一次函数题型总结.doc
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一次函数题型总结
函数定义
1、判断下列变化过程存在函数关系的是（）
A.是变量，B.人的身高与年龄C.三角形的底边长与面积
D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间
2、已知函数，当时，=1，则的值为（）
A.1B.－1C.3D.
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
3、下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）。
正比例函数
1、下列各函数中，y与x成正比例函数关系的是（其中k为常数）（）
A、y=3x－2B、y=（k+1）xC、y=（|k|+1）xD、y=x2
2、如果y=kx+b，当时，y叫做x的正比例函数
3、一次函数y=kx+k+1，当k=时，y叫做x正比例函数
一次函数的定义
1、下列函数关系中，是一次函数的个数是（）
①y=②y=③y=210－x④y=x2－2⑤y=+1
A、1B、2C、3D、4
2、若函数y=（3－m）xm-9是正比例函数，则m=。
3、当m、n为何值时，函数y=（5m－3）x2-n+（m+n）
（1）是一次函数
（2）是正比例函数
一次函数与坐标系
1.一次函数y=－2x+4的图象经过第象限，y的值随x的值增大而（增大或减少）图象与x轴交点坐标是，与y轴的交点坐标是 ．
2.已知y+4与x成正比例，且当x=2时，y=1，则当x=－3时，y= ．
3.已知k＞0，b＞0，则直线y=kx+b不经过第 象限．
4、若函数y=－x+m与y=4x－1的图象交于y轴上一点，则m的值是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y=mnx（m，n是常数，且mn≠0）图像的是（）.
图1
6、（2007福建福州）已知一次函数的图象如图1所示，那么的取值范围是（）A
A． B． C． D．
7．一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（）
待定系数法求一次函数解析式
1.（2010江西省南昌）已知直线经过点（1,2）和点（3,0），求这条直线的解析式.
2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴相交于C点．求：
（1）直线AC的函数解析式；
（2）设点（a，－2）在这个函数图象上，求a的值；
2、（2007甘肃陇南）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解：
（1）设．
由图可知：
当时，；当时，．
把它们分别代入上式，得，
解得，．∴一次函数的解析式是．
（2）当时，．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．
O
y（千米）
x（小时）
y1
y2
1
2
3
2.5
4
7.5
P
4、（2007福建晋江）东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段、分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。
⑴试用文字说明：
交点P所表示的实际意义。
⑵试求出A、B两地之间的距离。
解：
⑴交点P所表示的实际意义是：
经过2.5小时后，小东与小明在距离B地7.5千米处相遇。
⑵设，又经过点P（2.5，7.5），（4，0）
∴，解得
∴当时，
故AB两地之间的距离为20千米。
函数图像的平移
1.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为 ．
2、（2007浙江湖州）将直线y＝2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）。
C
A、y＝2x＋2B、y＝2x－2C、y＝2（x－2）D、y＝2（x＋2）
3、（2010湖北黄石）将函数y＝－6x的图象向上平移5个单位得直线，则直线与坐标轴围成的三角形面积为.
4、（2010四川广安）在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度后。
所得直线的解析式为．
【答案】y=2x－3
函数的增加性
1、已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在同一条直线y=kx+b上，且k＜0．若x1＞x2，则y1与y2的关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1=y2 C.y1＜y2 D.y1与y2的大小不确定
2、（2010福建晋江）已知一次函数的图象交轴于正半轴，且随的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：
.
3、（2010河南）写出一个y随x的增大而增大的一次函数的解析式：
.
4、（2010年福建省泉州）在一次函数中，随的增大而 （填“增大”或“减小”），当时，y的最小值为 .
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积
1、函数y=-5x+2与x轴的交点是，与y轴的交点是,与两坐标轴围成的三角形面积是。
2.已知直线y=x+6与x轴、y轴围成一个三角形，则这个三角形面积为___。
3、已知：
在直角坐标系中，一次函数y=的图象分别与x轴、y轴相交于A、B.
若以AB为一边的等腰△ABC的底角为30。
点C在x轴上，求点C的坐标.
4、（2010北京）如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
⑴求A，B两点的坐标；
⑵过B点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求ΔABP的面积.
【答案】解
（1）令y=0，得x=∴A点坐标为（，0）.
令x=0，得y=3
∴B点坐标为（0，3）.
（2）设P点坐标为（x，0），依题意，得x=±3.
∴P点坐标为P1（3，0）或P2（－3，0）.
∴S△ABP1==
S△ABP2==.
∴△ABP的面积为或.
5．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,
叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与
x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积.
A
y
O
B
x
第21题图
解：
（1）∵直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），
∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
（2）直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），
当b>0时,，得b=4，此时,坐标三角形面积为；
当b<0时，，得b=－4，此时,坐标三角形面积为.
综上,当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为．
函数图像中的计算问题
1、（2010天门、潜江、仙桃）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象.以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有（）
A.4个B.3个C.2个D.1个
2、（2007江苏南京）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．
（1）分别求出和时与的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
30元
34元
42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米？
解：
（1）当时，与的函数表达式是；
当时，与的函数表达式是
，
即；
（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，所以把代入中，得；把代入中，得；把代入中，得．所以．
答：
小明家这个季度共用水．
3、（2007湖北宜昌）2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．
（1）哪个队先到达终点？
乙队何时追上甲队？
（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？
解：
（1）乙队先达到终点，（1分）
对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，（2分）
对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx＋b，
将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得：
解得：
y＝10x＋10（3分）
（第9题）
解方程组得：
x＝，即：
出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队.（4分）
（2）1小时之内，两队相距最远距离是4千米，（1分）
乙队追上甲队后，两队的距离是16x－（10x＋10）＝6x－10，当x为最大，即x＝时，6x－10最大，（2分）此时最大距离为6×－10＝3.125＜4，（也可以求出AD、CE的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远（3分）
应用题中的分段函数
1 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．
解在第一阶段：
y＝3x（0≤x≤8）；
在第二阶段：
y＝16＋x（8≤x≤16）；
在第三阶段：
y＝－2x＋88（24≤x≤44）．
2、（2010湖北襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：
A型收割机
B型收割机
进价（万元/台）
5.3
3.6
售价（万元/台）
6
4
设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？
（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？
最大利润是多少？
此种情况下，购买这30台收
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