西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)(共5次).doc
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西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)
第一次作业
1写出下列点的齐次坐标
(1)(2,0),(0,2),(1,5);
(2)2x+4y+1=0的无穷远点.
2求下列直线的齐次线坐标
(1)x轴
(2)无穷远直线(3)x+4y+1=0.
3求下列各线坐标所表示直线的方程:
(1)[0,-1,0]
(2)[0,1,1]
4求联接点(1,2,-1)与二直线[2,1,3],[1,-1,0]之交点的直线方程.
5经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点,求简比(ABP).
6经过A(-3,2,2),B(3,1,-1)两点的直线的线坐标.
7求直线[1,-1,2]与二点[3,4,-1],[5,-3,1]之联线的交点坐标.
答案:
1解:
(1)(2,0,1),(0,2,1),(1,5,1);
(2)(2,-1,0).
2解:
(1)[0,1,0]
(2)[0,0,1] (3)[1,4,1]
3解:
(1)
(2)
4解:
二直线[2,1,3],[1,-1,0]的交点坐标为(3,3,-3),故两点(1,2,-1),(3,3,-3)联线的方程为,即.
5解:
设=λ,则点P的坐标为P(,),因为点P在直线x+3y-6=0上,所以有+3()-6=0,有,.
6解:
经过A(-3,2,2),B(3,1,-1)两点的直线方程是
即.故线坐标为[4,-3,9].
7解:
二点(3,4,-1),(5,-3,1)联线的方程是
即,该直线的线坐标为[1,-8,-29].
直线[1,-8,-29].与直线[1,-1,2]的交点为(13,31,9).
第二次作业
1已知共线四点A、B、C、D的交比(AB,CD)=2,则(CA,BD)=_______
2试证四直线2x-y+1=0,3x+y-2=0,7x-y=0,5x-1=0共点,并顺这次序求其交比。
3、设共线四点,,,,求
4设两点列同底,求一射影对应0,1,分别变为1,,0.
5求射影变换的自对应元素
6一直线上点的射影变换是x′=,则其不变点是
7证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点.
答案:
1解:
-1
2解:
四直线2x-y+1=0,3x+y-2=0,7x-y=0,5x-1=0的线坐标为[2,-1,1],[3,1,-2],[7,-1,0],[5,0,-1].由于
.
所以四直线共点.
由于,,故,,所求交比.
3解:
因为,,所以,,所求交比.
4解:
设第四对对应点,,由于射影对应保留交比,所以,得到,因此.
5解:
射影变换的自对应元素参数满足方程,解得.
6解:
射影变换x′=的不变元素满足=,解得,或.
7证明:
设C为线段AB的中点,为线段AB上的无穷远点,则
命题得证.
第三次作业
1举例我们已经学习过的变换群
2下列概念,哪些是仿射的,哪些是欧氏的?
①非平行线段的相等;②不垂直的直线;
③四边形;④梯形;
⑤菱形;⑥平行移动;
⑦关于点的对称;⑧关于直线的对称;
⑨绕点的旋转;⑩面积的相等。
3从原点向圆(x-2)2+(y-2)2=1作切线t1,t2。
试求x轴,y轴,t1,t2顺这次序的交比。
4若有两个坐标系,同以△A1A2A3为坐标三角形,但单位点不同,那么两种坐标间的转换式为何?
5在二维射影坐标系下,求直线A1E,A2E,A3E的方程和坐标。
6设点A(3,1,2),B(3,-1,0)的联线与圆x2+y2-5x-7y+6=0相交于两点C和D,求交点C,D及交比(AB,CD)。
答案:
1解:
射影变换群,仿射变换群,欧氏变换群.
2解:
①②③⑤⑦⑨⑩是仿射的④⑥⑧是欧氏的.
3解:
设直线y=kx与圆相切,则,两边平方得到,因此的方程为,的方程为,故.
4解:
设两坐标系单位点分别为,由,(i=1,2,3)
由上两式得到即
其中,,。
5解:
由于,,,,故直线的方程
直线的方程直线的方程.线坐标分别为[0,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,0].
6解:
圆的齐次方程为,设直线上任一点的齐次坐标是,若此点在已知圆上,则
化简得,所以,
于是得到交点的坐标,,,且
第四次作业
1写出下列的对偶命题
(1)三点共线
(2)射影平面上至少有四个点,其中任何三点不共线
2已知是共线不同点,如果
3证明巴卜斯定理:
设A1,B1,C1三点在一直线上,A2,B2,C2三点在另一直线上,B1C2与B2C1的交点为L,C1A2与C2A1的交点为M,A1B2与A2B1的交点为N,证明:
L,M,N三点共线.
4求二次曲线xy+x+y=0的渐近线方程.
5.求通过两直线交点且属于二级曲线的直线
6求点(5,1,7)关于二阶曲线的极线
答案:
1解:
(1)三线共点
(2)射影平面上至少有四条直线,其中任何三线不共点.
2解:
由得到,又因为==-2.
3证明:
设,,,那么
从而.
这两个射影点列的公共点自对应,所以是透视点列.因此应交于一点,即三点L,M,N三点共线.
4解:
二次曲线xy+x+y=0的中心坐标为(-1,1),故二次曲线的渐进线的方程可设
由于,
故其中,所以渐进线方程为,
5解:
设通过两直线交点的线坐标为,若此直线属于二级曲线,则有,解得,。
所求直线的坐标为[1,2,2]和[-1,-14,10]。
6解:
二阶曲线的矩阵是,
所以点(5,1,7)关于二阶曲线的方程为
(5,1,7)=0,即。
第五次作业
1求
(1)二阶曲线的切线方程
(2)二级曲线在直线L[1,4,1]上的切点方程
2
(1)求二次曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的中心与渐近线。
(2)求二阶曲线的过点的直径及其共轭直径.
3已知二阶曲线(C):
(1)求点关于曲线的极线
(2)求直线关于曲线的极点
4证明双曲线:
的两条以λ,λ'为斜率的直径成为共轭的条件是λλ'=
5求射影变换的不变元素
6求射影变换的固定元素。
答案:
1解:
(1)易验证点P在二阶曲线上,故过点P的切线方程是
即.
(2)类似地可验证直线L在二级曲线上,故直线L[1,4,1]上的切点方程是
即.
2解
(1)二次曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的矩阵是,=,,.故中心坐标是(,)
设渐进线方程,即,其中,,故渐进线方程是或
(2)二阶曲线的矩阵是,易求出中心坐标(-3,1,1),由于直径过中心,故过点的直径方程是,该直径上的无穷远点的坐标是(1,0,0),所以共轭直径的方程是
=0即
3解:
(1)二阶曲线的矩阵是
点关于曲线的极线方程是(1,2,1)=0,即
(2)设直线关于曲线的极点为(a,b,c),则有=,解得
a=2,b=-30,c=37.所求极点是(2,-30,37)
4解:
解方程组得说明无穷远直线与双曲线的交点满足此方程,即()()=0,双曲线上的两个无穷远点分布在=0和=0上,故=0和=0为渐进线,两直线的斜率是,
λ,λ'为一对共轭直径的斜率,所以,整理得到=0,因为=-,所以=.
5解:
射影变换的特征方程是=0,即.
把代人方程组,解得不变点是一条直线=0.
把代人方程组,解得不变直线是即过(1,0,0)所有直线都是不变直线.
6解:
射影变换的特征方程是=0,即或
把代人方程组,解得不变点是一条直线
把代入上述方程组,解得不变点(1,0,0).
把代人方程组,解得不变直线是过(1,0,0)的所有直线..
把代入上述方程组,解得不变直线