《小学生数学解题思维案例研究》结题报告文档格式.docx
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传统教学观单纯地强调传授知识，其忽视学生能力（特别是思维能力）的缺陷，在科技迅速发展，知识不断增加的今天，越来越显得突出。
关注学生数学思维能力的发展已经成为一个迫切而严峻的话题。
在数学教育中，历来存在两种策略思想，一是“以多取胜”，另一是“以少御多”，“以多取胜”导致“题海战术”泛滥，在激烈竞争的应试教育势态下，多数教师不得不搞“题海”，对于习题集，A、B卷的泛滥，是我国数学教育中的“怪圈”，不言而喻，人们心目中对数学思维能力的理解仅仅局限于解题能力。
认为培养数学思维能力只要研究解决教学法就可以了。
建构主义学习理论则在如何看待知识、如何理解学习、如何看待教师和学生等问题重新作了重要诠释，提出“知识并不是说明世界的真理，而是个人经验的合理化”，“学习活动不是由教师向学生传递知识，而是学生根据外在信息，通过自己的背景知识，建构自己知识的过程”等。
在逐步推进课程改革的今天，虽然有许多数学老师已经学了不少的教育教学理论，而且都有迫切的愿望“想在教学中发挥学生的主体作用，让学生主动参与数学学习获得发展”，然而，在现实数学教学中却仍不能真正实现。
反观大量的课堂教学，很多时候依然会发现以下现象：
1、教师不自觉地在扮演着“传授者”的角色，向学生传授知识，教学形式无非由“满堂灌”改为“满堂问”；
2、面对某个数学问题，教师以为已经解释的非常清楚，学生却仍未能理解；
3、面对某个知识内容或数学现象，教师以为非常容易理解，学生却难以理解或理解不同。
反之，学生认为正确的，教师却未能赞同；
4、教师未能根据学生的思维反应及时调整课堂教学进程，而只会一如既往地执行既定教案。
这是为什么呢？
我们认为这主要是因为许多数学教师未能“蹲下来”理解小学生的“解题思维”，未能了解小学生在面对一个具体的数学问题时是如何思考和理解的？
是如何投入学习活动的？
它们和成人的思维方式究竟有哪些不同？
这应该说是当前小学数学教学中普遍存在的一个困境。
小学数学教师如果能较好地掌握学生的“数学解题思维”，则一定能够对自身的教学观念和教学方法有新的反思和理解，会寻找到新的方法以求改善，这实际上对于小学数学教师的专业发展也具有重要意义。
那么，在数学教育中如何较好地掌握学生的“数学解题思维”，从而达到提高数学思维能力开发脑潜能的目的呢？
我们带着这样的思考对此作了探究。
二、研究过程
1、前期研究：
制订方案，论证立项。
在此研究阶段，课题组成员组织教师回顾、调查课堂教学现状，并对此作认真的分析与研讨。
充分认识灌输式教学对学生发展造成的危害，特别是对学生创新精神和实践能力的发展造成的不良影响，从而明确课题研究的方向、目的和价值。
2、中期研究：
实施研究，分析整理资料。
在这一研究阶段，我们重点以课堂教学展示活动和对学生开放题测试、引导学生写数学周记为抓手，推进课题研究。
通过课堂教学展示活动，从不同的角度、不同的侧面展示情况，供大家评析和研讨；
通过开放题测试，了解不同年级的学生的解题策略有什么异同，通过对测试结果的分析、比较和研究，进一步得出对小学数学教学的启示；
通过引导学生写数学周记，架起数学世界和生活世界的桥梁，使学生形成知识网络，加深对知识的理解和掌握，促进学生对自己认知加工过程的自我察觉，自我评价和自我调节，使学生学会反思、学会学习。
在这一阶段，我们还通过每学期的优秀论文、优秀案例评比活动，督促教师平时的课题研究，提高教师分析、提炼、总结的能力。
3、后期研究：
总结研究成果，撰写结题报告。
在这一研究阶段，主要分析整理过程材料，提炼并展示研究成果，完成结题工作。
三、研究措施、方法和内容
前苏联数学教育家斯托利亚尔认为：
培养学生的思维能力，学会数学地思维，是当前小学数学教学所要研究的一个重点，也是使孩子们越学越聪明的根本出路。
在我们的教学中，很多时候把探究部分轻易转化为复现部分，复现部分的教学是显性的，是可以通过步骤来传授的；
而探究部分的教学如果也变成可传授的语言，那就失去了思维教学的意义了。
思维主要是靠启迪，而不是靠传授，越是传授得一清二楚，学习者就越不需要思维。
要使教学过程成为思维活动的教学，就要为这种活动创造良好的条件。
那么如何为学生的思维发展创造条件呢？
在研究过程中，我们开展了以下几项工作：
（一）关注思考过程，暴露学生的思维。
现代教学教育理论认为：
数学是思维活动的过程与结果的统一，也是一个从外感到内化的交互作用的过程。
数学教学最本质也最显著的特点在于它所传输的信息不仅仅是数学活动的结果，即数学知识，而且还包括数学思维活动的过程。
基于这样的认识，我们课题组的老师，在课堂教学中特别关注以下几点：
（1）加强操作说理
动手操作是数学学习活动的一种手段，目的是更好促进学生对数学的理解。
会用数学语言、符号等进行表达和交流。
瑞士心理学家皮亚杰指出：
“学生的知识来源于动作，而非来源于物体。
”这就是说，学生的智慧是在实践中产生和发展的，学生通过动手操作可以获取大量的感性知识，为思维提供支柱。
学生在数学学习活动中能主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等发现对象的区别和联系。
因此，在数学教学中，教师应该有针对性地设计操作性活动，并尽量为学生提供足够的思考时间和研讨的空间，鼓励他们去探索，让学生在主动探索的过程中获得成功的体验，在做中感受学数学的乐趣。
如：
教学“圆的面积计算公式”一课时，我校张静波老师是这样设计的。
1、让学生说说，在学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式时，是怎样得到它们的面积计算公式的。
2、学生观察自己带来的半径为3厘米的圆，猜测一下圆的面积大约是多少。
3、让学生猜测：
圆可以转化成哪一种已学的图形？
怎样转化？
4、学生操作实践。
5、运用学生转化成的三角形、平行四边形、梯形……推导出圆面积的计算公式。
学生在整个“做”的过程中，充分动手、动脑，手脑并用，整个学习活动是随学生的学习需要而动态展开的，学生在实际操作中发现了规律，找到解决问题的方法，真正成为学习的主人。
（2）注重比较辨析
“两刃相割，利钝乃知；
两论相订，是非乃见”，有比较，才有鉴别。
因此在教学中我们课题组老师在课堂教学中总是有意识地创设比较辨析的思维情境，让学生在比较辨析的思维情境中，深化解题思路，发展思维品质。
如，我校钱满老师在教学“稍复杂应用题”时，有一组练习题是这样设计的：
（1）学校买4个篮球用去88元，买一个足球用去35元，一个足球比一个篮球贵多少元？
（2）玩具厂原来6天生产2330辆玩具汽车，技术革新后每天生产570辆，现在每天比原来多生产多少辆玩具汽车？
（3）一辆汽车每小时行75千米，一列火车5小时行460千米，火车每小时比汽车快多少千米？
这三道题目内容不同，但都是“先把一个数平均分成几份，再求两数相差”的应用题，在解题中，启发学生撇开“买篮球、足球”、“生产玩具”等具体内容，突出数量关系，把实际问题抽象成数学问题，进而根据数量之间的相应关系，将买东西问题、生产问题、行程问题相互改编，通过不断训练，发展学生的抽象概括能力。
（3）关注多向思考
面对同一道数学题，有些学生仅仅满足于一解，甚至一筹莫展，出现解题思路的僵化现象。
相反，有些学生却能从多角度、多侧面地展开条件之间的沟通与联系，发现众多新信息，使解题思路呈现活跃状态，进而获得多解和优解，使学生思维的深刻性、敏捷性，灵活性等优良品质得到充分的发展。
我们在教学中，关注让学生解答顺向题，也关注让学生解答逆向题，既关注发展学生的定向思维，又关注发展学生的多向思维，指导学生从不同角度用不同的思路去解答。
如在数学综合实践活动课中，邱晓军老师是这样做的：
案例：
这节数学综合实践活动课是让学生设计游览方案。
我依次出示游览券价格表和需要游览券张数表，分别让学生质疑：
看了表格你有什么不明白的地方？
游览券价格表需要游览券张数
门票
游览券
成人10元
学生6元
每张2元
10张16元
联
票
包括门票和5张游览券
成人18元，学生14元
参观点
张数
鹿场
1
水族馆
猴山
百鸟林
钓鱼池
活动点
迷宫
2
骑马
缆车
高架车
3
过山车
待学生质疑并让同学作出解释后，我接着出示问题：
星期天，老师带4位小学生去动物园游览，小敏想参观猴山、钓鱼池、坐高架车、玩迷宫，怎样购票比较好？
先让学生独立思考，然后组织学生汇报。
生1：
“我考虑小敏要买1张门票和7张游览券，所以，列式为6＋7×
2=20元。
”“我有不同意见！
”这时许多同学都大声嚷起来。
生2：
“我有比他更省钱的方案。
”他顿了顿接着说：
“我考虑买联票，1张门票和5张游览券是14元，再买2张游览券只要付4元，一共是18元。
”“对！
”同学们齐声欢呼。
他得意地看了看大家，高兴地坐下了。
师：
“对！
如果买联票比门票和游览券单独买更省钱，所以我们在平时的生活中，遇到实际问题时，一定要多动脑筋，这样不但能节省钱，而且还能使我们变得更聪明。
”我正想出示第二个问题，可这时平素数学成绩并不理想的张蓓尔同学，依然高举着手，嘴里叫着：
“老师，我还有一种设计方案！
”其他同学都用奇怪的目光注视着她，我犹豫了片刻，觉得不应该打击她的积极性，还是让她来说说。
张蓓尔：
“我的方案是买1张门票和10张游览券，列式为6＋16=22元。
”这时许多同学纷纷嚷起来：
“这太浪费了。
”
生：
“我认为这种方案不合适，因为小敏只要买7张游览券就够了，他买了10张，不是多浪费了3张游览券吗？
面对同学的质问，我笑着对张蓓尔说：
“别人都对你的方案有意见，你能说明你设计的方案的理由吗？
这时的张蓓尔已经满面通红，她站起来激动地说：
“我家在农村，很少有机会去动物园，如果我是小敏，我会多选择几个景点去玩，这样虽然多花了4元钱，但能多玩几个景点，我认为还是合算的。
“我也同意张蓓尔的意见了。
”这是刚才持反对意见最强烈的钱柯同学，“因为题目中说有5个人去玩，那小敏就可以把多买的3张券，再卖给其他同学，那不就只要16元钱了吗？
”这时教室里响起了热烈的掌声……
小学生不同的家庭条件以及不同的生活方式，对他们的思维方式、思想观念有着极其深刻的影响。
于是，在课堂上的答案也就变得丰富多彩，我们有责任来保护孩子们独创的幼芽，这就需要我们关注学生的真情实感，尊重学生的判断，重视学生的知识经验，对他们有更多的理解和宽容，要不断地赞赏学生独特的、富有个性的理解，珍惜他们丰富的想象，从而引领他们更加自信地在课堂上张扬自己的个性，培植他们健康个性和健全人格。
（二）运用开放题测试（专项测试），分析学生的思维
解决一个数学问题时学生常常有自己的解题策略，对同一年龄段的学生来说，他们的解题策略既有共性又有个性。
但当学生去解决某一个数学问题时，他们到底会运用怎样的解题策略，采用不同策略的学生人数各有多少，这些问题并不十分清楚。
1、开放题测试：
我们从教材中及课外资料中精选了一些问题，对小学四至六年级的学生进行测试，并从学生的解题中发现学生的解题策略，并分析学生解题策略的心理特征。
小学生解决“比较异分母分数的大小”问题的策略的研究
我们知道比较两个分数的大小有不同的方法。
本文试图研究六年级学生在比较两个异分母分数的大小时，会运用哪些解题策略,男女学生之间有无差异。
二、测试的问题、对象和过程
1、测试的问题
比较分数的大小：
你能用哪些方法来比较
和
的大小？
2、测试的对象
测试对象选取了六年级五个班的学生，共210人，其中男生112人，女生98人。
这五个班均使用《现代小学数学》教材。
3、测试和访谈过程
某天中午，在学生不知情的情况下，由原任数学老师协助组织进行测试。
在测试前，没有给学生任何的解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答，测试时间为20分钟。
学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这个问题的水平。
测试后，我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，分别选择了用1－6种方法和7种方法解题的学生（共30人）进行了访谈。
三、测试结果及分析
1、正确率分析。
表1学生解题正确情况统计表
策略总数
做的人数
正确率
男
女
合计
1种策略
28
18
46
71.4%（20）
77.8%（14）
73.9%（34）
2种策略
24
32
56
91.7%（22）
84.4%（27）
87.5%（49）
3种策略
30
26
86.7%（26）
80.8%（21）
83.9%（47）
4种策略
16
15
31
100%（16）
86.7%（13）
93.5%（29）
5种策略
7
4
11
85.7%（6）
75.0%（3）
81.8%（9）
6种策略
5
100%（5）
100%
（2）
100%（7）
7种策略
0%（0）
66.7%
（2）
（说明：
正确率=对的道数／做的道数×
100％）
从表1可知，学生采用的解题策略的数量和正确率是不相同的，而且有着较大的差异。
用1种策略的学生有46人，占总人数的21.9%，说明这部分学生的解题策略是比较单一的，解题的正确率也偏低，只有73.9%，还有5.7%（12人）的学生不能正确解答这道题。
在这5.7%的学生中，有二名学生会通分，但同分母分数大小不会比较；
五名学生在通分时计算出现错误；
还有五名学生知道这道题可能化成同分母分数来比较，但不会通分。
男女生在解题策略的数量和正确也存在着一定的差异。
采用4种策略以下的女生的正确率是81.6%，男生的正确率是82.9%，正确率男生略高于女生。
采用4种和4种以上策略的男生的正确率是96.7%，女生的正确率是81.8%，正确率是男生明显高于女生。
2、学生的解题策略已呈现出多样性。
通过对学生测试卷的分析，我们发现学生的解题策略是多样的。
学生在解决上述的测试题时，主要有以下几种策略：
策略一：
“通分法”。
把
化成同分母分数来比较。
＝
，
，因为
＜
，所以
。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有202人，占总人数96.2%，其中在计算时出现错误的学生有18人，占采用这种策略人数的8.9%，知道方法而不会通分的学生有15人，占7.4%。
相对于其他策略来讲，这种策略的计算过程是复杂的，而采用这种策略的人数是最多的，并且采用这种策略的学生中只有一名学生第一种方法不是采用这种方法的。
笔者访谈了8名学生，访谈记录如下：
你为什么第一种方法就采用通分法？
用通分做简单。
老师讲过的。
生3、生4：
平时一般是用通分来做。
生5：
老师都用通分来做。
生6：
通分用的多。
生7：
以前比较分数大小，都用通分做。
生8：
上课时，基本上是用通分来做。
执教老师他们一致认为出现这种现象是正常的。
因为原《现代小学数学》教材在教“通分”这个概念时，就是以“两个异分母分数大小比较”引入的，而且在教学“两个异分母分数大小比较”时，提供的策略也是这种策略。
从上面的访谈中不难发现，学生在解决数学问题时采用的策略与教材提供的策略和教师平时采用的策略有着密切的关系。
策略二：
“化小数法”。
化成小数来比较。
≈0.94，
≈0.95，因为0.94＜0.95，所以
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有112人，占总人数的53.3%，其中在计算时出现错误的学生有17人，占采用这种策略的人数的15.2%，知道方法而不会把分数化成小数的学生有8人，占采用这种策略的人数的7.1%。
在访谈中，发现有一部分学生认为，只有能化成有限小数的分数才可以采用这种策略。
笔者问学生：
“你是怎么知道的？
”学生说：
“我们老师在做这样的题目时说过，只有能化成有限小数的分数，才化成小数来比较。
策略三：
“通分子法”。
化成同分子分数来比较。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有68人，占32.3%，其中在计算时出现错误的学生有8人，占11.8%，知道方法而不知道怎么运用的学生有3人，占4.4%。
策略四：
“与1比较法”。
把两个分数分别与1去比较求出它们与1相差多少，从而确定原来数的大小。
用1分别减
通过对剩余数的大小比较，来比较原分数的大小。
1－
，1－
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有60人，占28.6％。
策略五：
“关系比较法”。
用分母与分子的关系进行比较，即两个真分数的分子和分母分别是相邻的自然数，分母大（或分子大）的分数大。
因为17和18是两个相邻的自然数，20和21是两个相邻的自然数。
20＞18（或21＞17），所以
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有45人，占21.4％。
策略七:
：
“扩整法”。
把分数扩大成整数后进行比较，即用两个分数的分母18和21的公倍数分别去乘这两个分数，使分数都扩大同样的倍数，变成整数。
整数大的，原分数较大。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有15人，占7.1%，其中在计算时出现错误的学生有5人，占33％。
策略八：
“倒数法”。
用倒数进行比较，即分别求出
的倒数，比较所得倒数的大小，倒数大的，原数反而小。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生7人，占3.3％。
“求差法”。
用两个分数相减来比较。
因为
在测试的学生中，采用这种策略的学生有8人，占3.8%。
策略九：
“比值法”。
用求两个分数的比值来比较，即求两个分数的比值，当比值大于1时，作为比的前项的分数大。
反之，当比值小于1时，作为比的后项的分数大。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有4人，占2.3%。
策略十：
“化百分数法”。
在被测试的学生中，采用这种策略的有4人，占1.9%。
学生在解决这一问题的过程中，出现了以上10种策略。
可见，如果每名学生都是独立思考的，大家就会从各个角度去思考，不可能都思考到一条路上去，更不可能全体学生只提出一种方法。
四、对小学数学教学的启示
从上面这个问题的测试和分析中，我们可以得到对小学数学教学的几点启示：
1、小学数学教学内容的选择要适合学生的年龄特征，选择的数学问题要具有挑战性，避免让学生做机械重复的练习题，要激发学生学习数学的兴趣。
2、小学数学教育要提倡解决问题的策略多样化，要使学生养成用不同的方法去解决同一个数学问题的习惯。
3、小学数学教育要承认学生的差异，尊重学生的个性，让学生重视与同伴的交流，培养学生比较各种解题方法不同特点的能力，让学生在交流和比较中找到适合自己的解决问题的一种或者几种方法，使不同的学生得到不同的发展。
4、在教学中适度地引进开放题，对培养学生学习数学的兴趣将有一定的帮助。
五、进一步讨论的问题
1、解决这个数学问题时，学生找到了10种策略，在这10种策略中是否存在着最基本的、所有的学生必须都要掌握的策略呢？
2、如何能使学生体会和意识到这10种策略之间的差异？
2、专项测试：
对小学五年级学生数学计算能力测试的分析与研究
在2005年5月，我们组织了一次五年级学生计算能力测试。
并对试卷的命题，学生测试结果等方面进行了剖析，以期能从中发现问题，暴露问题，找出差距，从而对新课改下如何开展计算教学提出我们的思考，更好地促进课改走向深入。
一、测试试题题型分析
本次测试试题分六种题型，包括：
直接写出得数、列竖式计算、用递等式计算、解方程、用简便方法计算、找规律计算。
这些题型基本上涵盖了我们教材、课堂作业本等平时作业中常见的计算题的命题形式。
而“找规律计算”这样的题型在平时的命题中并不常见，我们对此做了有益的尝试。
二、测试试题（附于文后）
三、测试试题命题意图
在总分为100分的试卷中，其中直接写出得数（12%）、列竖式计算（12%）、用递等式计算（24%）、解方程（12%）这样的题目为基本题，但题目中的数字出现了“除数是三位数的除法”以及“三位数乘三位数”，如：
7.733÷
370＝，（40.2×
16.2×
0.8）÷
（0.8×
81），这样的题目难
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