人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳.doc

人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳.doc

《人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳.doc（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

整式的乘法

同底数幂的乘积

注意点：

（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）前提必须是同底数，指数才可以相加

　　（3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，

　　（4）指数都是正整数

（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即

　　（6）不要与整式加法相混淆。

（7）这个公式是可逆的

类型一：

x3·x4= xn·x4=

；3x2·xn·x4=

；

类型二：

（1）已知xm-n·x2n+1=x11,且ym-1·y4-n=y5,求mn2的值。

（2）若22m·8=2n,则n=

类型三：

（1）、（-）（-）2（-）3　　

（2）、-a4·（-a）4·（-a）5

（3）、（x-y）3（y-x）（y-x）6　（4）、

类型四：

已知2a=3,2b=6,2c=12，试探究a、b、c之间的关系；

1.幂的乘方

注意点：

（1）幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。

（2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆

（3）公式的可逆性：

；

（4）公式的扩展:

类型一：

（a3）5=;;;

[（a+b）2]3=;[（a2）5]3=;

类型二：

【例1】若

【例2】若求的值；

【例3】已知，试比较a,b,c的大小;

2.积的乘方

注意点：

（1）注意与前二个法则的区别：

（2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方

（3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式

（4）每个因式都要乘方，然后将所得的幂相乘

（5）公式的可逆性：

（6）幂的乘方,积的乘方的可逆性：

amn=（am）n=（an）m

类型一：

；；

类型二：

【例1】当ab=，m=5,n=3,求（ambm）n的值。

【例2】若a3b2=15，求-5a6b4的值。

【例3】如果3m+2n=6，求8m·4n的值。

【例4】

（1）解方程

（2）解方程

【例5】已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值．

【例6】已知：

2x=4y+1，27y=3x-1，求x﹣y的值

类型三：

【例】计算：

4.单项式乘法法则：

【例】

5.单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例】

6.多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

【例1】

【例2】：

解方程与不等式

（4+3y）（4-3y）>9（y-2）（y+3）

【例3】确定参数a的值.

题型一：

确定参数的值

【例】若展开式中不含项和项，求m,n的值，并写出展开式中的最后结果

练习：

题型二：

整式乘法的实际应用

【例1】：

小明将现金x元存入银行，年利率为a，到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利率调整为b，那么一年后，小明能获得的本息总和是多少（扣除5%的利息税）

练习：

一种商品进价是p元，他的价格提高10k%，再打k折，则售价是元

【例2】：

．观察下列各式：

……

观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来：

.

题型三：

整式的乘法能力提升训练；

例1.已知，求的值.

变式：

已知，求的值．

变式：

已知的值.

例2.已知，求代数式的值。

变式：

已知，求代数式的值。

变式：

已知，求代数式的值。

平方差和完全平方

一、复习:

（a+b）（a-b）=a2-b2（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3（a-b）（a2+ab+b2）=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，（x+y）（-y+x）=x2-y2

②符号变化，（-x+y）（-x-y）=（-x）2-y2=x2-y2

③指数变化，（x2+y2）（x2-y2）=x4-y4

④系数变化，（2a+b）（2a-b）=4a2-b2

⑤换式变化，[xy+（z+m）][xy-（z+m）]

=（xy）2-（z+m）2

=x2y2-（z+m）（z+m）

=x2y2-（z2+zm+zm+m2）

=x2y2-z2-2zm-m2

⑥增项变化，（x-y+z）（x-y-z）

=（x-y）2-z2

=（x-y）（x-y）-z2

=x2-xy-xy+y2-z2

=x2-2xy+y2-z2

⑦连用公式变化，（x+y）（x-y）（x2+y2）

=（x2-y2）（x2+y2）

=x4-y4

⑧逆用公式变化，（x-y+z）2-（x+y-z）2

=[（x-y+z）+（x+y-z）][（x-y+z）-（x+y-z）]

=2x（-2y+2z）=-4xy+4xz

例题解析：

例1．已知，，求的值。

解：

∵∴=

∵，∴=

例2．已知，，求的值。

解：

∵

∴∴=

∵，∴

例3：

计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：

19992-2000×1998=19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1

例4：

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

解：

因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）（x-z）=14×4=56。

例5．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

解：

（1）1032=（100+3）2=1002+2´100´3+32=10000+600+9=10609

（2）1982=（200-2）2=2002-2´200´2+22=40000-800+4=39204

例6．计算

（1）（a+4b-3c）（a-4b-3c）

（2）（3x+y-2）（3x-y+2）

解：

（1）原式=[（a-3c）+4b][（a-3c）-4b]=（a-3c）2-（4b）2=a2-6ac+9c2-16b2

（2）原式=[3x+（y-2）][3x-（y-2）]=9x2-（y2-4y+4）=9x2-y2+4y-4

例7．解下列各式

（1）已知a2+b2=13，ab=6，求（a+b）2，（a-b）2的值。

（2）已知（a+b）2=7，（a-b）2=4，求a2+b2，ab的值。

（3）已知a（a-1）-（a2-b）=2，求的值。

（4）已知，求的值。

分析：

在公式（a+b）2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

解：

（1）∵a2+b2=13，ab=6

\（a+b）2=a2+b2+2ab=13+2´6=25（a-b）2=a2+b2-2ab=13-2´6=1

（2）∵（a+b）2=7，（a-b）2=4

\a2+2ab+b2=7①a2-2ab+b2=4②

①+②得2（a2+b2）=11，即

①-②得4ab=3，即

（3）由a（a-1）-（a2-b）=2得a-b=-2

（4）由，得即

即

例8．

（1）（-1+3x）（-1-3x）；

（2）（-2m-1）2

解：

（1）（-1+3x）（-1-3x）=[-（1-3x）][-（1+3x）]=（1-3x）（1+3x）=12-（3x）2=1-9x2.

（2）（-2m-1）2=[-（2m+1）]2=（2m+1）2=4m2+4m+1.

例9．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？

为什么？

分析：

由于1´2´3´4+1=25=52

2´3´4´5+1=121=112

3´4´5´6+1=361=192

……得猜想：

任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。

解：

设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数

则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n+1）2

∵n是整数，\n2，3n都是整数\n2+3n+1一定是整数

\（n2+3n+1）是一个平方数\四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例10．计算

（1）（x2-x+1）2

（2）（3m+n-p）2

解：

（1）（x2-x+1）2=（x2）2+（-x）2+12+2×x2×（-x）+2×x2×1+2×（-x）×1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x

=x4-2x3+3x2-2x+1

（2）（3m+n-p）2=（3m）2+n2