量子力学讲义第1、2章.doc

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量子力学

备课笔记

教材：

汪德新《量子力学》

目录

第一章经典物理学的困难与量子力学的实验基础

（2）

第二章量子体系的状态（6）

第三章量子体系的力学量（10+2）

第四章量子力学的表述形式（8）

第五章一维定态问题的严格解

（2）

第六章三维定态问题的严格解（4）

第七章定态问题的近似解（6）

第八章自旋与角动量（6）

第九章全同粒子体系（4）

第十章对称性与守恒律（0）

第十一章量子跃迁（6）

第十二章弹性散射（4）

**量子力学的新进展（4）

主要参考书：

（1）教材P477所列；

（2）赵凯华、罗蔚茵《量子物理》。

玻尔：

如果谁第一次学习量子力学时，不觉得糊涂，那么他就一点也没有看懂。

杨福家：

量子力学的内容可以包括三个方面：

一是介绍产生新概念的一些重要实验；二是提出一系列不同于经典物理的新思想；三是给出解决具体实际问题的方法。

喀兴林：

量子力学难懂的原因有两条。

第一是因为微观世界中有很多事情同我们的宏观世界不同，因而同人们的生活经验和思想方法格格不入；第二是由于量子力学是一门定量的物理理论，表述规律、说明现象和进行逻辑推理，都离不开数学公式，数学公式一多，就显得难懂。

A．索末菲：

要勤奋地去做练习，只有这样，你才会发现，哪些你理解了，哪些

你还没有理解。

钱学森：

理论工作中主要是靠做习题来练，不做习题是练不出本领来的。

前言

量子物理学的发展史（大体分四个阶段）：

1．早期量子论（1900-1923）：

“经典物理+量子条件”（第一章）

2．非相对论量子力学（1924-1927）：

即通常讲的量子力学（第二~第十二章）

3．相对论量子力学（1928-1930）：

狄拉克贡献突出

4．量子场论（1930-）：

“量子力学+相对论+场论”（粒子物理的理论基础）

量子力学研究对象：

研究微观粒子作低速运动时的基本规律发展起来的，将波粒二象性统一起来的动力学理论。

量子力学的重要地位：

没有量子力学就没有现代科学技术。

实验基础：

第一章。

主要内容：

基本概念和原理：

第二、三、四、八、九、十章。

基本方法和应用实例：

第五、六、七、十一、十二章。

学习困难：

思想方法和数学工具。

学习要求：

自学（读书与做练习），听课（思考与提问），讨论（交流）。

第一章经典物理学的困难与量子力学的实验基础

第一章内容普通物理都已涉及，我们仅概述要点，重点说明“早期量子论到量子力学”的必然性和发展，以解决“为什么要量子力学”的问题。

1.1黑体辐射普朗克的能量子假设（1900）

实验结果经典理论结果普朗克公式普朗克能量子假设ε=hυ（1918诺贝尔奖）

1.2光电效应爱因斯坦的光量子假设（1905）

实验结果经典理论无法解释爱因斯坦光量子论ε=hυ（1921诺贝尔奖）

1.3康普顿效应光的波粒二象性（1923）

康普顿效应经典理论无法解释

光具有粒子性：

用光子和自由电子碰撞（能量-动量守恒）成功解释康普顿效

（1927诺贝尔奖）

1.4原子的线状光谱与原子的稳定性玻尔的量子论（1913）

原子模型的发展：

老汤姆孙的蛋糕模型—卢瑟福的核式模型—玻尔的量子论（1922诺贝尔奖）

玻尔理论的意义：

1900-1913年达到早期量子论的高峰，一直延续到1923年。

玻尔首次打开了认识原子结构的大门，明确指出经典物理对原子内部已不适用，用量子论推动了光谱理论的发展，架起了经典物理通向量子物理的桥梁。

但是，玻尔理论只是“搭桥”，并没有登上新物理的“彼岸”。

1.5实物粒子的波动性德布罗意假设（1924）

微观粒子（实物）的波粒二象性：

~德布罗意波（1929年诺贝尔奖）

实验验证：

戴维孙-革末，小汤姆孙，电子衍射（1927;1937年诺贝尔奖）

1.6量子力学的建立

早期量子论的局限性

在解决实际问题中的困难：

如玻尔模型，只能解释氢原子光谱，对仅多一个电子的氦原子就无能为力；对氢原子也只能给出频率，不能给出光谱的强度。

理论结构本身的根本性缺陷：

不是微观体系的一种严密的物理理论，只不过是“一盘大杂烩”~“经典物理+量子条件”的混合物。

真正需要的是：

对物理理论重整，使它对所有系统都给出正确结果。

并在宏观领域回到经典理论—这就是量子理论。

量子理论的建立

海森堡矩阵力学（1925;1932年诺贝尔奖）~玻尔理论的发展：

认为原子理论应建立在可观察量（如光谱、频率）的基础上，赋予每一个物理量一个矩阵，得到相应的运算法则和运动方程。

薛定谔波动力学（1926;1933年诺贝尔奖）~德布罗意波的发展：

德布罗意波—波动方程（德拜的“发问”）—波函数的统计解释（玻恩1926;1954年诺贝尔奖）。

量子力学~波动力学和矩阵力学合一：

薛定谔证明了两者的等价—狄拉克将矩阵力学加工成严密的理论体系，通过严格的变换理论将两者统一为量子力学。

狄拉克1930年完成量子力学“圣经”《量子力学》。

（1933年诺贝尔奖）

量子力学的第三种表述~路径积分：

狄拉克提出，费曼发展（1948;1964年诺贝尔奖）

量子理论建立的特点

众多物理学家共同努力的结晶:

标志着物理研究方式的转变（群体化），量子物理公认的领袖是玻尔（哥本哈根学派）。

量子物理学的成就多属于青年人：

1905年爱因斯坦提出狭义相对论时才25岁；

1912年玻尔提出量子论时27岁；

1925年薛定谔、海森伯和泡利建立量子力学时分别是37岁、24岁、25岁；1927年狄拉克25岁完成了相对论性量子力学；

1935年汤川秀树提出介子理论,28岁建立了核力基础理论。

创建量子力学时，很多从事这方面工作的科学家都访问过玻尔的研究所，那时玻尔年纪也不大，40岁不到，爱因斯坦年纪也不大，按照中国现在的说法是中年和中青年。

可是建立量子力学的不是玻尔、爱因斯坦，而是一批更年轻的科学家。

到第二次世界大战以后，又是一批年轻的科学家，36岁的朝永振一郎、28岁的施温格、29岁的费恩曼完成了量子电动力学的理论基础。

到1950年代，新的基本粒子被发现了，这些新问题的解答，是由另一代年轻的科学家做出的。

盖尔曼提出奇异量子数时才24岁。

杨振宁和李政道，分别是33岁、29岁发现宇称不守恒。

吴健雄44岁实验证明了宇称不守恒。

1960年代，29岁的格拉肖和34岁的温伯格统一了电磁作用与弱作用。

1999年得诺贝尔奖的霍夫特（G.'tHooft）和费尔特曼（M.J.G.Veltman），也都是更年轻的一代。

作业：

1.弄清第一章的物理思想。

2.从习题中选择有代表性的习题~训练。

第一篇态和力学量

本篇回答的问题：

如何描述量子体系的状态？

运动规律遵从什么样的方程？

如何描述力学量？

各种不同表述之间的关系？

第二章量子体系的状态

2.1波函数的统计解释

一、如何描述微观粒子

经典粒子：

r,p

如“子弹双缝”实验

“1”：

密度分布P1（x）

“2”：

密度分布P2（x）

“1+2”：

密度分布

P12（x）=P1（x）+P2（x）

经典波：

Ψ（x,y,z,t）

如水波双缝实验

“1”：

强度分布I1（x）=

“2”：

强度分布I2（x）=

“1+2”：

强度分布

I12（x）≠I1（x）+I2（x）

I12（x）==I1（x）+I2（x）+干涉项

微观粒子：

如电子双缝实验

设电子流很弱，电子几乎一个一个地经过双缝，然后在感光底片上被记录。

起初，电子似乎无规律的“一个一个”地落在感光底片上。

长时间后，出现与经典波相似的“衍射花样”。

如何理解：

电子是“一个一个”地落在感光底片上~原子性

似乎无规律导致有规律的“衍射花样”~波动性

经典粒子的描述无法反映电子的波动性

经典波的描述无法反映电子的原子性（粒子性）

如何解决：

为了反映波动性，可以借用“经典波”的描述方法~波函数描述

为了反映粒子性，玻恩借用统计中的几率概念~重新解释波函数

从而解决了建立完整的微观理论中的一大难题：

“波函数形式”+“统计解释”~Ψ描述具有波粒二象性的微观粒子

微观粒子用波函数Ψ描述

微观粒子在t时刻出现在r处体元dτ的几率为dτ

统计性是微观物理现象的本质特征

二、Ψ的不确定性

1、因为只有相对几率才有意义，Ψ与CΨ描述同一状态。

2、归一化条件：

。

若，则，C为归一化常数。

3、不能采用上述方法归一化的情形。

如自由粒子波函数，，，

对应单色（ω）平面波（k）：

，

，空间各处发现自由粒子的几率相同。

？

！

如何归一化，以后再讨论。

三、多粒子体系的波函数（自学）。

2.2态叠加原理

一、电子双缝实验的启示

什么量叠加？

强度（几率）还是态函数（几率幅）？

如果是强度叠加，则无干涉项。

所以，对微观粒子，几率不遵守叠加原理，几率幅遵守叠加原理。

二、态叠加原理（基本假设之一）

若Ψ1，Ψ2，···，Ψn是体系的可能状态，则Ψ是它的线性叠加：

。

物理意义：

Ψ1→力学量A的确定值a1可能为a1

Ψ2→力学量A的确定值a2 Ψ→力学量A的值可能为a2

·········

Ψn→力学量A的确定值an可能为an

粒子既处于Ψ1态，又处于Ψ2态，···；Ψ1，Ψ2，···是Ψ的可能态，各种可能态的几率为，···，且。

（这与经典物理具有本质差异）

叠加导致测量的不确定性和各种可能值的几率的确定性

三、动量分布函数（动量表象的波函数）——叠加原理的例子

问题：

在r处找到粒子的几率∝→测得动量p的几率如何呢？

若为单色平面波：

λ，υ→,E=hυ,则。

一般情况下，粒子可能以各种不同的动量p运动，Ψ态依叠加原理可表成p取各种可能值的平面波叠加：

。

若p连续变化，，

。

取，即，

可得，

易知是的付里叶变换。

其逆变换为

。

可见←→一一对应，是同一状态的不同描述。

是以坐标为自变量，称为坐标表象的波函数；

是以动量为自变量，称为动量表象的波函数。

是时刻t粒子动量在内的几率

和通过付里叶变换来联系

（指导学生自学P29例题）

作业：

习题2.1、3；习题2.2、1，2。

2.3薛定谔方程几率守恒定律

这是量子力学的核心问题——如何随时间演化？

一、波函数随时间变化的规律——薛定谔方程（S-方程）

（考虑到原子物理中已有讨论，这里只讲要点。

）

自由粒子的启发：

，

→

势场U（r）中运动的粒子：

经典公式：

受自由粒子的启发，作算符替代：

，，

作用与得：

——薛定谔方