高考数学《基本不等式及其应用1》专项训练及答案解析.docx

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高考数学《基本不等式及其应用1》专项训练及答案解析

基本不等式及其应用

（1）

一、基础检测

【自主热身，归纳总结】

1、（2019年苏州学情调研）若正实数满足，则的最小值是．

【答案】、8

【解析】、因为正实数满足，

所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.

2、（2018苏锡常镇调研

（一））已知a>0,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．

【答案】2　

【解析】、利用基本不等式，化和的形式为积的形式．

因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．

3、（2017苏北四市期末）.若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．

【答案】.8　

【解析】、解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3（y＞3），

所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.

解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3（y＞3），y－3＝－6＞0，

所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.

解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．

4、（2015苏北四市期末）已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋（b－3）y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．

【答案】25

【解析】、由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋（b－3）y＋5＝0互相平行，所以a（b－3）＝2b，即＋＝1（a，b均为正数），所以2a＋3b＝（2a＋3b）＝13＋6≥13＋6×2＝25（当且仅当＝即a＝b＝5时取等号）．

5、（2017南京、盐城、徐州二模）已知α，β均为锐角，且cos（α＋β）＝，则tanα的最大值是________．

【答案】　

【解析】、注意研究目标，故先要将cos（α＋β）应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tanα表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．

由cos（α＋β）＝得cosαcosβ－sinαsinβ＝，即cosαcosβ＝sinα，由α，β均为锐角得cosα≠0，tanβ>0，所以tanα＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当2tanβ＝，即tanβ＝时，等号成立．

根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研究最值问题的基本方法．

6、（2016宿迁一模）若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________．

【答案】2

【解析】、解法1因为a2－ab＋b2＝1，即（a＋b）2－3ab＝1，从而3ab＝（a＋b）2－1≤，即（a＋b）2≤4，所以－2≤a＋b≤2，所以（a＋b）max＝2.

解法2令u＝a＋b，与a2－ab＋b2＝1联立消去b得3a2－3au＋u2－1＝0，由于此方程有解，从而有Δ＝9u2－12（u2－1）≥0，即u2≤4，所以－2≤u≤2，所以（a＋b）max＝2.

解法3由于a2－ab＋b2＝1与代数式a＋b是对称的，根据对称极端性原理，当a＝b时取得最值，此时a2＝1，从而a＝±1，所以（a＋b）max＝2a＝2.

7、（2017苏北四市一模）已知a，b为正实数，且a＋b＝2，则＋的最小值为________．

【答案】2＋　

【解析】、令b＋1＝c，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了．

设b＋1＝c，则b＝c－1，a＋c＝3，且0

8、（2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0（a，b，c∈R）的解集为{x|3

【答案】4

先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值．

依题意得a<0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即则

所以＝＝＝（－24a）＋≥2＝4，当且仅当144a2＝5，即a＝－时取等号，所以所求最小值为4.

9、（2015扬州期末）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．

【答案】

　思路分析1注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.

解法1由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．

思路分析2由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来．

解法2由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn＝1（m，n>0），所以（m＋1）x2＋ny2≥1，令m＋1＝n，与mn＝1联立解得m＝，n＝，从而x2＋y2≥＝.

二、拓展延伸

题型一、利用基本不等式求最值问题

知识点拨：

利用基本不等式求最值的问题，关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形，配凑出使用基本不等式的条件，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

．

例1、（2019苏锡常镇调研）已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为．

【答案】、.

【解析】、思路分析：

由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．

当且仅当，即时取“”，所以的最小值为

【变式1】、（2019常州期末）已知正数x，y满足x＋＝1，则＋的最小值为________．

【答案】、4　

【解析】、多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解．

解法1（直接消元）由x＋＝1得y＝x－x2，故＋＝＋＝＋＝≥＝4，当且仅当x＝1－x，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.

解法2（直接消元）由x＋＝1得＝1－x，故＋＝＋，以下同解法1.

解法3（消元，分离常数凑定值）同解法1，2得＋＝＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝时取“＝”．故＋的最小值为4.

解法4（“1”的代换）因为x＋＝1，所以＋＝＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即时取“＝”．故＋的最小值为4.

【变式2】、（2019镇江期末）已知x＞0，y＞0，x＋y＝＋，则x＋y的最小值为________．

【答案】、3

【解析】、本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．

解法1因为x>0，y>0，所以x＋y＝＋≥，得x＋y≥3，当且仅当x＝1，y＝2时取等号．

解法2x＋y＝＝＝≥＝3，当且仅当＝，即x＝1，y＝2时取等号．

【变式3】、（2019苏北三市期末）已知a>0，b>0，且a＋3b＝－，则b的最大值为________．

【答案】、

【解析】、由a＋3b＝－，得－3b＝a＋.又a>0，所以－3b＝a＋≥2（当且仅当a＝1时取等号），即－3b≥2，又b>0，解得0

【变式4】、（2019宿迁期末）已知正实数a，b满足a＋2b＝2，则的最小值为________.

【答案】、　

【解析】、解法1（消元法）由a＋2b＝2得a＝2－2b＞0，所以0＜b＜1，令f（b）＝＝，

f′（b）＝＝.

当b∈时，f′（b）<0，f（b）单调递减；当b∈时，f′（b）>0，f（b）递增，

所以当b＝时，f（b）有唯一的极小值，也是最小值f＝.

解法2（齐次化）因为a＋2b＝2，所以＝＝＝＝＋＋≥2＋＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，所以所求的最小值为.

求互相制约的双变元问题的最值，最直接的方法就是消元后转化为一元问题，如解法1；对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解，如解法2.解法2用到了“1”的代换．

【变式5】、（2018苏锡常镇调研

（二））已知为正实数，且，则的最小值为．

【答案】、

【解析】、解题过程：

因为，所以

，故，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为

题型二利用基本不等式解决多元问题

知识点拨：

多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：

（1）多元最值首选消元：

三元问题→二元问题→一元问题．

（2）二元最值考查频率高，解决策略如下：

策略一：

消元．策略二：

不好消元——用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元．

（3）多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：

策略一：

齐次式——同除减元．策略二：

整体思想——代入消元或者减元．

策略三：

局部思想——锁定主元（本题就是）．

例2、（2019南京、盐城一模）若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．

【答案】、　

【解析】、注意到求c的最大值，所以将参数c进行分离，为此，可以利用abc＝a＋2b＋c进行分离得c＝＝＝1＋，从而将问题转化为求a＋2b的最小值；

结合abc＝a＋2b＋c与ab＝a＋2b化简得abc＝ab＋c来进行分离得c＝＝1＋，进而求ab的最小值．

由于所求解的c与a，b有关，而a，b不对称，因此，将2b看作一个整体，则它与a就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案．

解法1由abc＝a＋2b＋c得，c＝＝＝1＋，由ab＝a＋2b得，＋＝1，所以a＋2b＝（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，故c≤.

解法2因为abc＝a＋2b＋c，ab＝a＋2b，所以abc＝ab＋c，故c＝＝1＋，由ab＝a＋2b利用基本不等式得ab≥2，故ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，故c＝1＋≤1＋＝.

解法3（对等性猜测）因为已知条件可以改写为“·a·2b＝a＋2b，·a·2b·c＝a＋2b＋c”，故a与2b对等，不妨设a＝2b，解得a＝2b＝4，c＝，故c的最大值为.

解法1，2都是应用了分离参数的方法，即将所求的参数c用a，b表示出来，从而将问题转化为求与a，b有关的代数式的最值问题来加以解决，其中解法2更容易把握．这是两种基础的解法．而解法3则是将“非对称式”应用整体转化的方法转化为“对称式”来加以处理，对思维能力的要求很高．

【变式1】、（2019苏北三市期末）已知x>0，y>0，z>0，且x＋y＋z＝6，则x3＋y2＋3z的最小值为________．

【答案】、　

【解析】、本题消元后转化为二元问题研究．

解法1（配方＋导数求函数最值）x3＋y2＋3z＝x3＋y2＋3（6－x－y）＝x3－3x＋y2－3y＋18＝x3－3x＋＋≥x3－3x＋，当且仅当y＝时取等号．设g（x）＝x3－3x，g′（x）＝3x2－3.令g′（x）＝0得x＝1，得g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，从而g（x）min＝g

（1）＝－2，所以（x3＋y2＋3z）min＝－2＋＝，即所求最小值为，当且仅当x＝1，y＝，z＝时取等号．

解法2（基本不等式配凑）由x3＋1＋1≥3x（当且仅当x＝1，取等号），y2＋≥3y，得x3＋y2＋3z＋2＋≥3（x＋y＋z）＝18，x3＋y2＋3z≥（当且仅当x＝1，y＝，z＝取等）．

【变式2】、（2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a，b，c均为正数，且abc＝4（a＋b），则a＋b＋c的最小值为________．

【答案】、8　

【解析】、由a，b，c均为正数，abc＝4（a＋b