高等代数论文关于可逆矩阵及其应用的举例探讨.doc
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高等代数
课题:
关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
学院、专业:
数学与应用数学
学生姓名:
欧习昌
年级班:
2011级数本
(1)班
指导教师:
秦瑞兵老师
目录
摘要·1
关键字·1
引言·1
第一部分·1
基础知识·1
一、定义·1
1、矩阵的定义·1
2、逆矩阵的定义·1
二、逆矩阵的性质·1
三、逆矩阵的判断条件·2
第二部分逆矩阵的求解方法·2
方法1定义法·2
方法2伴随矩阵法·2
方法3初等变换法·3
方法4用分块矩阵求逆矩阵·5
方法5解方程组求逆矩阵·5
方法6用克莱姆法则求解·6
方法7 用行列式·8
方法8恒等变形法求逆矩阵·9
方法9用Hamilton-Caley定理求逆矩阵·10
方法10三角矩阵求逆法·11
方法11拼接新矩阵·12
第三部分可逆矩阵的应用·12
一、数学中的应用·13
二、生活中的应用·14
总结·17
参考文献·17
关于可逆矩阵及其应用的举例探讨
摘要:
矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时
在生活应用上,也占有很重要的地位。
本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的
种方法,以及其应用的举例。
关键词:
逆矩阵伴随矩阵初等矩阵逆矩阵应用的举例
引言矩阵理论是高等代数的一个主要内容,也是处理实际问题的重要工具,而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
在矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的“1”,逆矩阵类似实数的倒数。
下面通过引入逆矩阵的定义,就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法,以及应用例子进行探讨。
第一部分知识预备
一、定义
1、矩阵的定义
矩阵设个数排成行列的数表
用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即
简记为.
2、逆矩阵的定义
定义:
设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A-1.
二、逆矩阵的基本性质:
性设A,B是n阶可逆矩阵,则
(1)(A-1)-1=A;
1
(2)若k≠0,则kA可逆,且(kA)-1=A-1;
(3)AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1;
(4)AT可逆,且(AT)-1=(A-1)T;
(5)Ak可逆,且(Ak)-1=(A-1)k;
(6)|A-1|=|A|-1;
(7)如果A是m×n矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).
2、矩阵可逆的判断条件
(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0(也即r(A)=n);
(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵;
(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积;
(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零;
(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA=E),则A可逆,且A-1=B.
第二部分矩阵逆的求解方法
方法1定义法:
设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A-1.
例1:
设A为n阶矩阵,且满足,求A-1.
【解】
方法2伴随矩阵法:
A-1=A*.
2
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵,
记作A*,于是有A-1=A*.
注①对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=(Aij)n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵,其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换,次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
例2:
已知,求A-1.
【解】∵|A|=2≠0
∴A可逆.由已知得
A-1=A*=
方法3初等变换法:
3
注①对于阶数较高(n≥3)的矩阵,采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换.
②也可以利用求得A的逆矩阵.
③当矩阵A逆时,可利用
求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法,仅通过初等变换
即求出了A-1B或CA-1.
例3:
:
用初等行变换求矩阵的逆矩阵.
【解】
4
方法4用分块矩阵求逆矩阵:
设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵,则:
例4:
已知,求A-1.
【解】将A分块如下:
其中
可求得
从而
方法5解方程组求逆矩阵:
根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
5
例5求的逆矩阵.
解设,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素,再求,最后求.设E为4阶单位矩阵,比较
的两端对应元素,得到
于是,所求的逆矩阵为:
方法6用克拉默法则求解:
若线性方程组的系数行列式
,则此方程组有唯一的一组解.这里是将
6
中的第i列换成得到的行列式.
定理1 若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:
α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).
定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.
下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:
令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:
αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克莱姆法则可得唯一解:
εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:
BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.
例6求可逆矩阵的逆矩阵.
解矩阵A的行向量为,由标准基表示为:
解以为未知量的方程组得:
7
该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:
由:
得:
令
是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对施行矩阵的行的初等变换得:
方法7 用行列式:
定理:
若n阶矩阵A=(Aij)为满秩矩阵,则A可逆,且
为的初始单位向量组,即
例7:
设,求A的逆矩阵.
8
解
方法8恒等变形法求逆矩阵:
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩
阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变
形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.
例8已知,试求并证明,其中.
解由得到故,而A
又为正交矩阵,从而
方法9用Hamilton-Caley定理求逆矩阵:
Hamilton-Caley定理:
设A是数域P上的n阶矩阵为A的特征多项式,则:
9
于是
因此
例9已知,求A-1.
解A的特征多项式
由Hamilton-Caley定理知:
方法10三角矩阵求逆法:
定理:
如果n阶矩阵可逆,
那么他的逆矩阵是
其中
例10求上三角阵的逆矩阵.
解由定理知:
10
方法11拼接新矩阵:
在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E,再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵,那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.
例11求矩阵的逆矩阵A-1.
解
构造矩阵有:
11
将第一行依次乘以-2,-3和1,分别加到第二行、第三行和第五行,
得:
将第二行依次乘以-1和1,分别加到第三行和第四行,
得:
再将第三行依次乘以-3、2和-1,分别加到第四行、第五行、第六行,
得:
故:
第三部分逆矩阵的应用
逆矩阵在各个领域都有广泛的应用,用逆矩阵的初等行变换来求解一般的线性方程组,这本身就是逆矩阵的一个应用,另外我们还可以用方阵的逆矩阵来求解方程组.也可以用
12
矩阵来解决调配问题、下料问题等实际,问题还有就是数字图象措置惩罚、计较机图形学、计较几何学、人工智能、收集通讯、和一般的算法设计和阐发等.逆矩阵的应用不仅使通讯优化,而且在航天中也有很多的应用.随着科学技术的发展,矩阵的应用已经深切到了天然科学,社会形态科学,工程技能,经济等各个范畴.如:
一、数学中的应用
例1(线性方程组问题)用逆矩阵解线性方程组.
解设方程组的系数矩阵为,未知量矩阵为,
常数项矩阵为,
则线性方程组可以变为矩阵方程,
矩阵的逆矩阵为:
所以
故方程组的解为
注:
因为只有方阵才有逆矩阵,该方法只适用未知量个数等于方程个数且系数矩阵
逆的线性方