初中数学九上第四章 一元二次方程讲学稿Word文档格式.docx

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例2把2（x2－1）=3x方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项和常数项；

二次项系数、一次项系数。

四、随堂练习:

（1）判断下列方程是否为一元二次方程：

⑴5x2＋3x=2⑵

⑶2（x2－1）=3y⑷（x－3）2=（x＋5）2

（2）、P81练习1、2

五、拓展延伸：

1、K为何值时，关于x的方程（K2-1）x2+2（k+1）x+3（k-1）=0

（1）是一元一次方程？

（2）是一元二次方程？

2、如果X2+X-1=0,求代数式

（1）2X2+2X-4的值

（2）X3+2X2-7的值

六、课堂小结：

引导学生总结：

1、一元二次方程定义的三要素。

2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。

七、作业

P82习题4.11

八、教（学）后反思：

4.2一元二次方程的解法

（1）

1、了解形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法

2、会用直接开平方法解一元二次方程

会用直接开平方法解一元二次方程

理解直接开平方法与平方根的定义的关系

1、回忆一下：

什么叫做平方根?

2、平方根有下列性质：

（1）一个正数有；

（2）零的平方根是；

（3）负数没有平方根。

3、想一想：

如何求出方程x2=4的解呢?

二、自主探索（请仔细阅读课本P83——P84页，完成下列问题）：

探究解方程x2＝2

根据平方根的定义，由x2＝2可知，x就是2的，

因此x的值为

即此一元二次方程的解为：

x1=，x2=

这种解一元二次方程的方法叫做

用直接开平方法所解方程的特点：

方程左边是：

方程右边是：

三、例题教学

例1解下列方程：

（1）x2＝2

（2）4x2－1＝0

例2解下列方程：

⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0

⑶12（3－x）2－3=0

给你提个醒：

如果一个一元二次方程具有（x＋m）2=n（n≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为非负常数，且要养成检验的习惯）

四、课堂练习

（1）P84练习1、2、3

1、请写出一个两根互为相反数的一元二次方程。

2、解方程（2X-5）2=（X＋4）2

六、课堂小结

1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；

2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？

P93习题4.21

4.2一元二次方程的解法

（2）

1、经历探究将一元二次方程的一般（x＋m）2=n（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法

使学生掌握配方法，解一元二次方程

把一元二次方程转化为的（x＋m）2=n（n≥0）形式

1、用用直接开平方法解方程：

（1）、25Y2－16＝0

（2）、81（X－2）2＝4

2、试一试：

把下列各式配方成完全平方式：

；

3、想一想:

如何解方程x2＋6x＋4=0呢？

二、探索新知：

（请仔细阅读课本P84——P86页，完成下列问题）：

我们如何解方程x2＋6x＋4=0呢？

先将常数项移到方程的右边，得，

在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得

，

即

解这个方程，得

归纳配方法的概念：

例解下列方程：

（1）、x2－4x＋3=0

（2）、x2＋3x－1=0

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：

思考：

为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？

1、P87练习1、2、3

2、仔细阅读课本P86的数学实验室，体会数学中的割与补以及数形结合的思想。

1、已知x、Y满足X2+Y2-4X+6Y+13=0，求2X-Y的值

2、你能判断二次三项式x2＋4x＋5的正负吗？

3、试证明：

不论X为何值，多项式3x2－4x＋5的值总大于2x2－2x＋1的值

1、配方法解一元二次方程的作用是什么？

配方时要注意什么？

2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？

P93习题4.22

4.2一元二次方程的解法（3）

1、掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤和方法

2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法

使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

1、口述用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：

2、用配方法解下列方程：

（1）

－6x－7＝0；

（2）

＋3x＋1＝0

如何解方程2x2－5x＋2=0呢?

（请仔细阅读课本P87——P88页，完成下列问题）：

由于方程2x2－5x＋2=0不是（x＋m）2=n（n≥0）的形式，因此不能用直接开平方法解，而且也不符合上节课用配方法所解的方程的形式，但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的一样了。

即

方程两边同时除以2，得

下面用上节课的知识求解：

小结：

对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以，再利用配方法求解。

解下列方程：

⑴3x2＋8x＋1=0⑵－3x2＋4x＋1=0

用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：

1、

2、

3、

4、

1、P88练习：

（1）、

（2）、

（3）、（4）、

2、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间t（s）有如下关系：

h=24t-5t2

经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m？

1、已知x、Y满足2X2+Y2＋2XY-4x+4=0，求X、Y的值

2、试用配方法证明：

不论X为何值，代数式2x2＋4x＋5的值总为正数

2、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是什么？

P93习题4.23

4.2一元二次方程的解法（4）

1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0

2、会用公式法解一元二次方程

掌握一元二次方程求根公式的探究，并熟练地应用公式法解一元二次方程

求根公式的结构比较复杂，不易记忆；

系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

一、学前准备：

1、回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤？

2、用配方法解一元二次方程：

2x2－7x＋3=0

3、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一般形式的一般步骤一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根呢？

（请仔细阅读课本P88——P90页，完成下列问题）：

用配方法探究一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的求根公式：

因为

，方程两边都除以

，得

移项，得

配方，得　　　　　　　　　　　　

即

思考1：

当

时，又已知

，

大于等于零吗？

答：

时，一般形式的一元二次方程

的根为，即。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程

的求根公式：

（

）

归纳公式法的概念：

。

思考2：

当b2－4ac＜0时，一元二次方程

有实数根吗？

为什么？

答：

例用公式法解下列方程：

⑴x2＋3x＋2=0⑵2x2－7x=4

用公式法解一元二次方程

的一般步骤：

1、用公式法解下列方程：

（1）、2x2＋7x=4

（2）、

x2＋

x＋

=0（3）、x2＋3=2

2、已知一直角三角形的两直角边的长恰为2x2－8x=-7的两实根，求这个直角三角形的斜边长？

五、课堂小结

1、用公式法解一元二次方程的一般步骤？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？

3、若解一个一元二次方程

，当b2－4ac＜0时，请说明这个方程实数根的情况。

六、作业

P93习题4.23

七、教（学）后反思：

反思：

通过今天的学习，你体会到一元二次方程

的两实数根会出现几种情况？

根的情况由谁的符号确定的？

4.2一元二次方程的解法（5）

1、用公式法解一元二次方程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用

2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

3、由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值

一元二次方程根的判别式。

一元二次方程根的判别式运用

1、口述用公式法解一元二次方程

2、用公式法解下列方程：

⑴x2＋x－1=0⑵x2－2

x＋3=0⑶2x2－2x＋1=0

通过以上的解题，我们可得：

方程⑴的两实根（填“相等”或“不等”）；

方程

（2）的两实根（填“相等”或“不等”）；

方程（3）的两实根（填“有”或“无”）。

一元二次方程的实根的情况由什么来确定？

（请仔细阅读课本P90——P91页，完成下列问题）：

1、评析：

学前准备2的三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先求出的值可以发现它的符号决定着方程的解。

由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由来判定：

（1）、当b2－4ac＞0时，；

（2）、当b2－4ac=0时，；

（3）、当b2－4ac＜0时，。

把

（1）、

（2）合起来：

当当b2－4ac0时,方程有实根。

我们把叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式。

2、反之若已知一个一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况，也能得到判别式的值的符号：

（1）、当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac0

（2）、当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac0

（3）、当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac0

例1不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴3x2－x＋1=3x⑵5（x2＋1）=7x⑶3x2－4

x=－4

例2若方程8x2－（m－1）x＋m－7=0有两个相等的实数根，求m的值；

并解这个方程。

1、P91练习1、2

2、当k为何值时，关于x的方程x2－（k＋1）x＋

K2=0

（1）、有两个实数根？

（2）、无实数根？

说一说本节课你有哪些收获？

1、不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴4x2＋13x＋9=0⑵3（x－2）=x2⑶3x2＋4x=5

2、当m为何值时，方程8mx2＋（8m＋1）x＋2m=0

⑴有两个不相等的实数根？

⑵有两个相等的实数根？

⑶没有实数根？

补充：

阅读课本P93一元二次方程根与系数的关系：

若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两实根为X1、X2则：

X1＋X2＝－

X1×

X2＝

运用公式完成P93的试一试:

1、2

4.2一元二次方程的解法（6）

1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法

2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性

因式分解法解一元二次方程

将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解

1、把下列各式因式分解：

（1）、x2－x

（2）、x3－x（3）、x2－6x+9

2、若a×

b=0,则a=或b=.

（请仔细阅读课本P91——P92页，完成下列问题）：

1、请你用不同的方法解方程x2－x=0

【提示一】用配方法解【提示二】用公式法解

仔细观察方程的左边，还有其他方法可以解吗？

由此得解一元二次方程又一方法因式分解法：

1、如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。

2、因式分解法是解一元二次方程最简便的方法。

⑴x2=－4x⑵x＋3－x（x＋3）=0

例2解方程（2x－1）2－x2=0

1、P92练习1、2、3

2、小明在解方程（x＋2）2=4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x=2，这样解正确吗？

3、选用适当的方法解下列方程：

⑴、（x＋1）2－9=0

（2）、2x2－3X-1=0

（3）、（2x＋3）2＝x2（4）、（x＋1）2＋2（X＋1）＋1=0

P93习题4.24、5（用因式分解法解）

4.3用一元二次方程解决问题

（1）

1、通过对实际问题的分析，进一步理解一元二次方程是刻画客观世界的有效模型

2、经历用决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性。

用一元二次方程解“组织旅游”问题

分析问题寻找等量关系

1、我们以前列一元一次方程还是列分式方程解应用题的关键是什么？

2、你能列方程解决下列问题吗？

（1）、一个正方体的表面积是216㎝2，求这个正方体的棱长？

（2）、一个直角三角形的面积是24㎝2，两条直角边的差是2㎝，求两条直角边长？

（请仔细阅读课本P94——P95页，完成下列问题）：

1、已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数。

分析：

可设其中一个数为x，由“和等于12”列代数式表示另一个数为“12－x”，再由“积等于32”列出方程,从而求出这两个数。

2、某旅行社的一则广告如下：

我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：

如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；

如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10，但人均旅游费用不得低于500元。

甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？

首先应得到总费用是28000，即有等量关系：

若人数不超过30人，则总费用不超过30×

800=24000＜28000，所以人数应超过30人且设为x人，因此实际人均费用＝元，

由此可以列出方程:

请写出解题过程：

注：

解出来的解要检验，必须符合实际意义且要符合条件中的“人均旅游费用不得低于500元”。

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

三、变式题：

根据例2该旅行社广告的收费标准，甲公司又组织第二批员工到龙湾风景区旅游，并支付给旅行社29250元，求该公司第二批参加旅游的员工人数。

四、思维拓展：

春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

（06年镇江市中考题）

1、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？

2、用一元二次方程解决问题的关键是什么？

大本P887

4.3用一元二次方程解决问题

（2）

1、进一步体会通过建立一元二次方程解决“面积与体积”和“平均增长率”问题

2、进一步体会运用一元二次方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力

列一元二次方程解“面积与体积”和“平均增长率”问题

理解“平均增长率”中的变化过程，寻找正确的等量关系

1、请写出长方形、正方形、圆等图形的面积公式以及长方体的体积公式：

2、原产量、增产量和实际产量的关系为：

（请仔细阅读课本P95——P96页，完成下列问题）：

1、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器。

求这块铁皮的长和宽。

这个问题中的相等关系是

解：

2、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？

如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是元，8月份的利润是元。

三、课堂练习

（1）、P96练习

1、2、

3、4

1、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？

（你能想出几种解法，比一比看谁的解法简单）

2、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。

决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。

经结算，这批服装共盈利430元。

如果两次打折相同，每次打了几折？

P99习题4.32、4、5、6

4.3用一元二次方程解决问题（3）

1、进一步认识建立一元二次方程方程模型的作用，提高数学的应用意识

2、在用一元二次方程方程解决实际问题的过程中，提高抽象、概括、分析问题的能力

用一元二次方程解决质点运动问题。

正确寻找等量关系。

一、情境创设

一根长22cm的铁丝。

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？

并说明理由。

二、探索活动（请仔细阅读课本P97页，完成下列问题）：

分析情境问题可知：

如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是

____________。

根据相等关系：

，

可以列出方程求解。

思考：

这根铁丝围成的矩形中，面积最大是多少？

例1如图，在矩形ABCD中，AB=6㎝，BC=12㎝，点P从

点A沿AB向点B以1㎝/s的速度移动；

同时，点Q从点B沿边BC

向点C以2㎝/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8㎝2？

题中含有等量关系：

只要用含点P、Q运动路程的代数式来表示三角形各边的长并代入等量关系式即可得到相应的方程。

1、P98练习

2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，

BC=3cm。

点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s

的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s

的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?

五、思维拓展：

1、如图，有100m长的篱笆材料，要围成一矩形仓库，

要求面积不小于600m2，在场地的北面有一堵50m的旧墙，

有人用这个篱笆围成一个长40m，宽10m的仓库，但面积

只有40×

10m2，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

2、

的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以

如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，

问：

（1）经过几秒，

的面积等于

?

（2）

的面积会等于10cm2吗？

会，请求出此时的运动时间；

P99习题4.36、7、8

4.3用一元二次方程解决问题（4）

1、进一步体会利用一元二次方程解决有关商品的销售问题。

2、增强数学的应用意识，进一步提高分析问题、解决问题的能力

学习重、