届高考数学理一轮复习讲义113 用样本估计总体Word文档下载推荐.docx
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(2)标准差:
s=
.
(3)方差:
s2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2](xn是样本数据,n是样本容量,
是样本平均数).
概念方法微思考
1.在频率分布直方图中如何确定中位数?
提示 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.
2.平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征?
提示 平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况,即标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;
反之离散程度越小,越稳定.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( √ )
(2)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.( ×
)
(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.( √ )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.( ×
(5)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( √ )
(6)在频率分布直方图中,众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.( ×
题组二 教材改编
2.一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为( )
A.4B.8C.12D.16
答案 B
解析 设频数为n,则
=0.25,
∴n=32×
=8.
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.91.5和91.5B.91.5和92
C.91和91.5D.92和92
答案 A
解析 ∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,∴中位数是
=91.5,
=91.5.
4.如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有______人.
答案 25
解析 0.5×
0.5×
100=25.
题组三 易错自纠
5.若数据x1,x2,x3,…,xn的平均数
=5,方差s2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数和方差分别为( )
A.5,2B.16,2C.16,18D.16,9
答案 C
解析 ∵x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,
∴
=5,
+1=3×
5+1=16,
∵x1,x2,x3,…,xn的方差为2,
∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×
2=18.
6.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m,众数为n,平均数为
,则m,n,
的大小关系为________.(用“<
”连接)
答案 n<
m<
解析 由图可知,30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数,即m=5.5;
又5出现次数最多,故n=5;
≈5.97.
故n<
题型一 统计图表及应用
命题点1 扇形图
例1(2018·
全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析 设新农村建设前,农村的经济收入为a,则新农村建设后,农村的经济收入为2a.新农村建设前后,各项收入的对比如下表:
新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×
2a=74%a
增加
A错
其他收入
4%a
5%×
2a=10%a
增加了一倍以上
B对
养殖收入
30%a
30%×
2a=60%a
增加了一倍
C对
养殖收入+第三产业收入
(30%+6%)a=36%a
(30%+28%)×
2a=116%a
超过经济收入2a的一半
D对
故选A.
命题点2 折线图
例2(2017·
全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:
万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
解析 对于选项A,由图易知,月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份,故A错;
对于选项B,观察折线图的变化趋势可知,年接待游客量逐年增加,故B正确;
对于选项C,D,由图可知显然正确.
命题点3 茎叶图
例3(2017·
山东)如图所示的茎叶图记录了甲,乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:
件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7
解析 甲组数据的中位数为65,由甲,乙两组数据的中位数相等,得y=5.又甲、乙两组数据的平均值相等,
×
(56+65+62+74+70+x)=
(59+61+67+65+78),∴x=3.故选A.
命题点4 频率分布直方图
例4某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56B.60C.120D.140
答案 D
解析 设所求人数为N,则N=2.5×
(0.16+0.08+0.04)×
200=140,故选D.
思维升华
(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.
(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.
(3)由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐.
(4)①准确理解频率分布直方图的数据特点,频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形图混淆.
②在很多题目中,频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布.
跟踪训练1
(1)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20℃的月份有5个
解析 由题意知,平均最高气温高于20℃的有七月,八月,故选D.
(2)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组,得到样本频率分布直方图如图所示,其中年龄在区间[30,40)内的有2500人,在区间[20,30)内的有1200人,则m的值为( )
A.0.013B.0.13C.0.012D.0.12
解析 由题意,得年龄在区间[30,40)内的频率为0.025×
10=0.25,
则赞成高校招生改革的市民有
=10000(人),
因为年龄在区间[20,30)内的有1200人,
所以m=
=0.012.
(3)(2018·
沈阳质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示,则其中位数和众数分别为( )
A.95,94B.92,86C.99,86D.95,91
解析 由题中茎叶图可知,此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,
98,99,101,103,114,共17个,故中位数为92,出现次数最多的为众数,故众数为86,故选B.
(4)下图是2017年1~11月汽油、柴油价格走势图(单位:
元/吨),据此下列说法错误的是( )
A.从1月到11月,三种油里面柴油的价格波动最大
B.从7月份开始,汽油、柴油的价格都在上涨,而且柴油价格涨速最快
C.92#汽油与95#汽油价格成正相关
D.2月份以后,汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌
解析 由价格折线图,不难发现4月份到5月份汽油价格上涨,而柴油价格下跌.
题型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例5(2017·
北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:
[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解
(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×
10=0.6,
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4,
所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×
10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×
0.9-5=5,
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×
=20.
(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×
10×
100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×
=30,
所以样本中的男生人数为30×
2=60,
女生人数为100-60=40,
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2,
所以根据分层抽样原理,估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
思维升华平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.
跟踪训练2(2018·
大连模拟)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,
),(a,b),(
,b),(
,
),(a,b),(a,b),(a,
),(
,b),(a,
),(a,b),(a,
,b),(a,b),其中a,
分别表示甲组研发成功和失败;
b,
分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
解
(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数
甲=
;
方差为s
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数
乙=
因为
甲>
乙,s
<
s
,所以甲组的研发水平优于乙组.
(2)记恰有一组研发成功为事件E,在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,
),(a,
,b),共7个.因此事件E发生的频率为
.用频率估计概率,即得所求概率为P(E)=
1.某教育为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:
公里)的数据,绘制了下面的折线图.
根据折线图,下列结论正确的是( )
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳
解析 由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数;
月跑步平均里程不是逐月增加的;
月跑步平均里程高峰期大致在9,10月份,故A,B,C错.
2.如图是某样本数据的茎叶图,则该样本的中位数、众数、极差分别是( )
A.32 34 32B.33 45 35
C.34 45 32D.33 36 35
解析 从茎叶图中知共16个数据,按照从小到大排序后中间的两个数据为32,34,所以这组数据的中位数为33;
45出现的次数最多,所以这组数据的众数为45;
最大值是47,最小值是12,故极差是35.
3.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学,测量他们的身高(单位:
cm),所得数据用茎叶图表示如下,由此可估计甲、乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是( )
A.甲班同学身高的方差较大
B.甲班同学身高的平均值较大
C.甲班同学身高的中位数较大
D.甲班同学身高在175cm以上的人数较多
解析 逐一考查所给的选项:
观察茎叶图可知甲班同学数据波动大,
则甲班同学身高的方差较大,A选项正确;
甲班同学身高的平均值为
=169.2,
乙班同学身高的平均值为:
=171,
则乙班同学身高的平均值大,B选项错误;
甲班同学身高的中位数为
=168,
乙班同学身高的中位数为
=171.5,
则乙班同学身高的中位数大,C选项错误;
甲班同学身高在175cm以上的人数为3人,
乙班同学身高在175cm以上的人数为4人,
则乙班同学身高在175cm以上的人数多,D选项错误.
4.为了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取了n个同学进行调查,结果显示这些学生的支出金额(单位:
元)都在[10,50]内,其中支出金额在[30,50]内的学生有117人,频率分布直方图如图所示,则n等于( )
A.180B.160C.150D.200
解析 [30,50]对应的概率为1-
10=0.65,所以n=
=180.
5.某工厂对一批新产品的长度(单位:
mm)进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数为( )
A.20B.25C.22.5D.22.75
解析 产品的中位数出现在频率是0.5的地方.自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15,设中位数是x,则由0.1+0.2+0.08×
(x-20)=0.5,
得x=22.5,故选C.
6.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是( )
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增大
C.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元
D.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
解析 由折线图可知A,B正确;
4067.4÷
(1+6.6%)≈3815<
4000,故C正确;
2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一;
河南均第四,共2个.
7.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数
=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为________.
答案 11
解析 由x1,x2,…,xn的平均数
=5,得2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为2
+1=2×
5+1=11.
8.为了了解一批产品的长度(单位:
毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为________.
答案 100
解析 由题意得,三等品的长度在区间[10,15),[15,20)和[35,40]内,
根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.0125+0.0250+0.0125)×
5=0.25,
∴样本中三等品的件数为400×
0.25=100.
9.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品,对其使用寿命(单位:
年)进行追踪调查的结果如下:
甲:
3,4,5,6,8,8,8,10;
乙:
4,6,6,6,8,9,12,13;
丙:
3,3,4,7,9,10,11,12.
三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数.
________;
________.
答案 众数 平均数 中位数
解析 甲的众数为8,乙的平均数为8,丙的中位数为8.
10.某校女子篮球队7名运动员身高(单位:
cm)分布的茎叶图如图,已知记录的平均身高为175cm,但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰,如果把其末位数字记为x,那么x的值为________.
答案 2
解析 170+
(1+2+x+4+5+10+11)=175,
(33+x)=5,即33+x=35,解得x=2.
11.某市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
解
(1)如题图所示,用水量在[0.5,2)的频率的和为(0.2+0.3+0.4)×
0.5=0.45,用水量在[0.5,3)的频率的和为(0.2+0.3+0.4+0.5+0.3)×
0.5=0.85.
∴用水量小于等于2立方米的频率为0.45,用水量小于等于3立方米的频率为0.85,又w为整数,
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为3.
(2)当w=3时,该市居民该月的人均水费估计为
(0.1×
1+0.15×
1.5+0.2×
2+0.25×
2.5+0.15×
3)×
4+0.15×
3×
4+[0.05×
(3.5-3)+0.05×
(4-3)+0.05×
(4.5-3)]×
10=7.2+1.8+1.5=10.5(元).
即当w=3时,该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
12.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
图②
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?
说明理由.
解
(1)作出频率分布直方图如图:
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;
B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记CA表示事件:
“A地区用户的满意度等级为不满意”;
CB表示事件:
“B地区用户的满意度等级为不满意”.
由直方图得P(CA)的估计值