古诺均衡及其扩展.docx

1、古诺均衡及其扩展 古诺均衡及其拓展假设市场反需求函数为，企业的生产成本为，求：（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润； （2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润； （3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润； （4）n家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。 （5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；（7）比较（3）（6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？（9）求n家企业产

2、量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果（8）（9），你会得出什么结论。（10）求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg 均衡解。并与古诺竞争均衡解对比，说明first-mover advantages，并通过反应函数图来解释这两个均衡。（1）完全垄断结构下，只有一家企业，利润最大化的一阶条件为： （2）完全竞争结构下，有n家相同企业，总需求函数，每一家的边际成本为，而且完全竞争情形下价格是给定的（price-taker），对一家企业来说，边际收益就是，根据利润最大化的条件MR=MC，这时最优的价格 带入总需求函数，可以得到 根据对称性假设，每家企业的均衡产量为 每一家的

3、利润 （3）双寡头结构下，边际成本都为。企业1的利润函数为 利润最大化的条件为 容易看出，这一结果表明，企业1的最优产量取决于企业2的产量， 这也正是博弈论中战略依存（strategic-interdependence）这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业1的反应函数。同样道理，我们可以得出企业2的反应函数 若存在一个战略组合（，）同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium)，容易得出 (4) n家企业结构下，总需求函数，每一家的边际成本为。企业1的利润函数为利润最大化的一阶条件： 这就是企业1的反应函数。根据对称性假设，

4、每一家企业存在一个类似的反应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么 当分别等于1、2时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当时， 这一结果和完全竞争情形下结果相同。由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。（5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔），相当于两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以（6）假设企业遵守卡特尔协议，则 而企业1则把企业2这一产量看做给定，去生产自己利润最大化的产量，所以企业1背叛情形下的利润最大化为 可以看出，这一产量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导致均衡价格低于垄断价格，容易知道 因为市场存在的前提是

5、保留价格大于边际成本，所以上式小于0。而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业2的产出和利润为 比较得，（7）利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个Normal Form的博弈框架如下 F2CollusionBetrayF1Collusion Betray 假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个common knowledge，那么双方的均衡就是古诺均衡。可以看出，（Betray，Betray）的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而（Collusion，Collusion）不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下，每个企业

6、都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特尔协议难以稳定存在的原因。从反应函数图上看，古诺产量组合（，）是纳什均衡，而产量组合（，）不构成纳什均衡，因为给定企业1生产，企业2的反应函数表明他的最优产量是大于的。q1q2从Evolutionary Game的角度看，古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性计算多次互动后产生的。就是首先给定企业生产一个任意产量，企业2会把这一产量带入自己的反应函数，寻找自己的最优产出,依次类推，收敛于（，）。这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。这说明，即使初始的产量决策没有完全的理性，但是通过多次的互动、学习、适应调整，古诺均衡产量一定会出现。q1q2（8）在双寡头重复博

7、弈的架构下，假设企业1有一个触发战略（Trigger Strategies，或称冷酷战略，Grim Strategies）：a，开始阶段选择勾结产量（也即选择合作）；b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量，然后永远选择古诺产量。本质上这个触发战略是个战略承诺。通俗的说，就是企业1会一开始会选择合作，直到对方出现不合作的行为，然后选择永远不合作。我们来分析在这一条件下，企业2的战略选择。如果选择与企业1合作，则每一期生产古诺均衡的产出，获得利润，设时间贴现因子，则合作的长期收益为： 而如果选择不合作，则第一期获得利润，由于企业采取触发战略，企业2从第二期开始各期利润为。不合作的长期收益为：企业

8、2选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益，即 解不等式得：。那么这一条件的含义是什么呢？我们来考虑贴现因子的经济学含义。贴现因子时间偏绿或者时间偏好程度的表达，反应了人们在当前和未来之间的财富替代程度，或者按照费雪的说法，反映了人们的不耐（impatient）程度。在数量上，为利息率。对于一个普通人来说，如果他愿意接受6%的利息率而把钱存入银行，那么他的贴现因子就是，所以从现实中的利息率的变动范围来看，正常人的不耐程度都是比较大的。所以是个很容易满足的条件。这也说明了，在正常的时间眼界条件下，合作在两个人长期博弈中是容易达成的。（9）当上述合作结构不仅限于2家，而是在n家企业之间展开

9、博弈时，合作的条件是什么呢？我们来看企业的1的决策行为。假定其他n-1家企业都坚持触发战略，那么企业选择合作的每一期产量为利润为，长期利润为：背叛情形下的产量和利润。假定其他n-1家企业分别生产合作的产量，那么企业1的最优产量为利润最大化的产出为，此时的市场价格为，企业1的利润为。而此后其他企业选择触发战略，企业从第2期开始选择古诺均衡的产量，获得利润选择背叛的长期利润为：所以选择合作的条件为：解得：容易知，当时，趋近于1，所以n家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻，或者说越来越难以满足。总结上述结论，可以看出，合作的达成受到两个方面因素的影响：1.时间眼界，越有耐心合作越容易达

10、成；2.参与博弈的人数。人数越多，合作越困难。（10）序贯行动的博弈和Stackelberg 均衡解。假如博弈的顺序不是simultaneous move，而是sequential move：企业1首先选择产量，然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。在这个博弈结构下，我们看到，企业2的决策受到了企业1决策的影响。我们用backward induction方法来求解。在第二阶段企业2的最优决策：利润最大化的条件为： 在第一阶段，企业1在明确企业2的反应函数（也就是战略）情形下做出自己的最优决策： s.t. 解得： ，与古诺均衡利润相比，企业1获得更多利润，而企业2所获利润减少。q1q2C

11、ournot-Nash EqilibriumStackelberg Equlibrium可以看出，通过率先采取行动，可以获得First-mover Advantages，这就是战略承诺（strategic commitment）或威慑（deterrence）的价值。战略承诺有以下的表现形式：a.率先主动采取行动，先发制人，压缩对方的战略选择空间，使得对手选择退让，避免正面冲突导致两败俱伤大规模投资，造成沉没成本sunk costb.事先发出声明；c.长期明确坚持某一原则。如不承诺放弃武力，（不）承诺不首先使用核武器，不与恐怖分子谈判； Leader-Follower matrix F2Lead

12、erFollowerF1Leader 0 0 Follower 限止定价（Limit Pricing）和掠夺定价（Predatory Pricing）和消耗战假设在上述的Leader-Follower 的Stackelberg模型中，其他条件不变，但是成本函数是 就是说，进入这一行业必须首先支付一个固定成本,比如建造工厂，租赁店铺，或者前期的广告推广等等。所以这是一个更加接近现实的假定。我们再来看这种情形下竞争均衡。由于利润最大化是边际条件的决策，所以不影响均衡产量 ，但是成本的改变会改变利润量。所以 ， 可以看出，由于企业1是首先采取行动的，企业2的利润受到企业的产量的影响 a. 通过这个表达式可以看出，企业2的利润受到企业1产量的影响，所以企业1可以主动采取行动选择一个使得企业2利润为零的产量，从而掠夺企业2的市场份额或者把企业2 赶出市场。这就是限止定价或者掠夺性定价。b.企业也可以通过增加行业的进入或运营成本而使得增大来侵蚀企业2利润，直到企业2的利润为0，这就是消耗战。消耗战的典型形式的就是广告战。