概率论与数理统计答案.docx

1、概率论与数理统计答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X表示在三次中出现正面的次数，以 丫表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 .试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.X0123000102P（0 黑,2 红,2白）=0【解】X和Y的联合分布律如表:3.设二维随机变量（X，丫）的联合分布函数为0 xn y y 2 其他.n C2,0F （x，y） = sinxsiny,0,4.设随机变量（X，丫）的分布密度求：（1

2、） 常数A ；（2）随机变量（X，丫）的分布函数;P0 *1, 0*2.【解】（1）f(x, y)dxdy 0A尹4y)dxdy 121A=12k;确定常数求 PXv 1, Y 3; 求 PX1.5;求 PX+YW 4.【解】（1）由性质有6.设X和丫是两个相互独立的随机变量,【解】（1）因X在（0, 0.2） 上服从均匀分布，所以 X的密度函数为所以P(Y7.设二维随机变量（X) f(X, y)dxdy如图 25e 5ydxdyy x DX，Y)的联合分布函数为e4x)(1 e2y),F(x，y)= (10,x 0, y 0,其他.求(X, Y)的联合分布密度.【解】f（x,y）午(x,y)

3、 8e (4x 2y)x y 0,x 0,y 0, 其他.8.设二维随机变量（X, 丫）的概率密度为f（x，y）=4：y（2x), 01,0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】fx(x) f (x, y)dy9.设二维随机变量（X，丫）的概率密度为f（ x，y）=ey, 00,y,其他.求边缘概率密度.【解】fx(x) f (x, y)dy题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（ x，y）2cx y,0,y 1,其他.（1）试确定常数C；求边缘概率密度.【解】（1）f (x, v)dxdy如图Df (x, y)dxdy21c 一fX(x)f(x, y)dy11.设随机变量（X,

4、 丫）的概率密度为y)-求条件概率密度fYl X (y I X), fx I Y ( x I题11图【解】fx（x） f（X, y）dy所以12.袋中有五个号码1， 2， 3，4， 5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大的号码为Y.（1）求X与丫的联合概率分布；（2） X与丫是否相互独立?【解】（1）X与丫的联合分布律如下表故X与丫不独立（2） X与丫是否相互独立?【解】（1）X和丫的边缘分布如下表7、258P Y=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因 PX 2gP丫 0.4 0.2 0.8 0.16 0.1

5、5 P(X 2,丫 0.4),故X与Y不独立.14.设X和丫是两个相互独立的随机变量， X在(0，1)le y/2fY (y) = 2 0,上服从均匀分布，丫的概率密度为y 0,其他.题14图(2)方程a2 2Xa Y 0有实根的条件是X2綁,从而方程有实根的概率为:求Z=X/Y的概率密度.(1)当 z0 时，Fz(z) 0(2) 当0z 0.题20图(1) PY 0|Y X PY 0，Y XPY X的值为多少?题21图PX所以 fX（2）r - Yy1y2y3P X=xi= piX xrX21/81/8PY=yj=P1/61X，丫）联合分布律及关于 X和丫的边缘【解】因PY yjXi, Y

6、yj,Pj2422.设随机变量X和丫相互独立，下表列出了二维随机变量 分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处故 PY % PXX1,YPXX2, Y力,从而PX1x1,丫 y1 61 18 24.而X与丫独立，故PXXigP Yyj PXXi, Y从而PXx1 6PXX1,Y124.即：PXx1 24丄丄6 4.又PXX1 P XX1,YPXX1,Yy2PX即1 14 241 PX8X1Yys,从而PX1x-Y y3-.同理PYy2 j,PXX2,Y y2383又 PYyj 1,故 PYy31 11 1iyi,X1, Y ys,1同理 PX x2 3P(1)在发车时有n个乘X，丫)的

7、概率分布.从而X7.1X ?0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 Y表示在中途下车的人数，求：(2)二维随机变量(23.设某班车起点站上客人数 X服从参数为(0p1 )，且中途下车与否相互独立，以 客的条件下，中途有 m人下车的概率； (2) PX n,Y m PX ngPY m|X n为f(y)，求随机变量U=X+ Y的概率密度g(u).由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为由E(X) 0.2，可得a c 0.1.PX 0,Y 0 a b 0.1 05PX 0 a b 0.5 .得 a b 0.3.解以上关于a, b, c的三个方程得a 02b 0.1,c 0.1.(2) Z的可能取值为 2, 1 , 0, 1, 2,PZ 2 PX 1Y 1 0.2，PZ 1 PX 1,Y 0 PX 0,Y 1 0.1，PZ 0 PX 1,Y 1 PX 0,Y 0 PX 1,Y 1 0.3，PZ 1 PX 1,Y 0 PX 0,Y 1 0.3 ,PZ 2 PX 1,Y 1 0.1 ,即Z的概率分布为PX Z PY 0 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4.