位移控制的弦支穹顶预应力计算方法Word文档格式.docx

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本文提出了一种求解弦支穹顶下弦拉索合理预应力值的预应力影响矩阵法。

该方法以每根环向索力为单位力、其他环向索力为零时产生的上弦穹顶位移为基础，组合出预应力影响矩阵。

预应力影响矩阵是以预应力为外力的柔度矩阵，该矩阵乘以预应力列向量得到上弦节点位移，选择合适的控制点和控制位移大小，得到预应力控制方程，求解控制方程得到所有环向索合理预应力值。

本文提出的预应力影响矩阵法原理清晰，利用现有的有限元计算软件就可以得到预应力影响矩阵。

最后，利用ANSYS软件对一算例进行了求解，验证了预应力影响矩阵法的正确性。

1预应力影响矩阵基本原理

1.1弦支穹顶受力

弦支穹顶由上弦穹顶和下弦环向索、径向索及撑杆组成，下弦拉索通过撑杆对上弦穹顶产生向上的平衡荷载；

同时，下弦拉索的拉力施加在上弦，使上弦产生径向压力，径向压力通过拱的作用产生向上的节点荷载。

下弦拉索产生的平衡荷载很容易计算，但是上弦径向压力产生的竖向平衡荷载很难计算，如何确定下弦拉索拉力大小，使弦支穹顶结构受力合理，或者使上弦穹顶的竖向位移在竖向荷载和索拉力下基本为零，大都称为预应力优化，是确定预应力大小的核心问题[7]。

索穹顶结构一般可以根据对称性简化为具有一个约束力的一次超静定结构[8]求解，而弦支穹顶结构要复杂的多。

弦支穹顶结构受力可以按图1进行分解：

1）上弦穹顶在竖向荷载下的受力；

2）上弦穹顶在每道环向索及对应的径向索下的受力。

预应力确定的基本原则是上述两种受力组合下总位移控制在一定范围，或者除了控制位移外，关键杆件的内力控制在一定值。

a-弦支穹顶剖面;

b-上弦穹顶承受竖向荷载作用;

c-第1圈环向索作用;

d-第2圈环向索作用;

e-第3圈环向索作用

图1弦支穹顶计算原理

1.2预应力影响矩阵

只考虑环向索拉力通过径向索及撑杆对上层壳产生的作用，第1道环向索拉力T1=1为单位力，其他环向索拉力为0时（图1c）得：

（1）

其中

式中：

[K]为上弦网壳刚度矩阵；

{δm}T1=1为第1道环向索拉力T1=1时，上弦网壳节点位移列向量；

{Fm}T1=1为第1道环向索拉力T1=1时，对上弦网壳产生的节点力列向量；

m为上弦网壳节点力和节点位移的自由度数，在不考虑约束时，m为节点数的3倍。

第2道环向索拉力T1=1为单位力，其他环向索拉力为0时（图1d）得：

（2）

同理，得到第n道环向索拉力Tn=1为单位力，其他环向索拉力为0时得：

（3）

上弦壳在受力过程中处于线弹性阶段，上弦网壳刚度矩阵[K]保持不变，当环向索拉力增大时，节点位移线性增大，由式

（1）-式（3）得到：

[K]T1{δm}T1=1=T1{Fm}T1=1

（4）

[K]T2{δm}T2=1=T2{Fm}T2=1

（5）

[K]Tn{δm}Tn=1=Tn{Fm}Tn=1

（6）

式（4）-式（6）相加得到：

[K][T1{δm}T1=1+T2{δm}T2=1+…+Tn{δm}Tn=1]=T1{Fm}T2=1+T2{Fm}T2=1+…+Tn{Fm}Tn=1

（7）

式（7）表明，当第1道环向索拉力为T1、第2道环向索拉力为T2，…,第n道环向索拉力为Tn时，上弦网壳节点位移{Δm}为：

T1{δm}T1=1+T2{δm}T2=1+…+Tn{δm}Tn=1=

{Δm}

（8）

写成矩阵形式为：

（9a）

令

（9b）

[δ]m×

n称为预应力影响矩阵，其中的元素δi,j为第j根环向索预应力Tj=1为单位力时，第i自由度上的位移值，也就是第j预应力对i自由度的位移影响，所以称为预应力影响矩阵。

当上弦网壳结构布置和构件截面确定后，式

（1）-式（3）的刚度矩阵[K]就确定；

当撑杆高度、环向索、径向索布置确定，单位预应力的节点荷载力{Fm}T1=1、{Fm}T2=1…{Fm}Tn=1也就确定，这样，单位预应力引起的节点位移列向量{δm}T1=1，{δm}T2=1，…，{δm}Tn=1就可以根据式

（1）-式（3）得到，带入式（9b）得到预应力影响矩阵[δ]m×

n。

1.3预应力控制方程

式（9a）有2种理解方式：

第1种：

当确定了n根索的拉力时，上弦网壳在预应力作用下各点的节点位移可以由式（9a）得到唯一解。

第2种：

式（9a）是n元一次方程组，有n个未知数，也就是有n根索，有m个方程式，由于上弦网壳的位移自由度数m远远超过n，因此，不能通过指定m个自由度的位移量而求解n个未知数。

求解式（9a）中n根环向索拉力的方法是指定n个控制点Ci的控制位移，得到影响矩阵控制方程：

（10）

式（10）中等式右边的控制位移可通过上弦穹顶在竖向荷载下的位移得到，如果控制弦支穹顶在竖向荷载和预应力下变形不大，控制位移可以近似取为竖向荷载下位移（按图1b计算）的负值。

求解式（10），得到第1,2,3,...道环向索拉力值T1,T2,T3,...。

1.4预应力影响矩阵的推广

式（10）中

）T为指定n个控制位移值，也可以指定位移约束条件，如:

指定ΔC2-ΔC1=a为约束条件，可以令ΔC1=ΔC1x为未知量，Δ2=a+ΔC1x，这样式（10）除了n个环向索拉力为未知数外，还增加了新的未知数ΔC1x，未知数成了n+1个，就可以增加一个新的控制位移，式（10）变为含约束条件的控制方程：

（11）

式（10）、式（11）的物理意义是非常明确的，δCi,j为第j预应力对Ci控制自由度上位移的影响。

其实，也可以用第j预应力对Ci控制内力的影响，记为fCi,j，这样就可以得到位移和内力混合控制的方程，如选第2控制量为内力，内力控制为FC2，公式（10）变为位移、内力混合控制方程：

（12）

求解式（11）或式（12）都可以得到第1，2，3，…道环向索拉力值T1，T2，T3，…。

1.5预应力影响矩阵的特点

控制式（10）-式（12）中的预应力影响矩阵看起来类似柔度矩阵，柔度矩阵一般是对称矩阵，譬如δij=δij，表示j自由度上的单位力在i自由度上产生的位移与i自由度上的单位力在j自由度上产生的位移是相同的。

但是，控制方程中的预应力影响矩阵并没有对称性，δCi,j≠δCj,i，因为，δCi,j表示第j环向索单位拉力在Ci控制自由度上的位移，δCj,i表示第i环向索单位拉力在Cj控制自由度上的位移，Ci不同于i，Cj也不同于j。

2影响矩阵法的有限元实现

2.1影响矩阵求解原理

控制式（9a）中影响矩阵第j列元素可通过下式计算：

（13）

从中抽取要控制的自由度得到式（10）、式（11）的影响矩阵。

通过式（13）计算出{δm}Tj=1，也就得到了各节点的位移，根据单元刚度计算出要控制杆件内力，从而得到式（12）矩阵的内力控制元素。

2.2利用有限元软件求解影响矩阵

如果编制程序求解影响矩阵是一件很复杂的工作，其实，可以利用现有的有限元软件求解影响矩阵，其求解方法如下：

1）先建立有限元模型，包括上弦网壳、撑杆、环向索和径向索。

2）当计算第j根环向索的影响元素时，第j根环向索和对应的径向索按实际截面积和弹性模量取值，其余环向索和径向索截面积取近似无穷小，弹性模量取近似无穷小，这样，除了第j根环向索和对应的径向索参与受力外，其余索内力基本为零，可以认为其余索没有参与受力。

3）给所有索一定初应变，约为0.001～0.003即可，对整个结构进行计算分析，查出第j根环向索拉力Tj0、第Ci控制自由度位移

Tj=Tj0和结构控制杆件内力（fCk,j）Tj=Tj0，可以按下式位移控制的计算影响矩阵元素：

（14）

（15）

4）由式（14）、式（15）就可以形成预应力影响矩阵方程式（10）-式（12）。

5）控制方程右侧位移可通过图1b计算出上弦穹顶在外荷载下的位移，以此位移为基础确定控制位移值。

6）求解影响矩阵方程得到预应力T1，T2，T3，…。

3算例

该算例为某工程的初步设计方案，弦支穹顶直径为72m，失高为7.2m，按球面布置，径向均分为5段，上弦为单层网壳，布置按凯威特型[9-10]，下弦布置3道环向索，每道环向索由16根撑杆，每道环向索布置16对径向索，见图2。

初步设计中所有上弦杆件都选用直径为219mm、厚度为10mm钢管，第1道环向索截面积为862mm2，径向索为480mm2，撑杆高度为2640mm；

第2道环向索、径向索截面积均为2452mm2，撑杆高度为2600mm；

第3道环向索、径向索截面均为4358mm2，撑杆高度为4800mm。

节点力包括结构自重，中心点及第1圈节点、第二圈节点力为60kN；

第3圈节点力为90kN，第4圈节点力为120kN。

a-单层网壳;

b-撑杆、环向索及径向索;

c-弦支穹顶

图2弦支穹顶结构组成示意

1）分别选第1、2、3道环向索撑杆对应的上弦节点竖向自由度为C1、C2、C3，位移分别取其平均值，中心点竖向自由度为C4，周边节点水平径向自由度为C5，竖向位移向上为正，径向位移向外为正。

2）计算上弦穹顶结构自重和屋面恒载下位移，不考虑下弦拉索，按图1b计算，得到上弦网壳穹顶的控制点位移为：

ΔC1,F=-223.39mm，ΔC2,F=-223.25mm，

ΔC3,F=-194.66mm,ΔC4,F=-198.13mm,

ΔC5,F=60.87mm

3）第1道环向索初应变取0.002，第2、3道环向索及对应的径向索截面积及弹性模量取接近于0的值，得到第1道环向索拉力为T1=422.616kN，第2、3道环向索拉力为T2=0、T3=0，C1向位移平均值为33.101mm；

C2向位移平均值为-34.924mm；

C3向位移平均值为-5.434mm；

C4向位移为12.08mm；

C5向位移为-0.3531mm。

利用式（14）得：

δC1,1=0.07832mm/kN，δC2,1=-0.08264mm/kN，δC3,1=-0.01286mm/kN，δC4,1=0.02858mm/kN，δC5,1=-8.353×

10-4mm/kN。

4）第2道环向索应变取0.002，计算得到其拉力为T2=724.514kN，第1、3道环向拉力为T1=0、T3=0，C1向位移平均值为44.747mm；

C2向位移平均值为62.184mm；

C3向位移平均值为-62.815mm；

C4向位移为29.430mm；

C5向位移为-1.701mm。

利用式（14）得到：

δC1,2=0.06176mm/kN，δC2,2=0.08583mm/kN，δC3,2=-0.08670mm/kN，δC4,2=0.04062mm/kN，δC5,2=-2.347×

10-3mm/kN。

5）第3道环向索初应变取0.002，得到T3=744.913kN，T1=0，T2=0，C1向位移平均值为110.47mm；

C2向位移平均值为121.19mm；

C3向位移平均值为152.97mm；

C4向位移为113.140mm；

C5向位移为-42.368mm。

δC1,3=0.1483mm/kN，δC2,3=0.1627mm/kN，δC3,3=0.2054mm/kN，δC4,3=0.15188mm/kN，δC5,3=-0.05688mm/kN。

得到预应力影响矩阵的控制方程如式（16）：

（16）

6）求解控制方程。

如果控制外荷载及预应力作用下C1、C2、C3控制位移为0，取控制式（16）前3行，得到：

（17）

求解得到：

T1=186.811kN，

T2=534.583kN，

T3=1185.050kN。

代入式（16）后两行得到自由度位移为：

ΔC4,F+ΔC4=-198.13+0.02858×

186.811+

0.04062×

534.583+0.15188×

1185.05=8.91mm

ΔC5,F+ΔC5=60.87-8.353×

10-4×

186.811-

2.347×

10-3×

534.583-5.688×

10-2×

1185.05=-7.95mm

弦支穹顶结构在节点荷载和上述预应力作用下，结构竖向位移见图3，第1圈环向索对应的上弦节点竖向位移为+1.742mm和-1.744mm，平均值就是C1自由度位移为-0.001mm；

C2自由度位移为-0.004mm；

C3自由度位移为-0.031mm；

中心位移8.91mm向上；

边位移-7.63mm，与影响矩阵控制方程计算结果8.91mm和-7.95mm一致。

图3荷载及索力下上弦穹顶竖向位移mm

也可以利用推广预应力影响矩阵法，控制C1、C2、C3竖向位移相同为Δ，穹顶中心点竖向位移为0，可以得到控制方程：

（18）

T1=179.688kN，

T2=518.552kN，

T3=1132.016kN，

Δ=-9.413mm。

两种控制方法求得的预应力值相差不足5%，可以将预应力确定为较接近的整数值：

T1=180kN，

T2=530kN，

T3=1150kN。

求得了各环向索预应力值，就可以进行施工模拟并在施工中通过径向索或环向索张拉到设计预应力值[11]。

4结语

本文提出了一种用预应力影响矩阵的拉索预应力值计算方法：

1）给出了预应力影响矩阵概念：

该矩阵是以环向索预应力为外力的柔度矩阵。

2）给出了预应力控制矩阵的求解方法：

只保留一道环向索预应力为单位力，其余环向索预应力为零，得到该环向索预应力对上弦穹顶的位移影响列，组合所有环向索对上弦穹顶位移的影响列，得到预应力影响矩阵。

3）给定一些控制点的控制位移，得到预应力控制方程，求解控制方程得到合理预应力值。

4）该方法可以推广到位移约束条件控制和杆件内力控制，并给出了控制方程。

5）通过算例验证了该方法的正确性，控制点位移值与控制值相差不足0.1mm。

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