三角形中的折叠问题.docx

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三角形中的折叠问题

三角形中的折叠问题

——基于2018年初三一摸第18题的分析

高宇昕

【教学目标】

1.知识与技能：

学生能够灵活综合运用轴对称的性质，全等三角形，直角三角形等相关知识解决三角形的折叠问题。

2.过程与方法：

在解决三角形折叠问题的过程中，体会由特殊到一般，运用方程思想，转化思想，数形结合思想解决折叠问题的一般方法。

3.情感、态度与价值观：

通过综合应用多种方法解决折叠问题，一题多解，体会知识间的联系与综合运用，锻炼学生的几何思维，体会数学学习的乐趣。

【教学重点】

学生能够灵活综合运用轴对称的性质，全等三角形，直角三角形等相关知识解决三角形的折叠问题。

【教学难点】

综合运用所学几何知识解决折叠问题中的边角关系。

【教学方法】

探究式教学。

【教学过程】

（一）课堂引入

在课前预习环节，教师让学生提前准备好一个一般三角形ABC，首先教师让学生折叠三角形（点A的对应点为点F），观察一下三角形ABC沿任意一条直线DE翻折，点A的位置相对于三角形ABC有几种情况？

三种。

点A在三角形ABC内，点A在边BC上，点A在三角形ABC外。

折痕DE与底边BC有可能有什么关系？

可能平行。

三角形ADE和三角形DEF有什么关系？

全等。

AF和DE什么关系？

AF垂直于DE。

AD=DF，AE=EF

所以折叠问题的核心在于根据全等找到等量关系。

（二）新课讲授

例1:

（普陀区18年一摸）

【小结】本题作为一般三角形的折叠问题，从EF平行于BC的特殊情况到A’F平行于BE的特殊情况，两种特殊情况的本质都是利用轴对称关系找到相等的边长，通过平行关系构造比例式。

同时在折叠问题作图时要抓住对称轴垂直平分两顶点所连线段的特点。

例2:

如图，中，，，将翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D，点E，那么的值为____

（松江区18年一摸）

【分析】

连接AA′交DE于点M，过点A′作A′N⊥AB于点N，根据折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质可分别求出AD、AE的长度，将二者相比后即可得出结论．

【解答】

连接AA'交DE于点M，过点A'作于点N，

如图所示，

，，A'为线段BC的中点，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

同理：

，

，

，

。

故答案为：

。

【小结】本题是给定特殊三角形（等腰直角三角形）的折叠问题，学生通过作高利用直角三角形性质和相似三角形基本型能够进行解答，通过此题体会到折叠问题中一类作高构造相似三角形的方法，体会到从特殊到一般的通用解法的迁移。

（三）自主探究

例3:

（浦东新区18年一摸）

【分析】本题有两种解法：

解法1:

作CH⊥AB于H．由题意EF=BF，设EF=BF=a，则BD=

a，只要证明△ECD∽△BCE，可得EC2=CD·CB，延长构建方程即可解决问题；

解法2:

作CF//DE，延长BA交于点F，只需证明△CEF∽△BDE∽△BCF，相似三角形对应边成比例构建方程即可解决问题。

【解答】

如图作CH⊥AB于H.

【小结】本题为一题多解题，通过作平行线构造相似三角形“无中生有”，构造线段成比例的对应关系，通过设参思想构造方程解题。

通过作高的方法构造直角三角形，利用勾股定理建立等量关系进行求解。

例4:

（奉贤区18年一摸）

【分析】

作AH⊥BC，MG⊥BC，连结EM、MC，先依据等腰三角形的性质求得CH=4，然后依据平行线分线段成比例定理可求得CG的长，从而可得到BG的长，则DG=m-5，最后，再在Rt△MGD中，依据勾股定理可求得MG的长，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】

【小结】本题解题的关键在于作高构建相似三角形线段成比例关系，通过线段关系再利用勾股定理求解。

（四）课堂小结

折叠问题实质上就是轴对称变换。

折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数。

平面几何图形提供两条信息：

边和角，由边和角的位置关系可以决定顶点，三者互相依存。

折叠问题的核心就是全等关系，相似关系通常由已知条件或构造平行或作垂线得出。

（五）布置作业

拓展：

翻折后顶点落在三角形外的情况。

（青浦区18年一摸）

【分析】

【解答】

【板书设计】

三角形的折叠问题

折叠的核心：

全等三角形

轴对称：

折痕和垂直平分对称顶点所连线段

解题思路：

全等三角形

直角三角形-设参，勾股定理

构造平行线利用相似三角形

作高利用相似三角形和勾股定理