《变量与函数》教案Word文档格式.docx
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最低气温是多少?
(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?
什么时段的气温在逐渐降低?
解
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为-1℃、2℃、5℃;
(2)这一天中,最高气温是5℃.最低气温是-4℃;
(3)这一天中,3时~14时的气温在逐渐升高.0时~3时和14时~24时的气温在逐渐降低.
从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢?
二、探究归纳
问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率:
观察上表,说说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
解随着存期x的增长,相应的年利率y也随着增长.
问题3收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:
观察上表回答:
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?
(2)波长l越大,频率f就________.
解
(1)l与f的乘积是一个定值,即
lf=300000,
或者说
.
(2)波长l越大,频率f就 越小 .
问题4圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系:
S=_________.
利用这个关系式,试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积,并将结果填入下表:
由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就_________.
解S=πr2.
圆的半径越大,它的面积就越大.
在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中,刻画气温变化规律的量是时间t和气温T,气温T随着时间t的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量(variable).
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量(independentvariable),y是因变量(dependentvariable),此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种:
(1)解析法,如问题3中的
,问题4中的S=πr2,这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法,如问题2中的利率表,问题3中的波长与频率关系表.
(3)图象法,如问题1中的气温曲线.
问题的研究过程中,还有一种量,它的取值始终保持不变,我们称之为常量(constant),如问题3中的300000,问题4中的π等.
三、实践应用
例1下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?
其中哪个是自变量?
哪个是因变量?
解
(1)平均身高是146.1cm;
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速;
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量.
例2写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
(1)圆的周长C与半径r的关系式;
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
解
(1)C=2πr,2π是常量,r、C是变量;
(2)s=60t,60是常量,t、s是变量;
(3)S=(n-2)×
180,2、180是常量,n、S是变量.
四、交流反思
1.函数概念包含:
(1)两个变量;
(2)两个变量之间的对应关系.
2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;
数值始终保持不变的量,叫做常量.例如x和y,对于x的每一个值,y都有惟一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量.
3.函数关系三种表示方法:
(1)解析法;
(2)列表法;
(3)图象法.
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:
(1)三角形的一边长5cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是
;
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α,则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90-α;
(3)若某种报纸的单价为a元,x表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是:
y=ax.
3.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量:
(1)每个同学购一本代数教科书,书的单价是2元,求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系;
(2)计划购买50元的乒乓球,求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.
4.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数,y表示纵向的乘数,试写出y关于x的函数关系式.
作业:
练习册
19.1.1变量与函数
第二课时
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制;
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识;
2.联系求代数式的值的知识,探索求函数值的方法.
问题1填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么?
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.
解如图能发现涂黑的格子成一条直线.
函数关系式:
y=10-x.
问题2试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式.
解y与x的函数关系式:
y=180-2x.
问题3如图,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合.试写出重叠部分面积ycm2与MA长度xcm之间的函数关系式.
思考
(1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?
如果有,写出它的取值范围.
(2)在上面问题1中,当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是多少?
当纵向的加数为6时,横向的加数是多少?
分析问题1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围.
问题2,因为三角形内角和是180°
所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°
问题3,开始时A点与M点重合,MA长度为0cm,随着△ABC不断向右运动过程中,MA长度逐渐增长,最后A点与N点重合时,MA长度达到10cm.
解
(1)问题1,自变量x的取值范围是:
1≤x≤9;
问题2,自变量x的取值范围是:
0<x<90;
问题3,自变量x的取值范围是:
0≤x≤10.
(2)当涂黑的格子横向的加数为3时,纵向的加数是7;
当纵向的加数为6时,横向的加数是4. 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如:
s=60t,S=πR2.
在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.例如,函数解析式S=πR2中自变量R的取值范围是全体实数,如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系,那么自变量R的取值范围就应该是R>0.
对于函数y=x(30-x),当自变量x=5时,对应的函数y的值是
y=5×
(30-5)=5×
25=125.
125叫做这个函数当x=5时的函数值.
例1求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=3x-1;
(2)y=2x2+7;
(3)
(4)
分析用数学式子表示的函数,一般来说,自变量只能取使式子有意义的值.例如,在
(1),
(2)中,x取任意实数,3x-1与2x2+7都有意义;
而在(3)中,x=-2时,
没有意义;
在(4)中,x<2时,
没有意义.
解
(1)x取值范围是任意实数;
(2)x取值范围是任意实数;
(3)x的取值范围是x≠-2;
(4)x的取值范围是x≥2.
归纳四个小题代表三类题型.
(1),
(2)题给出的是只含有一个自变量的整式;
(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子;
(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.
例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围:
(1)某市民用电费标准为每度0.50元,求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式;
(2)已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式;
(3)在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2),求S关于r的函数关系式.
解
(1)y=0.50x,x可取任意正数;
(2)
,x可取任意正数;
(3)S=100π-πr2,r的取值范围是0<r<10.
例3在上面的问题(3)中,当MA=1cm时,重叠部分的面积是多少?
解设重叠部分面积为ycm2,MA长为xcm,y与x之间的函数关系式为
当x=1时,
所以当MA=1cm时,重叠部分的面积是
cm2.
例4求下列函数当x=2时的函数值:
(1)y=2x-5;
(2)y=-3x2;
(4)
分析 函数值就是y的值,因此求函数值就是求代数式的值.
解
(1)当x=2时,y=2×
2-5=-1;
(2)当x=2时,y=-3×
22=-12;
(3)当x=2时,y=
=2;
(4)当x=2时,y=
=0.
1.求函数自变量取值范围的两个依据:
(1)要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;
②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.
(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.
2.求函数值的方法:
把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值.
1.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围:
(1)一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少xcm后,得到的新正方形周长为ycm.求y和x间的关系式;
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式;
(3)矩形的周长为12cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积.
2.求下列函数中自变量x的取值范围:
(1)y=-2x-5x2;
(3)y=x(x+3);
(4)
3.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间t(秒)滑下的距离s(米)由下式给出:
s=10t+2t2.假如滑到坡底的时间为8秒,试问坡长为多少?
4.当x=2及x=-3时,分别求出下列函数的函数值:
(1)y=(x+1)(x-2);
(2)y=2x2-3x+2;
(3)