直线的倾斜角与斜率 2Word文件下载.docx

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知识点

1、直线的倾斜角、斜率的概念

2、过两点的斜率公式

3、直线的倾斜角

教学目标

1、使学生了解确定直线位置的几何要素（两个定点或者一个定点和斜率）.

2、使学生对直线的倾斜角、斜率的概念要理解，能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导，了解直线的倾斜角的范围；

3、使学生理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

教学重点

直线的斜率和倾斜角之间的关系

教学难点

教学过程

课堂导入

已知点

，求过AB的直线的斜率，并且求倾斜角。

那么直线的斜率与直线的倾斜角有怎样的关系呢？

下面进入我们今天的学习！

复习预习

3、直线的倾斜角与斜率的关系式

知识讲解

考点1

直线倾斜角的定义

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：

与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0；

直线的倾斜角α的取值范围为[0，π）．

考点2

直线斜率的定义

倾斜角不是90°

的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即k＝tanα.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．

考点3

过两点的斜率公式

过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线，当x1≠x2时，斜率公式k＝tanα＝

_，该公式与两点的顺序无关；

当x1＝x2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

.

例题精析

例1　如果三条直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l1：

x－y＝0，l2：

x＋2y＝0，l3：

x＋3y＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．

【答案】α1＜α2＜α3

【解析】由tanα1＝k1＝1>

0，所以α1∈

.

tanα2＝k2＝－

<

0，

所以α2∈

，α2>

α1.tanα3＝k3＝－

所以α3∈

，α3>

α1，而－

－

，正切函数在

上单调递增，所以α3>

α2.

综上，α1<

α2<

α3.

例2在△ABC中，A（1，－1），B（1，1），C（3，－1），求三边所在直线的倾斜角和斜率．

【答案】AB：

倾斜角为

，斜率不存在；

AC：

倾斜角和斜率均为0；

BC：

，斜率为－1.

【解析】因为A、B两点的横坐标相同，所以边AB垂直于x轴，倾斜角为

因为A、C两点纵坐标相同，所以边AC平行于x轴，即垂直于y轴，倾斜角和斜率均为0；

B、C两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα＝

＝－1，所以BC边所在直线的倾斜角为

例3如图所示，直线l过点P（－1，2），且与以A（－2，－3），B（4，0）为端点的线段恒相交，求直线l的斜率范围．

【答案】k≥5或k≤－

【解析】设直线l、PA、PB的倾斜角分别为θ、α1、α2，因为直线l与线段AB恒相交，所以α1≤θ≤α2，

其中tanα1＝5，tanα2＝－

，α1∈

，α2∈（

，π），所以tanθ≥tanα1或tanθ≤tanα2，

即k≥5或k≤－

例4直线l经过A（2，1）、B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是________．

【答案】α∈

∪

【解析】k＝tanα＝

＝1－m2≤1，

所以α∈

课程小结

1.求倾斜角的取值范围的一般步骤：

（1）求出斜率k＝tanα的取值范围；

（2）利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

2.求倾斜角时要注意斜率是否存在．