定积分及其应用练习 带详细答案.docx
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定积分及其应用练习带详细答案
定积分及其应用
题一
题面:
求由曲线与轴,直线所围成的平面图形的面积.
答案:
.
变式训练一
题面:
函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A.B.2
C.3D.4
答案:
D.
详解:
画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x轴所围成的封闭图形的面积为×2×2+∫02cosxdx=2+2sinx=4.
变式训练二
题面:
由直线y=2x及曲线y=3-x2围成的封闭图形的面积为( )
A.2B.9-2
C.D.
答案:
详解:
注意到直线y=2x与曲线y=3-x2的交点A,B的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y=2x与曲线y=3-x2围成的封闭图形的面积为(3-x2-2x)dx==3×1-×13-12-=,选D.
题二
题面:
如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( ).
A.B.C.D.
变式训练一
题面:
函数f(x)=sin(ωx+φ)的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,其中,P为图象与y轴的交点,A,C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.
若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为________.
答案:
.
详解:
设A(x0,0),则ωx0+φ=,∴x0=-.
又y=ωcos(ωx+φ)的周期为,
∴|AC|=,C.
依题意曲线段与x轴围成的面积为
S=-∫-+-ωcos(ωx+φ)dx=2.
∵|AC|=,|yB|=ω,∴S△ABC=.
∴满足条件的概率为.
变式训练二
题面:
(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C.
详解:
根据题意,正方形OABC的面积为1×1=1,
而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01(﹣x)dx=(﹣)|01=,
则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为=;
故选C.
金题精讲
题一
题面:
(识图求积分,二星)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( ).
A.B.C.D.
答案:
变式训练一
题面:
如图求由两条曲线y=-x2,y=-x2及直线y=-1所围成的图形的面积.
答案:
.
详解:
由得交点
A(-1,-1),B(1,-1).
由得交点C(-2,-1),D(2,-1).
∴所求面积
S=2=.
变式训练二
题面:
例1求在上,由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
答案:
4.
详解:
作出在上的图象如右
与轴交于0、、,所
求积
题二
题面:
(作图求积分,四星)求曲线与曲线所围成的图形的面积.
交点的横坐标分别为,.
变式训练一
题面:
求曲线,及所围成的平面图形的面积.
答案:
.
详解:
作出,及的图如右
解方程组得
解方程组得
所求面积
答:
此平面图形的面积为
变式训练二
题面:
求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
答案:
.
详解:
作出及的图形如右:
解方程组得
解方程组得
所求图形的面积
题三
题面:
(1)由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为_______.
(2)由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______.
答案:
(1);
(2).
变式训练一
题面:
设f(x)=,函数图象与x轴围成封闭区域的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C.
详解:
根据题意作出函数的图象:
根据定积分,得所围成的封闭区域的面积S=
故选C
变式训练二
题面:
已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为( )
A.
1/2
B.
1
C.
2
D.
3/2
答案:
D.
详解:
由题意图象与x轴所围成图形的面积为
.
故选D.
题四
题面:
(导数与积分结合,二星)设函数的导函数为,则的值等于______.
答案:
.
变式训练一
题面:
设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于( )
A.B.
C.D.
答案:
A.
详解:
由于f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是∫f(-x)dx=∫(x2-x)dx==.
变式训练二
题面:
设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于( )
A.B.
C.D.
答案:
A.
详解:
由于f(x)=xm+ax的导函数为f′(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)dx=(x2-x)dx==.
题五
题面:
(化简后求积分,四星)
(1)求
(2)
变式训练一
题面:
与定积分∫dx相等的是( )
A.∫sindx B.∫dx
C.D.以上结论都不对
答案:
B.
详解:
∵1-cosx=2sin2,
∴∫dx=∫dx
=∫dx.
变式训练二
题面:
________.
答案:
.
详解:
因为sinx=sin=,所以∫0cosxdx=.
题六
题面:
(定积分的运用,三星)函数f(x)=sin(ωx+φ)的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示,其中,P为图象与y轴的交点,A,C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.
(1)若φ=,点P的坐标为,则ω=________;
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为________.
[解析]
(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)求导得,f′(x)=ωcos(ωx+φ),把φ=和点代入得ωcos=解得ω=3.
(2)取特殊情况,在
(1)的条件下,导函数f′(x)=3cos,求得A,
B,C,故△ABC的面积为S△ABC=××3=,曲线段与x轴所围成的区域的面积S=-=-sin+sin=2,所以该点在△ABC内的概率为P==.
同类题一
题面:
设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x-2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
答案:
(1)f(x)=x2-2x+1.
(2).
详解:
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f′(x)=2ax+b.又f′(x)=2x-2,
所以a=1,b=-2,即f(x)=x2-2x+c.
又方程f(x)=0有两个相等实根,
所以Δ=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2-2x+1.
(2)依题意,所求面积为
S=(x2-2x+1)dx=(x3-x2+x)|=.
同类题二
题面:
设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且
f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
(2)若直线x=-t(0<t<1=把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值.
答案:
(1)f(x)=x2+2x+1.
(2).
(3)t=1-.
详解:
(1)设f(x)=ax2+bx+c,则f′(x)=2ax+b,
又已知f′(x)=2x+2
∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+c
又方程f(x)=0有两个相等实根,
∴判别式Δ=4-4c=0,即c=1.
故f(x)=x2+2x+1.
(2)依题意,有所求面积=.
(3)依题意,有,
∴,-t3+t2-t+=t3-t2+t,2t3-6t2+6t-1=0,
∴2(t-1)3=-1,于是t=1-.
思维拓展
题一
题面:
(几何法求积分,四星)
(1)计算,;
(2)求椭圆的面积.
,转化为圆的面积.
同类题一
题面:
求定积分的值.
答案:
.
详解:
表示圆x2+y2=1在第一、二象限的上半圆的面积.
因为,又在x轴上方.
所以=.
同类题二
题面:
的值是( )
A.B.C.D.
答案:
A.
详解:
积分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心,1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积,
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差.
即
.
故答案选A