概率论与数理统计答案.docx
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概率论与数理统计答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以丫表示三次中出现
正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到
黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
X
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P（0黑,2红,2
白）=
0
【解】X和Y的联合分布律如表:
3.设二维随机变量（X，丫）的联合分布函数为
0x
ny—y2其他.
nC
2,0
F（x，y）=sinxsiny,
0,
4.设随机变量（X，丫）的分布密度
求：
（1）常数A；
（2）随机变量（X，丫）的分布函数;
P{0*1,0*2}.
【解】
（1）
f（x,y）dxdy0
A尹4y）dxdy121
A=12
k;
确定常数
求P{Xv1,Y<3};求P{X<1.5};
求P{X+YW4}.
【解】
（1）由性质有
6.设X和丫是两个相互独立的随机变量,
【解】
（1）因X在（0,0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
所以
⑵P（Y
7.设二维随机变量（
X）f（X,y）dxdy如图25e5ydxdy
yxD
X，Y）的联合分布函数为
e4x）（1e2y）,
F（x，y）=（1
0,
x0,y0,
其他.
求（X,Y）
的联合分布密度.
【解】f（x,y）
午（x,y）8e（4x2y）
xy0,
x0,y0,其他.
8.设二维随机变量（X,丫）的概率密度为
f（x，y）=4：
y（2
x）,0
1,0yx,
其他.
求边缘概率密度.
【解】fx（x）f（x,y）dy
9.设二维随机变量（X，丫）的概率密度为
f（x，y）=
ey,0
0,
y,
其他.
求边缘概率密度.
【解】fx（x）f（x,y）dy
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）
2
cxy,
0,
y1,
其他.
（1）试确定常数C；
求边缘概率密度.
【解】
（1）
f（x,v）dxdy如图
D
f（x,y）dxdy
21
c一
fX（x）
f（x,y）dy
11.设随机变量（X,丫）的概率密度为
y）-
求条件概率密度fYlX（yIX）,fxIY（xI
题11图
【解】fx（x）f（X,y）dy
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为
Y.
（1）求X与丫的联合概率分布；
（2）X与丫是否相互独立?
【解】
（1）X与丫的联合分布律如下表
故X与丫不独立
（2）X与丫是否相互独立?
【解】
（1）X和丫的边缘分布如下表
7、
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.2
0.42
0.38
（2）因P{X2}gP{丫0.4}0.20.80.160.15P（X2,丫0.4）,
故X与Y不独立.
14.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）
ley/2
fY（y）=2'
0,
上服从均匀分布，丫的概率密度为
y0,
其他.
题14图
（2）方程a22XaY0有实根的条件是
X2綁,
从而方程有实根的概率为:
求Z=X/Y的概率密度.
（1）当z<0时，Fz（z）0
（2）当0题15图
⑶当z》l时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）
（1）求X和丫的联合概率密度;
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布.随机
地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），贝yXi〜N（160,202）,
从而
17.设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=P（k）,k=0,1,2,•,
P{Y=r}=q（r）,r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
i
P{Z=i}=p（k）q（ik）,i=0,1,2,•-
k0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,
所以
于是
18.设X,Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n,p的二项分布证明Z=X+Y
服从参数为2n，P的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0,1,2,…，2n.
方法二：
设耳必…施小鼻‘，；••曲均服从两点分布（参数为P）,则
X=国+iJ2+-••+W,Y=卩，+•••"+，,
X+Y二b+比+・…+w++/+•••■+',
所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.
19.设随机变量（X,丫）的分布律为
（4）求W=X+Y的分布律.
【解】
（1）P{X2|Y2}旦△一2丫一
P{Y2}
（2）P{Vi}P{max（X,Y）i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
所以V的分布律为
（3）P{Ui}P{min（X,Y）i}
于是
（4）类似上述过程，有
设M二max{X,Y}，求P{M>0}.
题20图
（1）P{Y0|YX}P{Y0，YX}
P{YX}
的值为多少?
题21图
P{X
所以fX
（2）
r-Y
y1
y2
y3
P{X=xi}=pi
Xxr\^
X2
1/8
1/8
P{Y=yj}=P
1/6
1
X，丫）联合分布律及关于X和丫的边缘
【解】因P{Yyj}
Xi,Yyj},
Pj
2
4
22.设随机变量X和丫相互独立，下表列出了二维随机变量分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处
故P{Y%}P{X
X1,Y
P{X
X2,Y
力},
从而P{X
1
x1,丫y1}6
11
824.
而X与丫独立，故P{X
Xi}gP{Y
yj}P{X
Xi,Y
从而P{X
x1}6
P{X
X1,Y
1
24.
即：
P{X
x1}24
丄丄
64
.
又P{X
X1}P{X
X1,Y
P{X
X1,Y
y2}
P{X
即11
424
1P{X
8
X1Y
ys},
从而P{X
1
x-Yy3}-.
同理P{Y
y2}j,
P{X
X2,Yy2}
3
8
3
又P{Y
yj}1,故P{Y
y3}
11
11
i
yi},
X1,Yys},
1
同理P{Xx2}3
P
（1）在发车时有n个乘
X，丫）的概率分布.
从而
X
7.
1
X?
>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为Y表示在中途下车的人数，求：
（2）二维随机变量（
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为
（0（2）P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn}
为f（y），求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
由于X和Y独立，可见
由此，得U的概率密度为
由E（X）0.2，可得
ac0.1.
P{X0,Y0}ab0.105
P{X0}ab0.5.'
得ab0.3.
解以上关于a,b,c的三个方程得
a02b0.1,c0.1.
（2）Z的可能取值为2,1,0,1,2,
P{Z2}P{X1Y1}0.2，
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1，
P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3，
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3,
P{Z2}P{X1,Y1}0.1,
即Z的概率分布为
P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.
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