版高中全程复习方略课时提能训练71平面空间两条直线的位置关系苏教版数学文Word下载.docx

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①直线AM与直线C1C相交；

②直线AM与直线BN平行；

③直线AM与直线DD1异面；

④直线BN与直线MB1异面．

其中正确结论的序号为__________．（注：

把你认为正确的结论序号都填上）

4.和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是___________.

5.以下命题中，正确命题的序号是___________.

①有三个角是直角的四边形一定是矩形

②不共面的四点可以确定四个平面

③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线

④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合

⑤若l1,l2,l3是空间三条不同的直线，且l1∥l2∥l3，则l1,l2,l3共面

⑥若l1,l2,l3是空间三条不同的直线，且l1,l2,l3共点，则l1,l2,l3共面

6.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是___________.（填序号）

7.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°

，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的大小是________.

8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°

；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD.

其中正确的序号是__________.

二、解答题（每小题15分，共45分）

9.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.

求证：

M、N、K三点共线.

10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：

四边形EBFD1是菱形．

11.如图所示，四棱锥A—BCED中，AC⊥底面BCED，底面BCED为直角梯形，BD∥EC，∠ECB=∠DBC=90°

，BD=1,BC=AC=EC=4.

求异面直线DE与AB所成角的余弦值.

【探究创新】

（15分）求证：

两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．

答案解析

1.【解析】正方体如图，若要出现所成角为60°

的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B,BC′,A′D,C′D，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有

对（每一对被计算两次，所以记好要除以2）．

答案：

24

2.【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a

α,

∴①错;

当a∩β=P时,②错;

如图,∵a∥b,P∈b,∴P

a,

∴由直线a与点P确定唯一平面α,

又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

③④

【误区警示】解答本题时常因考虑不到一些特殊情况而导致错误．

3.【解析】结合图形可得直线AM与直线C1C、BN是异面直线，故①、②错误；

由异面直线的定义可得③、④正确．

4.【解析】画出图形分析.

图①中，AB、CD与异面直线a、b都相交，此时AB、CD异面；

图②中，AB、AC与异面直线a、b都相交，此时AB、AC相交.

异面或相交

5.【解析】如图

（1），平面α内∠ABC为直角，P

α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①错误；

在图

（2）的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③错误；

图（3）中，M∩N=l，A、B、C都在l上，知④错误，对于⑤:

空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于⑥:

空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.只有②正确．

②

6.【解析】在

（1）图中分别连结PS,QR，

易证PS∥QR，∴P,Q,R,S共面；

在（3）图中分别连结PQ,RS，

易证PQ∥RS，∴P,Q,R,S共面．

如图，在

（2）图中过P,Q,R,S可作一正六边形，

故四点共面；

（4）图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面.

（1）

（2）（3）

【误区警示】对于截面问题，常因不能准确确定平面的交线而出错．

7.【解析】连结AB1，易知AB1∥EF，连结B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连结GH，则GH∥AB1∥EF.故∠HGB（或其补角）为EF与BC1所成的角，设AB=BC=AA1=a,连结HB，在三角形GHB中，易知GH=HB=GB=

故两直线所成的角为∠HGB=

60°

.

8.【解题指南】将平面图形还原为空间图形，然后逐一进行判断．

【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，

则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．

①③

【变式备选】

（2011·

杭州模拟）已知a,b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a,b在α上的射影可能是：

①两条平行直线；

②两条互相垂直的直线；

③同一条直线；

④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的序号是__________（写出所有正确结论的序号）．

【解析】①、②、④对应的情况如下：

用反证法可证明③不可能.

①②④

9.【证明】

⇒M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上，即M、N、K三点共线.

【变式备选】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为正方形BCC1B1的中心．

（1）过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q（只写作法，不必证明）；

（2）求PQ的长．

【解析】

（1）由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.

又O,C,M三点确定一个平面β（如图所示）．平面α、β及面ABCD两两相交.

延长CM，DA交于点Q，连结OQ交AN于点P.

则直线OPQ即为所求作的直线.

（2）由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ=CB=1，

又∵△OPN∽△QPA，ON=

BC=

AQ.

∴PN∶PA＝1∶2.

解Rt△APQ可得PQ=

10.【证明】如图所示，取B1B的中点G，

连结GC1，EG，

∵GB∥C1F，且GB=C1F

∴四边形C1FBG是平行四边形，

∴FB∥C1G，且FB=C1G,

∵D1C1∥EG，且D1C1=EG,

∴四边形D1C1GE为平行四边形．

∴GC1∥D1E，且GC1=D1E,

∴FB∥D1E，且FB=D1E，

∴四边形EBFD1为平行四边形．

又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1为菱形．

【误区警示】解答本题时，常忽视对四边形EBFD1为平面图形的证明，如证得BE=ED1=D1F=FB后即下结论得到菱形．

11.【解析】过点B作BF∥ED交EC于F，连结AF，

则∠FBA（或其补角）即为异面直线DE与AB所成角，

在△BAF中，AB=

，

BF=AF=

=5，

由余弦定理得

cos∠ABF=

即异面直线DE与AB所成角的余弦值为

．

【证明】

（1）若a、b、c三线共点P，但点P

d，由d和P点可确定一个平面α.

设a∩d＝A,∴点A∈α,∴直线a⊂α.

同理可证：

b、c⊂α,∴a、b、c、d共面.

（2）若a、b、c、d两两相交但不过同一点.

∵a∩b＝Q,∴a与b可确定一个平面β.

又c∩b＝E,∴E∈β.同理c∩a＝F,∴F∈β.

∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上,∴c⊂β.

d⊂β,故a、b、c、d共面.

由

（1）

（2）知：

两两相交且不过同一点的四条直线必共面.