概率统计第三章答案3.docx
《概率统计第三章答案3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计第三章答案3.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
概率统计第三章答案3
概率论与数理统计作业
班级姓名学号任课教师
第三章多维随机变量及其分布
教学要求：
一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数；
二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念；
三、理解二维随机变量的边缘概率分布；
四、理解随机变量的独立性概念；
五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）.
重点：
二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变量的独立性.
难点：
边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布.
练习一二维随机变量及其分布
1．填空题
（1）设二维随机变量的分布函数为，且，则
；；
.
（2）设二维连续型随机变量的概率密度为，则其分布函数=；若是平面上的区域，则点落在内的概率，即
（3）若二维随机变量的概率密度为
，
则系数.
（4）设二维随机变量的分布函数
则常数=，=，=.
2.将2个球随机地放入3个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的
盒子个数.求二维随机变量的联合概率分布.
解：
按古典概型，2个球随机地放入3个盒子中共有种取法，的所有可能取值为0，1，2，的所有可能取值为1，2，则：
，
，
，
，
，
．
0
1
2
1
2/9
0
1/9
2
2/9
4/9
0
分布律为：
3.设盒内产品有2件次品，3件正品，每次从中任取一件产品，不放回地取两次。
用表示第一次取得次品的件数，用表示第二次取得次品的件数，求和的联合分布律.
解:
的所有可能取值为；；；.由乘法公式可得：
，
，
，
．
所以的分布律为：
0
1
0
3/10
3/10
1
3/10
1/10
4.设二维随机变量的概率密度为
（1）求系数；
（2）求；（３）求分布函数．
解：
（1）由得
所以．
（2）
（3）
5．设二维随机变量的概率密度
（1）求常数；
（2）求；（3）求.
解：
（1）由得
.
所以
（2）
（3）
练习二二维随机变量的边缘分布
1．填空
（1）设二维随机变量的联合分布律为
0
1
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0.1
2
0.15
0
0.1
则与的边缘分布律分别为
且．
（2）设二维随机变量的分布律为，
0
1
0
1/4
1/2
1
1/3
1/2
则，,,.
（3）设二维随机变量的概率密度为
则常数＝；边缘概率密度
（4）设二维随机变量的分布函数为
则边缘分布函数，；边缘概率密度
2．盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球．以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数．求,的联合分布律以及的边缘分布律.
解：
按古典概型计算，从7只球中取4只，共有种取法，在取的4只球中，黑球有只，红球有只（剩下只为白球）的取法为
，
于是
,
,
,
．
分布律为：
01
2
3
0
00
3/35
2/35
5/35
1
06/35
12/35
2/35
20/35
2
1/356/35
3/35
0
10/35
1/3512/35
18/35
4/35
1
3. 将一枚硬币掷三次，以表示前两次中出现正面的次数，以表示３次中出现正面的次数，求,的联合分布律以及的边缘分布律.
解：
由于服从二项分布B（2,1/2）,所有可能取的值为0，1，2，3．当时，取的概率都为1/2，而取以外的值是不可能的，故：
，
，
，
，
，
，
，
所得分布律为：
01
2
3
0
1/81/8
0
0
1/4
1
01/4
1/4
0
1/2
2
00
1/8
1/8
1/4
1/83/8
3/8
1/8
1
4．设二维随机变量的概率密度为
求边缘概率密度．
解：
5．设二维随机变量的概率密度为，
（1）求边缘概率密度；
（2）求．
解：
（1）
（2）
练习三二维随机变量的条件分布（选做）
1．填空
（1）设二维离散型随机变量的联合分布律为
0
1
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3
0.05
0.1
2
0.15
0
0.1
则
（2）设二维随机变量的概率密度为
则.
2.设二维离散型随机变量的联合分布律为：
0
1
2
0
1/4
1/6
1/8
1
1/4
1/8
1/12
求，，.
解：
;
;
3.设二维随机变量的概率密度为
求条件概率密度，．
解：
由于
所以当时，
当时，
练习四随机变量的相互独立性
1．填空
（1）设随机变量与相互独立且服从同一分布：
，，则.
（2）设随机变量与的联合分布律为
1
2
3
1
1/6
1/9
1/18
2
1/3
则.若与相互独立，则，.
（3）设两个随机变量与相互独立，服从均匀分布，服从指数分布，则的概率密度
2.某班车在起点站的上车人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且乘客中途下车与否相互独立.以表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率.
（2）二维随机变量的概率分布.
解：
（1）由题设知，此条件概率服从二项分布，因此有
（2）利用乘法公式，得
，
3.设二维随机变量的概率密度为
（1）求边缘概率密度和；
（2）判断与是否相互独立.
解：
（1）
（2）由于，所以与不相互独立.
4.设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为,
（1）求和的联合概率密度；
（2）设含有的二次方程为，试求有实根的概率.
解：
（1）因为的概率密度为
且与相互独立，故的概率密度为
（2）的二次方程有实根的充要条件为判别式，
亦即.
而
练习五两个随机变量的函数的分布
1．填空
（1）设相互独立的随机变量与具有同一分布律，且的分布律为
0
1
1/2
1/2
则随机变量与的分布律分别为：
1/4
3/4
W
0
111
2
1/4
1/2
1/4
（2）设二维连续型随机变量的概率密度为，若与相互独立，则的分布函数；概率密度或
（这两个公式也被称为卷积公式）.
（3）设随机变量与相互独立，且,，则；．
2.设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
求随机变量的概率密度．
解：
利用公式，
按函数的定义知，仅当 即时，上述积分才不等于零．所以
3.设随机变量的概率密度为
（1）问和是否相互独立?
（2）求的概率密度.
解：
（1）
其中
故
同理可求得
显然，所以和不相互独立．
（2）由公式可知仅当 即时才不会
等于零，所以
4.设随机变量与相互独立，且都在区间上服从均匀分布，求
（1）的概率密度;
（2）的概率密度.
解：
（1）由于与相互独立且具有相同的分布，所以
，
而
则
（2）由于与相互独立且具有相同的分布，所以
则
综合练习题
一、填空题
1.已知随机变量与的边缘分布律在下表中已给出，且，请推断与的联合分布律：
0
1
－1
1/4
0
1/4
0
0
1/2
1/2
1
1/4
0
1/4
1/2
1/2
1
2.设二维随机变量的联合分布律为
0
1
0
0.4
1
0.1
已知随机事件与相互独立，则=0.4,=0.1.
3.设二维随机变量服从上的均匀分布，区域由曲线与所围，则的概率密度函数为，.
4.设二维连续型随机变量的两个分量与相互独立，且服从同一分布，则.
5.设和是两个随机变量，且，，
则.
二、计算题
1.8件产品中有5件一等品，2件二等品，1件三等品，从中任取4件，若为4件产品中的一等品件数，为4件产品中的二等品件数.
（1）求二维随机变量的联合分布律与边缘分布律；
（2）判断与是否相互独立；（3）求.
解：
0
1
2
1
0
0
5/70
5/70
2
0
20/70
10/70
30/70
3
10/70
20/70
0
30/70
4
5/70
0
0
5/70
15/70
40/70
15/70
1
（1）
（2）不相互独立．（3）．
3．设随机变量的概率密度为，
（1）求常数；
（2）求；
解：
（1）由得
（2）．
3．设二维随机变量的概率密度为
（1）求的边缘概率密度,并判断与是否相互独立；
（2）求的概率密度.
解：
（1）
（2）由于，所以与不相互独立.
（3）由于
所以当时，，；
当或当时，，
即
4．设二维随机变量的概率密度为,
（1）试确定常数；
（2）求边缘概率密度；（3）判断与是否相互独立；（4）求函数的概率密度．
解：
（1）由 可得
所以．于是
（2）
（3）由于，所以与相互独立，
（4）
，
而
故
．
升级会员 