最优化方法练习题答案Word文档下载推荐.docx
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确定目标函数问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件资源的报价至少应该高于原生产产品的利润,这样原厂家才可能
卖。
因此有如下线性规划问题:
minw170y1100y2150y3
5y1
2y2
y3
10
s..t2y1
3y2
5y3
18
y1,y2,y3
*2、研究线性规划的对偶理论和方法(包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单
纯形法)。
略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题:
minz
x1
x2
x3
4
2x3
2
2x2
2x1
3
;
x4
(1)s.t.
(2)s.t.
x55
x1,x2,x3
xi
(i
5)
(1)引入松弛变量x4,x5,x6
x30*x4
0*x5
0*x6
=2
x5
=3
s..t
x6=4
x1,x2,x3,x4,x5,x60
cj→
1
-1
CB
基b
x6
[1]
-2
cj-zj
因检验数σ2<
0,故确定x2为换入非基变量,以x2的系数列的正分量对应去除常数
列,最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。
C
B
基
b
6
5
[3]
因检验数σ3<
0,故确定x3为换入非基变量,以x3的系数列的正分量对应去除常数
列,最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。
8/3
5/3
1/3
2/3
-1/3
11/3
-4/3
7/3
因检验数σ
*
(0,8/3,1/3,0,0,11/3)
,去除添加的松弛变
j>
0,表明已求得最优解:
X
量,原问题的最优解为:
X*(0,8/3,1/3)。
(2)根据题意选取x1,x4,x5,为基变量:
s.t.
100
x3x4x5
-210
101
因检验数σ2<
0最小,故确定x2为换入非基变量,以x2的系数列的正分量对应去除
常数列,最小比值所在行对应的基变量
x4作为换出的基变量。
-3
因检验数σ3<
0最小,故确定x3为换入非基变量,以x1的系数列的正分量对应去除
x5作为换出的基变量。
j→
c
9
因检验数σj
(9,4,1,0,0)。
>
4、分别用大M法、两阶段法和Matlab软件求解下列线性规划问题:
z
4x1
max
z10x1
15x2
12x3
3x1
5x1
3x2
9x1
5x
6x
15x
15
2x
x1,x2
x1,x2,x30
(1)大M法
根据题意约束条件
1和2可以合并为1,引入松弛变量x3,x4,构造新问题。
z=4x1+x2+Mx3+0*x4
x43
x1,
M
4-3M
1-M
[5/3]
M-4/3
3/5
2/5
-1/5
6/5
M-7/5
1/5
(3/5,6/5)。
Matlab调用代码:
f=[4;
1];
A=[-9,-3;
1,2];
b=[-6;
3];
Aeq=[3,1];
beq=3;
lb=[0;
0];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
输出结果:
Optimizationterminated.
x=
0.6000
1.2000
fval=
3.6000
(2)大M法
引入松弛变量x4,x5,x6,x7构造新问题。
maxz
10x1
0x4
0x5
0x6Mx7
x3x4
6x2
15x3
x2x3
x7
x7
单纯形表计算略;
当所有非基变量为负数,人工变量x7=0.5,所以原问题无可行解。
请同学们自己求解。
f=[-10;
-15;
-12];
A=[5,3,1;
-5,6,15;
-2,-1,-1];
b=[9;
15;
-5];
0;
x=linprog(f,A,b,[],[],lb)
原题无可行解。
5、用内点法和Matlab软件求解下列线性规划问题:
x1,x
2,x30
用内点法的过程自己书写,参考答案:
最优解
X[4/37/30];
最优值5
f=[2;
1;
Aeq=[1,2,2;
2,1,0];
beq=[6;
5];
[x,fval]=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)
1.3333
2.3333
0.0000
5.0000
6、用分支定界法求解下列问题:
z5x18x2
z7x19x2
(1)
(2)
9x2
45
7x1
35
0且均为整数
0且x1为整数
(1)调用matlab编译程序bbmethod
f=[-5;
-8];
G=[11;
59];
h=[6;
45]
[x,y]=bbmethod(f,G,h,[],[],[0;
0],[],[1;
1],1)
33
y=
-39
最优解[33];
最优值39
(2)调用matlab编译程序bbmethod
f=[-7;
-9];
G=[-13;
71];
35]
0],1)
50
-35
最优解[50];
最优值35
7、用隐枚举法和Matlab软件求解下列问题:
2x25x32x43x5
5x2
3x3
2x4
4x4
3x5
8
3x4
11x1
xj
0或1(j
1,2,3)
隐枚举法:
(1)将(0,0,0)(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)(0,1,1)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1)分别带入到约束条件中,可以得到:
原问题的最优解是(0,0,1),目标函数最优值2.
(2)将(0,0,0,0,0)(0,0,0,0,1)(0,0,0,1,0)(0,0,1,0,0)⋯.(1,1,1,1,1)分别带入到约束条件中,可以得到:
原问题的最优解是(1,1,0,
0,0),目标函数最优值-5。
Matlab软件求解:
调用代码:
3;
2];
%价值向量f
A=[2,-5,3;
-4,-1,-3;
0,-1,-1];
%不等式约束系数矩阵A,[]中的分号“;
”%为行分隔符
b=[4;
-3;
-1];
%不等式约束右端常数向量b
[x,fval]=bintprog(f,A,b,[],[]);
%调用函数bintprog。
注意两个空数组的占位作用。
输出结果
f=[-3;
-2;
5;
2;
A=[1,1,1,2,1;
7,0,3,-4,3;
-11,6,0,-3,3];
8;
-5
最优值5。
8、某地区有A、B、C三个化肥厂,供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。
已知各
化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量,以及各厂到各区每吨化肥的运价
如表2-28所示。
试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。
表2-1
运价/
产粮
(元/吨)
甲
乙
丙
丁
各厂供应量/万吨
区
化肥厂
A1
7
A2
A3
各区需要量/万吨
设A、B、C三个化肥厂为A1、A2、A3,甲、乙、丙、丁四个产粮区为B1、
B2、B3、B4;
cij为由Ai运化肥至Bj的运价,单位是元/吨;
xij为由Ai运往Bj的化肥数
量(i=1,2,3;
j=1,2,3,4)单位是吨;
z表示总运费,单位为元,依题意问题的数学模型为:
cijxij
i1
j1
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
st..x14
x24
x34
x14
该题可以用单纯形法或matlab自带工具箱命令(linprog)求解。
*9、求解下列不平衡运输问题(各数据表中,方框内的数字为单位价格cij,框外右
侧的一列数为各发点的供应量ai,框底下一行数是各收点的需求量bj):
(1)5
要求收点3的需求必须正好满足。
80
752050
20
要求收点1的需求必须由发点
4供应。
51015
解答略。
10、一公司经理要分派4位推销员去4个地区推销某种商品。
推销员各有不同的经
验和能力,因而他们在不同地区能获得的利润不同,其获利估计值如表2-29所示。
公
司经理应怎样分派才使总利润最大?
表2-2
地区
推销员
27
28
37
34
29
40
24
32
33
25
用求极大值的“匈牙利法”求解。
效率矩阵表示为:
M-Cij
13
12
行约简
11
M=40
16
列约简
标号
(0)
0*
2所画()0元素少于n
(n=4),未得到最优解,需要继续变换矩阵(求能覆盖所有0元素的最少数直线集合):
√
2106(0)√
12680*√
(0)110*2
8(0)44
未被直线覆盖的最小元素为cij=2,在未被直线覆盖处减去2,在直线交叉处加上2。
∴得最优解:
∴使总利润为最大的分配任务方案为:
1→1,2→4,3→3,4→2
此时总利润W=35+40+32+32=139
练习题三
1、用0.618法求解问题
min(t)t3
2t1
t0
的近似最优解,已知(t)的单谷区间为[0,3],要求最后区间精度0.5。
t=0.8115;
最小值-0.0886.(调用golds.m函数)
2、求无约束非线性规划问题
f(x1,x2,x3)=x12
4x22
的最优解
解一:
由极值存在的必要条件求出稳定点:
2,
8x2
,f
2x3,则由
0得x1
1,x2
0,x30
再用充分条件进行检验:
2f
0,
8,
22,
x1x3
x1x2
即2f
0为正定矩阵得极小点为
x*
(1,0,0)T,最优值为-1。
解二:
目标函数改写成