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<
）
g4（x1^x2）=v2^0
例：
求下列非线性规划优化问题
minf（X）=x；
+xf一4.rL+4
s.t.gi（X）=Xj-x2+2>
g2（X）=—叮+北2」1-0
別（龙）=亡0
g4（A^）-x2>
0的最优解
解二将目标函数改写为/（jt）=（x1-2）2+x^令f（X）=C^/=1.2,---
则目标函数等值线族方程为
（―—2）2+x£
=C
优化设计的迭代算法
（1
-函数值下降凄则
•梯度准则
||VA0）
第二章
2.1函数的方向导数与梯度
一、函数的方向导数
偏导数：
只描述函数沿特殊方向（x,y轴）的变化情况在许多实际问题中，常常要知道函数沿其它任一方向上的变化率一一引入方向导数的概念。
方向导数定义：
设函数f（x1,x2）是点X（0）的某个邻域上的函数，它与x轴夹角为01，与y
轴夹角02,设X
（1）为S上另一点，贝U||X（0）X
（1）||=p=-■'
例题已知函数f（X）=1则其在点X=（2,1）T处梯度的模为【]
例2-1求二元函数f（x1,x2）=x12+x22-4x1-2x2+5在X0=[2,2]处函数下降最快的方向。
解：
梯度方向是函数变化率最大的方向。
负梯度方向则是函数下降最快的方向。
f（X）=3戈:
+2xxx2+at：
—5x^+x2x
作业：
1求函数f（X）=x12+x22-6x1在点X
（1）=[1,1]T,X
（2）=[1,2]T,X（3）=[-2,1]T的梯度及其模，并
作图表示。
2、求
在的梯度及其模。
-1
XTHXBTX
二次函数
f（X）
H称二次型矩阵。
B为常数向量；
H为nxn阶常数矩阵。
XTHX称为二次型，
1）若有XTHX>
0，则称矩阵H是正定的；
（2）
（3）
（4）
（5）
正定二次函数的性质：
1）正定二次函数的等值线或等值面是一族同心的椭圆或同心椭球。
椭圆族或椭球族的中心就是该二次函数的极小点。
2）非正定二次函数在极小点附近的等值线或等值面近似于椭圆或椭球。
例：
求解等式约束问题的最优解。
解：
—/（X）+久d+x?
—1）
SL
—=1+2^=0
—=0
豊=£
+£
-1=0
7（x*）=-4i
I
例2・3对于约束极值问题
min/*（-¥
）=（Xj—3）2+x2"
s.t.场（壬）=x「+x2—4<
g2（X）=-x2<
0y
&
3（壬）=-X]MO
试运用K・T条件检验点
X*=[2,叩是否为约束极值
（1）计算X•点的各个约束函数值
g、g）=4±
0-4=0
g2（X°
）■0
gj（X'
）=-2<
由以上计算或由图町知点X•处的起作用约束函效是gl（X）和g2（X）;
（2）求有关函数在X•点的梯度
▽如（X*）=
（3）将梯度代入式（2-13）,求拉格朗日乘子
▽fg）=一[益•▽刘（AC）十入2•57g2（X*）]
-T
一0.
即
J-2+4At=00=0.5
At-入z■O】心=0・5
入’和心均为非负•故满足K・T条件.即X・=[2,0]「点为约束扱值点°
同时，由于/XX）是凸函数•可行域为凸集■因此点x•也是仝域最优点。
A.等于零B.大于零C.负定D.正定
2、在约束优化问题中，库恩一塔克条件是目标函数存在极值点的（）
A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.不必要条件
3、多元函数F（X）在点X*附近偏导数连续"
'
'
1：
：
且H（X*）正定，则该点为F（X）的
（）
A.极小值点B.极大值点C鞍点D不连续点
4、F（X）为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数，若H（X）正定，则称F（X）
为定义在凸集D上的（）
A凸函数B凹函数C严格凸函数D严格凹函数
vF（X）=—土冷昭
5.约束极值点的库恩一塔克条件为
i=l当约束条件gi（X）<
0（i=1,2,…,m）和入i>
0时，贝Uq应为（）。
B.不等式约束数目
A.
B.
U
D.
6.对于求minF（X）受约束于gi（x）<
0（i=1,2,…,m）的约束优化设计问题，当取入i>
0时，则
约束极值点的库恩一塔克（K-T）条件为（）。
^F（X）=S^Vgl（X），其中右为拉格朗日乘子
L-1m
-VF（X）=工石陷（X），其中人为拉格朗日乘子
1=1
VF（X>
ZAVgi（X\其中入为拉格朗日乘子，q为
冒起作用的不等式约束数目
-VF（X）=Z^Vgi（X）其中入为拉格朗日乘子，q为"
起作用的不等式约束数目
试用条J半半U断.怎.V=[-l,IJr绘否是下列约束优4七问题的最优点：
minJ*™（玉J=JCi-+-jci+4jvx—+liO
s./.=—+JCj—2^0
吕工C-V）=Xi+Xz+—MO
=[-l,l]r代入不等式釣束方程，g.（AJ=0为起作用约束丫而g乂为不起作冃约東:
则人見J一“
故该点滴足K—T条件・是最优解=
第三章
已知目标函数
f（X）=（X1-4）2+（X2-4）2。
由X（0）=[11]T为起点，沿S（0）=[21]T作一维搜索，求下一个迭代点X
（1）。
[例3J]用黄金分割法求=HO的用优解。
没初始点伽二山和始步
长A=L取迭代精度e=0,35c
解:
首先用进退法确定搜索区间
尙=心=0*£
=f（Ol）=10a2=a（+A=1,f2=f（a2）=4比较Z，因作前进运算；
«
j=a；
+A=2,/j=/（Cj）—0
比较h缶，因fi>
h”再作前进运鼻：
A=2x1=2,=a：
=1*/i=/：
=4
»
!
=a,=2,fj=fj=0=a2+ft=4,f、=fZ—2
比较£
J計18f2>
人•再作前进运算：
ft=2x2=4k如三巾=2,/i=A=0
a2==4tA=/>
=^2+A=8ff、=f（a3）=18
故a—ai=2t6=fij~8T初始搜索区间[a*6]=[2*8]
例题：
确定函数f（x）=3x3-4x+2的初始区间。
给定xO=O,h=1.
x1=x0=0,f1=f（x1）=2x2=x0+h=1,f2=f（x2）=1
f1>
f2,则h=2h=2x3=x0+h=2
f3=f（x3）=18f2<
f3,贝U[ab]=[0,2]
[例氛1]用黄金分割谖求/（fl）=a2-7a10的最优解m设初始点00=0,初始步长h=l^迭代精度t=0.35fl
如二处二otfl=/（aj=10+A=Ufl=/（aj）=4
比较/2、仇，因/2<
/（，作前进运算：
aj=a2+A=2./3=f（^3）—0
比较h.h，因ft>
A•再柞前进运算t
h=2x1=2tm=叫=1,/i=/：
a；
=a5=2«
舟=打=Qa5=a2+ft=4,f、=/（tij）=_2
比较人J,因再柞前进运算：
A=2x2=4f叫=s=2、fi=/2=0
:
=-4,=/j=-2=«
+ft=8,f、=/（c3>
=18
敬a=幻=2#h成3=8*初始搜索述间[af]=[2*8]
按黄金分割法算法进行求优
1）在初始区间=[2，的中取两计算点并计算其函数值m=a+0-3822-a）=4.292,/t=-1.622736①=a+06l8（d-a）=5-7O8>
/2=2,625264
（2）比较函数值，缩短搜索空同。
因有
=az=5,708,g=口1=4.292,仇=一1.622736
i=o+0*382（^—a）=3,416456,f、=—2.243020
（3）判断迭代錢止条件
b-a=5,708-2=3.708>
e不满足迭代终止条件
5枕迭代后，b-a0.3X0722<
€迭代即可終止
近似最优解为「=da）/2=3.441689,厂=-2.2466
1函数F（X）为在区间]10,20]内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16,若F（13）<
F（16）,则缩小后的区间为（）
A.[10,16]B.[10,13]C.[13,16]D.[16,20]
2、在用0.618法求函数极小值的迭代运算中，a1,b1为搜索区间[a,b]中的两点，函数值分别
记为F1,F2。
已知F2>
F1。
在下次搜索区间中，应作如下符号置换（）
3、例：
用黄金分割法求函数f（x）=3x3-4x+2的极小点,
给定x0=0,h=1,e=0.2。
由于f1>
f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472,1.236]
应继续缩小区间。
因为b-a=1.236-0.472=0.764>
0.2,
第三次缩小区间:
令x1=x2=0.764,f1=f2=0.282
x2=0.472+0.618X（1.236-0.472）=0.944,f2=0.747
由于f1<
f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.944]
因为b-a=0.944-0.472=0.472>
0.2,应继续缩小区间
第四次缩小区间：
f2=f1=0.282
令x2=x^0.764,
f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.764]
因为b-a=0.764-0.472=0.292>
0.2,应继续缩小区间。
第五次缩小区间：
令由于
因为
极小点与极小值：
x*=0.5X（0.584+0.764）=0.674,f（x*）=0.222
4、F（X）在区间[X1,X3]上为单峰函数，X2为区间中一点，X4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。
如X4-X2>
0，且F（X4）>
F（X2），那么为求F（X）的极小值，X4点在下一次搜索区间内将作为（）。
A.X1B.X2
[例3•幻用二次插值法求/（«
>
=/-7。
+10的是优解.已知初始区同为取终止迭代点距梢度百=041。
a+b
吧2~
f3=IS
1>
确定初始播值结点；
otj==2#°
£
=0,A=0>
（2）计算插值函数极小点
C,=A~Z,=3>
5—°
i
a4=0*5（口1+ci3—Ci/C2y=3*5
（“吕一鼻一5〉—6*75>
—于aQ=-2,25
（3）缩頰搜索区间
因口*<
、f』>
fa.故
ay=xi2=5.Cx^——3.3»
t=2,fy=0#ft=-2.25T/i=°
开关K=1
C）=0FC2=1>
at=3「5,/^=—2.2S
斗一"
]〉（“—a4）—2.25>
（4）判断迭代终止条件
[叫―乜|=I3>
5—3.5j=0<
c
满足迭代终止条件>
得最优解
a'
=口4=3一5,y*=a4）=—2-25
用二次插值法求函数f（x）=3x3-4x+2的极小点，给定x0=0,e=0.2。
解1）确定初始区间
初始区间[a,b]=[0,2],中间点x2=1。
2）用二次插值法逼近极小点
相邻三点的函数值：
x仁0,x2=1,x3=2;
f1=2,f2=1,f3=18.代入公式：
xp*=0.555,
fp=0.292
由于fp<
f2,xp*<
x2,新区间[a,b]=[a,x2]=[0,1]，|x2-xp*|=1-0.555=0.445>
应继续迭代。
在新区间，相邻三点的函数值：
x仁0,x2=0.555,x3=1;
f1=2,f2=0.292,f3=1.
xp*=0.607,fp=0.243
f2,xp>
x2,新区间[a,b]=[x2,b]=[0.555,1]
|x2-xp*|=|0.555-0.607|=0.052<
0.2,迭代终止。
xp*=0.607,f*=0.243
1、用进退法确定f（x）=x2-6x+9的一维搜索初始单峰区间[ab],初始点x0=0,初始步长h0=1。
2、用0.618法计算三次迭代，minf（x）=（100-x）2初始区间为]60150]。
3、用二次插值法minf（x）=x2-10x+36，初始区间为[010],£
=0.001
思考题：
1、为什么一维搜索要以单峰区间为基础？
2、黄金分割法和二次插值法缩减区间的原则是什么？
第四章
=h-25jc22的极小点口£
^0,1
解；
第一次迭代’先求点X⑼的梯度
=[1.9198^-0,003]T
=[3[83£
7&
-OaS]-
从而完成了最速下降法的第一次迭ft雄续作下去,轻10欢迭代后，得到最优解.
/（X*）=0，
这个问题的目标函/（X）的等值线为一族牖圆迭代点从龙-"
走的是一段银齿形路线'
见團…
若给定初始点刃土府
第一次迭代：
先求点X®
的梯度
3-6a
VF（R）=釘£
=Hs<
0）=-VF（X<
0））=[-630]r
0）"
。
）+於叫耕+彳
p（a）=F（X
（1））=（3-6a）2+25（0）'
^（a）=-12（3-6a）=0
a=05
X
（1）=[0,0]TF（X
（1））=0
证明：
相邻两次迭代的搜索方向垂直。
即：
Vf（壬仏+1）），Vf（彳⑷）=0
证明*壬U=XW-a（A）Vf（Xw）
即k轮迭代经过一次一维搜索由k点到达k+1点，那么，对于一维优化_
min/（X（A）-a（A）Vr（X（A）»
最优点存在的充要条件才（无（"
】）：
（/=0
所以/处
芳（X（E））—a*Vf（Xg））
（輕（“））•
=[\y（x
（2）厂卜vr（x"
））]=o
一—~|
给定初始点X®
=[2,2]T，用牛顿法求目标函数
F（X）=xi2+25x22的极小点。
第一次迭代；
先求点X（°
）的梯度
■■
2xl
50乂
■▲■
100
VF（X（°
））=
1/20
H（XW）=
50
[日（刘）『=
01/50
X（i）=x（o）_H（X（°
））Tw（X（o））=
段l爲用
第一次迭代二
先求点jv®
VJF<
^CC0>
=
―
冲Y
2O_
oSO
SOa:
i-Lfi/2o"
I$—空吟）」=|_0l/50j=【W
◎屮0T4_产纠匕」［_01/soJLiooL—%」
即（cO=F（X。
）〉=（Z_5）2+2S（2—2a）2
2—2a
2-2a
F（«
）=（2—2a）=O
练习：
用牛顿法求目标函数：
的极小点。
给定初始点X（0）=（1/211/2）T
f（X）=（x1-x2+x3）2+（-x1+x2+x3）2+（x1+x2-x3）2
切0）
6xi—2旳—2xj—2x［+（h-2—2xi—2xi—2xi+&
r2
KI
A*=血］=
111-81-4
1-8141-8
1JJTt1一g1-[8-』
6-2-2
-26一2
-2-26
〔例4.2]试用DFF变尺度法求解下列无约束优化问题/（X）=4（X]—5）2+（X2-6尸
取初始点X41-[8,9]t+梯度蒂度e=0.01o
解當取初始点为=[8s9]t,这时有/（Xd）=45目标函数的樺度函数为
=
求搜索方向別及新的迭代点X1:
L-6」
IIV/（Xa）II=600032<
e
满足精度嬰求，迭代结束•输出最优解：
X=X2=[4,99998,6.00014]1
/（X1）二f（X2）=2.1x10*
用DFP算法求
f（工[?
JC2）=<
271+2JC2—4工1-2jCfJC2
作业:
的扱值解。
共®
S梯度法求目标函数FPQ=玩H■王竝—4刊—形的极小点"
给定初始点XE「；
「-诸写岀第一次搜秦的
计算过程利第一次搜索方向SE.
解=第-次迭代用梯度決
第二次迭代
VF（JV⑴）=
可心［亠心
VfX°
））『20
S
（1）=-VF（x
（1））4-^os（0）
■-1
+0-25
r2
-2
1.5
X
（2）=JV（l）+dlS（l）=
+oc
2
用共铤梯丿建注垂目标函霰F（X）=t
1什么是库恩一塔克（K-T）条件？
其几何意义是什么？
2、迭代过程是否结束通常的判断方法有（）
A.设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小
B.相邻两点目标函数值之差充分小C•目标函数的导数等于零
D.目标函数梯度充分小E•目标函数值等于零
3、对于所有非零向量X，若XTMX>
0,则二次刑矩阵M是（）
a三角矩阵B.负定矩阵C.正定矩阵D.非对称矩阵E.对称矩阵
4、求minf（X）=x12+x22-x1x2s.t.h（X）=x1+x2-仁0的极小值。
第五章
例5-4用内点法求斛min/（x）=x?
+
s.t.g（x）=1-x（CO
解如图所示，该问题的约束最优点为x-=[01]T,
垠优值为/&
•）=lo
构造内点惩罚函数0（工』对于任意给定的惩罚因子r用解析法求函数0（心厂）
当r=4时，xM（r）=[20]Tff（x^（r））=4
当r=1.2时，xB（r）=[1.4220]T,/（x*（r））=2.022
当r=0.36时.x"
（r）=[1.1560]T,/（xw（r））=1.336
当f=0时，X*（厂）=[10]T,f（x*（r））=1
例用外点法求问题
minf（x）=-f
sJ.g（xi=1—<
约束最优解。
首先构造外点惩罚函数二
0（w）_X；
十；
V；
-7-（1-）2
用解析法求解
蟹=2\-2尸（1—西）=0
ax2=2%2=0
求解得
叫（r）=0
总结,
1.罚函数法
外点法：
P&
/）=/（X）+/^（（X）]f+/£
衬（X）
内点法:
p（x,/）=/（x）-/21
“"
（X）
m
p（尢rfc）=f（x）_严£
in［—热（x）L外
M=1
.X
1在复合形法中，若反射系数a已被减缩到小于一个预先给定的正数
可行或优于坏点，则可用（）
A好点代替坏点B反射点代替坏点
C次坏点代替坏点D形心点代替坏点
2、对于目标函数F（X）受约束于gu（X）<
0（u=1,2,…,m）的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式为（）
A.607,处8）=尸1工"
）+M⑹云口皿吐"
”｝沪°
硕糾均谨増正数庁列
血7
，仍不能使反射点
）=尸（庄）*一血⑷乞［夂1斗>
屮扩，MM沖遥诫正数序列
肚7
vr=尸（笙）十*vr®
乞gm皓uGVx。
］｝'
TMtK）为谨増正数序列■r-4
DlJt,AfC*>
）=^（AT）4-莹,:
si:
切为谨减正数序列
刚度矩阵的性质:
工）对称性苟奇寻性
3）分块性
J
cos-3「,cos^sinO
［氐亡］
cos^siuOsin~O
—cos2O「亠^-cos^sinrS
一cos^sinO一sinO
—cos-&
—con>
sill&
［氐詔
一COS^slu3—sill-O
COS2Or*
IJ
cos^si
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