古诺均衡及其扩展.docx
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古诺均衡及其扩展
古诺均衡及其拓展
假设市场反需求函数为，企业的生产成本为，
求：
（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润；
（2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润；
（3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；
（4）n家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。
（5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；
（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；
（7）比较（3）（6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；
（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？
（9）求n家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？
比较结果（8）（9），你会得出什么结论。
（10）求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg均衡解。
并与古诺竞争均衡解对比，说明first-moveradvantages，并通过反应函数图来解释这两个均衡。
（1）完全垄断结构下，只有一家企业，
，
利润最大化的一阶条件为：
（2）完全竞争结构下，有n家相同企业，总需求函数，每一家的边际成本为，而且完全竞争情形下价格是给定的（price-taker），对一家企业来说，边际收益就是，根据利润最大化的条件MR=MC，这时最优的价格
带入总需求函数，可以得到
根据对称性假设，每家企业的均衡产量为
每一家的利润
（3）双寡头结构下，，边际成本都为。
企业1的利润函数为
利润最大化的条件为
容易看出，这一结果表明，企业1的最优产量取决于企业2的产量，这也正是博弈论中战略依存（strategic-interdependence）这一核心理念的反映。
我们把这一结果称为企业1的反应函数。
同样道理，我们可以得出企业2的反应函数
若存在一个战略组合（，）同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在一个古诺-纳什均衡解（Cournot-NashEquilibrium），容易得出
（4）n家企业结构下，总需求函数，每一家的边际成本为。
企业1的利润函数为
利润最大化的一阶条件：
这就是企业1的反应函数。
根据对称性假设，每一家企业存在一个类似的反应函数。
如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么
当分别等于1、2时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当时，
这一结果和完全竞争情形下结果相同。
由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。
（5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔），相当于两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以
（6）假设企业遵守卡特尔协议，则
而企业1则把企业2这一产量看做给定，去生产自己利润最大化的产量，所以企业1背叛情形下的利润最大化为
可以看出，这一产量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格，容易知道
因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本，所以上式小于0。
而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业2的产出和利润为
比较得，
（7）利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个NormalForm的博弈框架如下
F2
Collusion
Betray
F1
Collusion
Betray
假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个commonknowledge，那么双方的均衡就是古诺均衡。
可以看出，（Betray，Betray）的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而（Collusion，Collusion）不是纳什均衡的结果。
这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下，每个企业都有背叛的积极性。
这也就是现实中卡特尔协议难以稳定存在的原因。
从反应函数图上看，古诺产量组合（，）是纳什均衡，而产量组合（，）不构成纳什均衡，因为给定企业1生产，企业2的反应函数表明他的最优产量是大于的。
q1
q2
从EvolutionaryGame的角度看，古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性计算多次互动后产生的。
就是首先给定企业生产一个任意产量，企业2会把这一产量带入自己的反应函数，寻找自己的最优产出,依次类推，收敛于（，）。
这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。
这说明，即使初始的产量决策没有完全的理性，但是通过多次的互动、学习、适应调整，古诺均衡产量一定会出现。
q1
q2
（8）在双寡头重复博弈的架构下，假设企业1有一个触发战略（TriggerStrategies，或称冷酷战略，GrimStrategies）：
a，开始阶段选择勾结产量（也即选择合作）；b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量，然后永远选择古诺产量。
本质上这个触发战略是个战略承诺。
通俗的说，就是企业1会一开始会选择合作，直到对方出现不合作的行为，然后选择永远不合作。
我们来分析在这一条件下，企业2的战略选择。
如果选择与企业1合作，则每一期生产古诺均衡的产出，获得利润，设时间贴现因子，则合作的长期收益为：
而如果选择不合作，则第一期获得利润，由于企业采取触发战略，企业2从第二期开始各期利润为。
不合作的长期收益为：
企业2选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益，即
解不等式得：
。
那么这一条件的含义是什么呢？
我们来考虑贴现因子的经济学含义。
贴现因子时间偏绿或者时间偏好程度的表达，反应了人们在当前和未来之间的财富替代程度，或者按照费雪的说法，反映了人们的不耐（impatient）程度。
在数量上，，为利息率。
对于一个普通人来说，如果他愿意接受6%的利息率而把钱存入银行，那么他的贴现因子就是，所以从现实中的利息率的变动范围来看，正常人的不耐程度都是比较大的。
所以是个很容易满足的条件。
这也说明了，在正常的时间眼界条件下，合作在两个人长期博弈中是容易达成的。
（9）当上述合作结构不仅限于2家，而是在n家企业之间展开博弈时，合作的条件是什么呢？
我们来看企业的1的决策行为。
假定其他n-1家企业都坚持触发战略，那么企业选择合作的每一期产量为利润为，长期利润为：
背叛情形下的产量和利润。
假定其他n-1家企业分别生产合作的产量，那么企业1的最优产量为
利润最大化的产出为，此时的市场价格为，企业1的利润为。
而此后其他企业选择触发战略，企业从第2期开始选择古诺均衡的产量，获得利润
选择背叛的长期利润为：
所以选择合作的条件为：
解得：
容易知，当时，趋近于1，所以n家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻，或者说越来越难以满足。
总结上述结论，可以看出，合作的达成受到两个方面因素的影响：
1.时间眼界，越有耐心合作越容易达成；
2.参与博弈的人数。
人数越多，合作越困难。
（10）序贯行动的博弈和Stackelberg均衡解。
假如博弈的顺序不是simultaneousmove，而是sequentialmove：
企业1首先选择产量，然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。
在这个博弈结构下，我们看到，企业2的决策受到了企业1决策的影响。
我们用backwardinduction方法来求解。
在第二阶段企业2的最优决策：
利润最大化的条件为：
在第一阶段，企业1在明确企业2的反应函数（也就是战略）情形下做出自己的最优决策：
s.t.
解得：
，，
与古诺均衡利润相比，企业1获得更多利润，而企业2所获利润减少。
q1
q2
Cournot-NashEqilibrium
StackelbergEqulibrium
可以看出，通过率先采取行动，可以获得First-moverAdvantages，这就是战略承诺（strategiccommitment）或威慑（deterrence）的价值。
战略承诺有以下的表现形式：
a.率先主动采取行动，先发制人，压缩对方的战略选择空间，使得对手选择退让，避免正面冲突导致两败俱伤
大规模投资，造成沉没成本sunkcost
b.事先发出声明；
c.长期明确坚持某一原则。
如不承诺放弃武力，（不）承诺不首先使用核武器，不与恐怖分子谈判；
Leader-Followermatrix
F2
Leader
Follower
F1
Leader
00
Follower
限止定价（LimitPricing）和掠夺定价（PredatoryPricing）和消耗战
假设在上述的Leader-Follower的Stackelberg模型中，其他条件不变，但是成本函数是
就是说，进入这一行业必须首先支付一个固定成本,比如建造工厂，租赁店铺，或者前期的广告推广等等。
所以这是一个更加接近现实的假定。
我们再来看这种情形下竞争均衡。
由于利润最大化是边际条件的决策，所以不影响均衡产量，
但是成本的改变会改变利润量。
所以，
可以看出，由于企业1是首先采取行动的，企业2的利润受到企业的产量的影响
a.通过这个表达式可以看出，企业2的利润受到企业1产量的影响，所以企业1可以主动采取行动选择一个使得企业2利润为零的产量，从而掠夺企业2的市场份额或者把企业2赶出市场。
这就是限止定价或者掠夺性定价。
b.企业也可以通过增加行业的进入或运营成本而使得增大来侵蚀企业2利润，直到企业2的利润为0，这就是消耗战。
消耗战的典型形式的就是广告战。
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