n≥t恒成立，
只需log3m·
log3n≥tmax成立，
由
（1）知t≤1，所以log3m·
log3n≥1，（6分）
又因为m>
1，所以log3m>
0，log3n>
0.
又1≤log3m·
log3n≤2＝（当且仅当log3m＝log3n，即m＝n时取等号），
所以[log3（mn）]2≥4，即mn≥9，
所以m＋n≥2≥6（当且仅当m＝n＝3时取等号），
即m＋n的最小值为6.（10分）
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