人教版九年级数学下册第27章 相似 专项训练Word文档格式.docx

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DF＝DB·

（第6题）

7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.

CE2＝DE·

PE.

（第7题）

两次相似法

8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.

（第8题）

9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：

（1）△AMB∽△AND；

（2）＝.

（第9题）

等积代换法

10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（第10题）

等线段代换法

11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，

BP2＝PE·

PF.

（第11题）

12．已知：

如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.

PD2＝PB·

PC.

（第12题）

专训2　巧用“基本图形”探索相似条件

几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：

1.平行线型．

2．相交线型．

3．子母型．

4．旋转型．

平行线型

1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.

（1）求证：

BC＝BD·

AC；

（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

相交线型

2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？

请说明理由．

子母型

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°

，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：

旋转型

4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.

（1）△ADE∽△ABC；

专训3　利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系

判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．

证明两线段的数量关系

证明两线段的相等关系

1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.

BM＝MC.

2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AECE＝BFCF.

AD＝DB.

证明两线段的倍分关系

3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°

，求证：

DE＝BC.

4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.

AC＝2CE.

证明两线段的位置关系

证明两线段平行

5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：

AE∥BC.

6．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.

（1）如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？

请证明你的结论；

（2）如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．

证明两线垂直

7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·

AD，BC2＝BA·

BD，求证：

CD⊥AB.

8．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：

EG⊥DF.

专训4　相似三角形与函数的综合应用

解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．

相似三角形与一次函数

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A，点D的坐标为（0，1）．

（1）求直线AD的解析式；

（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

相似三角形与二次函数

2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C（1，0）三点．

（1）求抛物线对应的函数解析式；

（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．

3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D（3，－4）．

（1）求直线BD和抛物线对应的函数解析式；

（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？

若存在，求出点M的坐标；

若不存在，请说明理由．

相似三角形与反比例函数

4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x>

0）经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．

专训5　全章热门考点整合应用

本章主要内容为：

平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：

3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．

3个概念

成比例线段

1．下列各组线段，是成比例线段的是（　　）

A．3cm，6cm，7cm，9cm

B．2cm，5cm，0.6dm，8cm

C．3cm，9cm，1.8dm，6cm

D．1cm，2cm，3cm，4cm

2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.

相似多边形

3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．

位似图形

4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是（a，b），求点B的坐标．

2个性质

平行线分线段成比例的性质

5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°

，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.

（1）求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？

相似三角形的性质

6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.

△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

1个判定——相似三角形的判定

7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：

△ACE∽△OCD.

8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

△PAC∽△PDF；

（2）若AB＝5，＝，求PD的长．

2个应用

测高的应用

9．如图，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高度是多少？

测宽的应用

10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵树，在河的对岸每隔60m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．

1个作图——作一个图形的位似图形

11．如图，在方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位长度）有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半（不改变方向），画出△ABC的位似图形．

1个技巧——证明四条线段成比例的技巧

12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.

（1）求∠PAQ的度数；

（2）若点M为PQ的中点，求证：

PM2＝CM·

BM.

答案

1．证明：

如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.

∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.

∴＝.

又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴＝.∵D为AB的中点，

∴＝.∴＝，即AE·

2．证明：

过点D作DG∥BC，交AC于点G，

∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.

∴＝，＝.

∵AD＝CE，∴＝.∴＝，

即AB·

点拨：

过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．

3．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形．

∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，

∴△DAE∽△FCD，∴＝.

4．证明：

∵DM⊥BC，∠BAC＝90°

，

∴∠B＋∠BEM＝90°

，∠D＋∠DEA＝90°

.

∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.

又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°

，∴BM＝AM.

∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.

又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.

∴＝.∴AM2＝MD·

5．证明：

如图，连接PM，PN.

∵MN是AP的垂直平分线，

∴MA＝MP，NA＝NP.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°

∴∠2＋∠4＝60°

∴∠5＋∠6＝120°

又∵∠6＋∠7＝180°

－∠C＝120°

∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.

∴＝，即BP·

6．证明：

（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°

，∠ACB＋∠CED＝180°

，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.

（2）由△DEF∽△BDE得＝，∴DE2＝DB·

EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴＝，∴DE2＝DG·

DF，∴DG·

7．证明：

∵BG⊥AP，PE⊥AB，

∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°

∴∠P＋∠PAB＝90°

，∠PAB＋∠ABG＝90°

∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.

∴＝，即AE·

BE＝PE·

DE.

又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°

，∴∠CAB＋∠ACE＝90°

又∵∠ACB＝90°

，∴∠CAB＋∠CBE＝90°

∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.

∴＝，即CE2＝AE·

BE.∴CE2＝DE·

8．证明：

易得∠BAC＝∠BDF＝90°

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，

∴△BDF∽△BAE，得＝.

∵∠BAC＝∠BDA＝90°

，∠ABC＝∠DBA.

∴△ABC∽△DBA，得＝，∴＝.

9．证明：

（1）∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.

∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°

∴△AMB∽△AND.

（2）由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN.

又AD＝BC，∴＝.

∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°

∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°

∴∠B＝∠MAN.

∴△AMN∽△BAC，∴＝.

10．证明：

∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°

又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·

AB，同理可得AD2＝AF·

AC，∴AE·

AB＝AF·

AC，∴＝.

11．证明：

连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴＝，即CP2＝PF·

PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·

12．证明：

如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.

∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.

又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.

又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴＝，

即PA2＝PB·

PC，∴PD2＝PB·

1．

（1）证明：

∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝.

∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.

∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.

∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴＝，

即AE·

AC.

（2）解：

设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，

h△BDE表示△BDE中DE边上的高，

h△ABC表示△ABC中BC边上的高．

∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴＝＝.

∵△ADE∽△ABC，∴＝＝.

∵DE＝6，∴BC＝10.

2．解：

相似．理由如下：

因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.

∵∠BAC＝90°

，AD⊥BC于点D，

∴∠BAC＝∠ADB＝90°

又∵∠CBA＝∠ABD（公共角），

∴△ABC∽△DBA.∴＝，∠BAD＝∠C.

∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC.

∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.

又∵∠F＝∠F，

∴△DBF∽△ADF.∴＝.∴＝.

　（第3题）

当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：

AC.可由两组“射影图”得AE·

AB＝AD2，AF·

AC＝AD2，∴AE·

（1）∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.

又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.

（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝.

∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.

∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴＝.

同理可得＝.∴＝.∴＝.

∵DE∥BC，∴△ANE∽△AMC.∴＝.

同理可得＝，∴＝.∴＝.

∴＝.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.

如图，

过C作CG∥AB交DF于G点．

∵CG∥AB，∴＝，＝，

∵＝，∴＝，

∴AD＝BD.

∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°

，∠ABD＝∠ACE＝30°

，∴＝，＝，∴＝.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴DE＝BC.

如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴＝，＝，∴＝.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.

如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，

∴∠ECD＝∠CED＝45°

.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°

.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°

，∴△ACO∽△ECD.∴＝.

又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°

，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°

，∴∠CAE＋∠ACB＝180°

.∴AE∥BC.

6．解：

（1）MN∥AC∥ED.证明如下：

∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴＝＝.∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点，∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点，从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.

（2）MN∥AC.证明如下：

∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴＝＝，∴＝.又∵DF∥AB，∴＝，∴＝，∴＝.又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.

∵AC2＝AB·

AD，∴＝.又∵∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC.∴∠ADC＝∠ACB.

又∵BC2＝BA·

BD，∴＝.又∵∠B＝∠B，

∴△BCD∽△BAC.∴∠BDC＝∠BCA.

∴∠ADC＝∠BDC.

∵∠BDC＋∠ADC＝180°

，∴∠ADC＝∠BDC＝90°

∴CD⊥AB.

∵AD＝AB，点E，F把AB三等分，

∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.

∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.

∴△AFG∽△CDG，∴＝＝.

设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.

在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝k.

∴5m＝k.∴m＝k.∴FG＝k.

∴＝＝，＝＝.∴＝.

又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE.

∴∠EGF＝∠DAF＝90°

.∴EG⊥DF.

1．解：

（1）设直线AD的解析式为y＝kx＋b（k≠0）

将D（0，1）　A代入解析式得：

　解得

∴直线AD的解析式为y＝x＋1.

（2）直线AD的解析式为y＝x＋1.令y＝0，得x＝－2.

得B（－2，0），即OB＝2.

直线AC为y＝－x＋3.

令y＝0，得∴x＝3.

得C（3，0），即BC＝5

设E

①当E1C⊥BC时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°

，∠DBO＝∠E1BC.∴△BOD∽△BCE1.

此时点C和点E1的横坐标相同．

将x＝3代入y＝x＋1，解得y＝.

∴E1.

②当CE2⊥AD时，如图，

∠BOD＝∠BE2C＝90°

，∠DBO＝∠CBE2，

∴△BOD∽△BE2C.

过点E2作EF⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°

又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°

∠CE2F＋∠BE2F＝90°

∴∠E2BF＝∠CE2F.

∴△E2BF∽△CE2F，则＝.

即E2F2＝CF·

BF.＝（3－x）（x＋2）

解得：

x1＝2，x2＝－2（舍去）

∴E2（2，2）

当∠EBC＝90°

时，此情况不存在．

综上所述：

E1或E2（2，2）．

（1）由题意得A（3，0），B（0，3），∵抛物线经过A，B，C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，得方程组解得∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－4x＋3.

（2）如图，由题意可得△ABO为等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1D，则＝，∴DP1＝AD＝4，∴P1（－1，4）；

若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，∵△ABO为等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2），∴点P的坐标为（－1，4）或（1，2）．

3．解：

（1）易得A（－1，0），B（0，2），C（1，0）．

设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋m.

把B（0，2），C（1，0）的坐标分别代入y＝kx＋m，

得解得

∴直线BD对应的函数解析式为y＝－2x＋2.

∵抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c.

∴把B（0，2），D（3，－4）的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，

∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.

（2）存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，＝，即＝，∴MN＝2ON.设ON＝a，则M（a，2a）