矩形的判定专项练习30题文档格式.docx

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请说明理由．

１４．如图，已知梯形ABＣD中，AD∥BC，Ｅ、F分别是AB、CD的中点,点G在边BＣ上,且CG=

（AD+BC）.

（1）求证:

四边形DEGF是平行四边形；

（２）连接DG,若∠AＤＧ=2∠ADE，求证:

四边形DEGF是矩形.

15．已知,如图在△ＡＢＣ中，AB＝ＡC,点D是AC的中点,直线AE∥ＢC，过D点作直线EＦ∥AB分别交AＥ、BC于点Ｅ、Ｆ,求证:

四边形ＡECF是矩形.

1６．已知：

如图，在△ABC中,D、E、Ｆ分别是AC、AB、BC的中点，且ＣE=

AB.

四边形ＣFEＤ是矩形.

１7．如图，平行四边形AＢCＤ中，ＥＦ过AC的中点O，与边AＤ、BC分别相交于点E、Ｆ;

（1）试说明四边形AECＦ是平行四边形．

（2）若EF过AC的中点，且与AＣ垂直时,试说明四边形ＡＥＣＦ是菱形．

（３）当EF与AＣ有怎样的关系时，四边形AＥCＦ是矩形．

1８．如图,在Rt△ABC中，∠A=90°

，AB=ＡC,D是斜边BC上一点,DＥ⊥AＣ，DF⊥ＡＢ，垂足分别为E、F.

（1）说明四边形AEDF是矩形.

（2）试问:

当点D位于BC边的什么位置时,四边形AＥDF是正方形?

并说明你的理由．

1９．如图，△ABC中，Ｄ为边ＡＣ的中点,过点D作MＮ∥ＢC，CＥ平分∠ACＢ交MN于Ｅ，CＦ平分∠ACG交MＮ于F,求证：

（1）ED=DF；

（2）四边形AECF为矩形．

２0.如图，菱形ABCD的对角线AＣ、BC相交于点O,BE∥ＡC，CE∥DB.求证：

四边形OＢＥＣ是矩形.

2１．如图,在△ABC中，O是ＡC上的任意一点，（不与点A，C重合）,过点O作直线l∥BC,直线l与∠BCＡ的平分线相交于点Ｅ,与∠DCA的平分线相交于点Ｆ.

（１）OE与OF相等吗?

为什么？

（2）探索：

当点O在何处时，四边形AECF为矩形？

为什么?

２2.（２0１3•沙湾区模拟）如图，在△AＢC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过Ａ点作BC的平行线交ＣE的延长线于Ｆ,且

AＦ=BD,连接BF.

（１）求证:

D是BC的中点．

（2）如果AB=AC,试判断四边形ＡFBD的形状,并证明你的结论.

23．如图，四边形ＡBCD是平行四边形，对角线AC、ＢＤ交于点O,∠OBC＝∠ＯＣB，求证:

四边形ABCD是矩形．

24．如图M、Ｎ分别是平行四边形AＢCＤ的对边AD、BC的中点,且ＡD=2ＡＢ,AN,BM相交于P,DN,CM相交于Q.求证:

PMＱN为矩形．

25．在平行四边形AＢＣＤ中，对角线ＡＣ、BD相交于O，ＥF过点O，且ＡF⊥BC，求证：

四边形AFＣE是矩形.

26.如图，在△ABＣ中，D是AC的中点,E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥ＢE,交ED的延长线于点Ｆ，连接AＥ，CＦ.

AF=CE;

（2）如果AC＝ＥF，则四边形AFCE是矩形．

２7．如图，DB∥ＡC，且DB=

AC,E是AＣ的中点，

（１）求证：

BC＝DE；

（2）连接AＤ、BE,探究:

当△ABＣ满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？

并说明理由.

28．如图，O是菱形AＢCＤ对角线的交点,作DE∥ＡC，ＣE∥ＢＤ，DE、CE交于点Ｅ，四边形OCＥD是矩形吗？

说说你的理由．

29．已知:

如图,BC是等腰△ＢED底边ＥD上的高，四边形AＢEＣ是平行四边形.

求证:

30．如图，已知AB=AC，AD=AE,DE=ＢC,且∠BAD=∠CAE.

四边形BＣED为矩形．

矩形的判定专项练习3０题参考答案:

1．（１）∵AＤ∥BC，

∴∠Ａ＋∠B=180°

，

∵△DＡF≌△CBＥ,

∴∠Ａ=∠B,

∴2∠Ａ=1８０°

∴∠A＝90°

（２）∵AD∥BC，ＡD＝ＢC,

∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵∠A=90°

∴四边形ＡBCD是矩形

2.（１）∵∠ABＣ＋∠ＢCD=１８0°

BE、CF平分∠ABＣ,∠BCD,

∴∠GBC＋∠GCB＝90°

，∴∠ＢGC=90°

（２）∵点Ｈ为BC的中点，∴BH=ＣH=ＧH，

∵ＧB∥CM,∴∠BGH=∠ＣMH,

∵∠ＨBＧ=∠ＨGＢ，∴∠ＨCM=∠HMC，

∴ＭH=BＨ=ＣH=ＧＨ，

∴四边形GBMC为矩形

3．

（1）四边形OCDE是矩形.

证明:

∵DＥ∥ＡC,CE∥BD，

∴四边形OＣED是平行四边形,

又∵AC⊥BＤ,

∴∠DOC=90°

∴四边形OＣEＤ是矩形．

（2）任意改变四边形ABCＤ的形状,四边形OCED都是平行四边形（答案不唯一）．

理由如下:

∵DE∥AＣ，CE∥BD，

∴四边形OＣED是平行四边形.

４．满足△AＢC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°

．

∵△ＡＢC是等腰直角三角形,∠BＡC＝90°

ＡＤ⊥BC于D，

∴BD=CD,

∵点E、F分别是△ABC中ＡＢ、ＡC中点，

∴DF∥AＢ，ＥD∥ＡC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵∠BAＣ=90°

∴AＥDＦ是矩形.

５.

（1）所作图形如图所示：

（２）四边形DOCＥ是矩形．

∵△DCＥ是由△AOB平移后的图形,

∴DE∥AC,CE∥BD.

∴四边形ＤOＣE是平行四边形.

又∵四边形ＡＢCD是菱形,

∴ＡC⊥BＤ.即∠DＯC=90°

∴四边形DOＣE为矩形．

６．∵四边形ＡＢCD为平行四边形，

∴AO=OC，OD=OB，

∵AＮ=CM　OＮ＝OＢ,

∴ON＝OM=OD=OB,

∴四边形ＮDMB为平行四边形，

∵MN＝ＢD,

∴平行四边形NDMB为矩形

７．∵ＤE∥AC,CE∥ＢD，

∴DＥ∥OＣ,CE∥OＤ

∴四边形OCED是平行四边形,

又∵四边形AＢCD是菱形，

∴ＡC⊥BＤ，

∴∠COD=9０°

∴四边形OＣED是矩形

8.

（1）证明：

∵梯形ABCD中,AD∥BC,即DM∥BE,

∵Ｅ、F分别是边BC、CD的中点

∴ＥF∥BＤ,

∴四边形ＤBEＭ是平行四边形．

（2）证明：

连接DE，

∵ＤB=ＤC,且E是ＢＣ中点,∴ＤＥ⊥BＣ,

∴DE∥AＢ．

又∵AＢ⊥ＢC,

∴AB∥ＤE

∵由

（1）知四边形DBEM是平行四边形，

∴DM∥BＥ且DM＝BE，

∴DM∥EC且DM=EC，

∴四边形DMCE是平行四边形,

∴ＣＭ∥DＥ，

∴AＢ∥CM．

又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形，

∵AB⊥ＢC，∴四边形ABCM是矩形.

9.∵ＣE平分∠ＡCＢ,

∴∠ACE＝∠BCＥ,

∵MＮ∥ＢC,

∴∠OＥC=∠ECB,

∴∠OEＣ=∠ＯCE，

∴OE＝OC，

同理,OＣ=OＦ,

∴OE=OF.

∵AO=CO，EＯ=FO，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵CE平分∠AＣＢ，

∴∠AＣＥ=

∠ACB，

同理，∠ＡCF=

∠ACP,

∴∠ECＦ＝∠ACＥ+∠ＡＣF＝

（∠AＣB+∠ACP）＝

×

1８０°

=９0°

∴四边形ＡECF是矩形．

10．

（1）∵BＣ=2AD，点E是BＣ的中点，

∴EC=ＡD．

∵AD∥BＣ，

∴∠ADO＝∠ＣEO,∠DAO=∠ＥCO.

在△AOD和△COE中

∴△ＡＯD≌△COE（ＡＳA）;

（2）∵AＤ=BE,AD∥BE，

∴四边形ABED是平行四边形;

同理可得：

四边形ＡＥＣD是平行四边形．

∴∠ADO=∠B.

∵∠Ｂ=

∠ＡOE，

∴∠AＯE=２∠B．

∴∠ＡOE＝2∠ＡDO．

∵∠AOE=∠ADO＋∠DAO,

∴∠OＡD=∠ODA.

∴ＯA=OD．

∴AC=ＤＥ.

∴四边形ＡECD是矩形.

11.：

∵△ABＤ和△FBＣ都是等边三角形,

∴∠DBF＋∠FＢA=∠ABC+∠ABF=60°

∴∠DBＦ=∠ＡBC.

又∵BD=BA，BＦ=ＢC,

∴△ABＣ≌△DBF,

∴AC=DF＝ＡＥ,

同理可证△ABC≌△EFＣ,

∴AB=ＥF＝AD,

∴四边形DAFEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

∵∠BＡＣ=1５０°

∴∠DＡE=150°

﹣∠DＡB﹣∠EＡC=90°

∴四边形AEFＤ为矩形．

1２.1）解：

∵ABC中ＡB=BC,∠ABC=90°

BD⊥ＡC，

∴∠A=∠C=４５°

CD=AD，

∴BD=ＣD=ＡＤ,BD平分∠ＡＢC，

∴∠ＥBＤ=4５°

=∠C,

∵BD⊥AC,DE⊥ＤＦ，

∴∠BDC=∠ＥＤF=90°

∴∠BDC﹣∠BDF＝∠EＤF﹣∠BDＦ,

∴∠EＤB＝∠FＤC,

∵在△EDB和△ＦDC中

∴△EDB≌△FDC（ASＡ）,

∴ＦC＝ＤE=3，

同理△AED≌△BFD，

∴DF=AE=４，

在Rt△EDF中，由勾股定理得:

EF=

=5;

（2）①证明：

∵四边形AＢCD是平行四边形，

∴AB∥CD,AＢ＝CD，

∵ＣＤ=CE，

∴ＡＢ∥CＥ,ＡB=CE，

∴四边形ＡBEC是平行四边形，

∴AＦ=FＥ，BF＝ＦＣ,

∵在△AＢF和△EＣF中

∴△ABＦ≌△ＥCF（ＳSS）;

②证明:

∵四边形ABＣD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D,

∵∠AFC＝2∠Ｄ,

∴∠ＡFＣ=２∠ABC，

∵∠AFC=∠ABC＋∠ＦAＢ,

∵∠ABC=∠FＡB,

∴ＡF＝ＦB,

∵四边形ABＣＤ是平行四边形，

∴AE=2ＡF,BC＝２BF，

∴ＡＥ=ＢC,

∵四边形ABEＣ是平行四边形,

∴四边形ABEC是矩形.

13.

（1）∵AE∥BC，ＢＥ∥AＤ,

∴四边形ADＢE是平行四边形,

∴AE=BＤ，

∵AD是△ＡBC的中线,

∴BD=ＣD,

∴AＥ=ＣＤ．

（2）当ＡＢ=AC时，四边形AＤBE是矩形，理由是:

∵AB＝AC，ＢＤ＝ＣD，

∴ＡＤ⊥BC，即∠ADB=90°

又∵四边形ＡDＢE是平行四边形，

∴四边形ＡDＢE是矩形

14．1）证明:

如图,连接EF.

∵四边形ABCD是梯形，AＤ∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，

∴

EＦ∥ＡD∥BC.

∵

∴ＥＦ=CG.

∴四边形EGCF是平行四边形．

∴EG=FC且EG∥FＣ.

∵F是CD的中点,

∴ＦＣ=DＦ.

∴ＥＧ＝DF且EG∥DF.

∴四边形DEＧF是平行四边形.

连接EＦ，将EF与DG的交点记为点O．

∵∠ＡDG=2∠ＡDE,

∴∠ADE=∠EDＧ．

∵EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DＥO．

∴∠EDG=∠ＤEO.

∴ＥO＝ＤO.

∵四边形DEGF是平行四边形，

.

∴EF＝DG，

∴平行四边形ＤEGＦ是矩形.即四边形DEGF是矩形.

15．∵点D是AC的中点,

∴DA=DC，

∵AE∥BC,

∴∠AEＤ=∠CFD,

在△ADE和△CDＦ中,

∴△ADＥ≌△CDＦ（AAS），

∴AE=CF，

又∵AE∥ＢＣ,

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE∥BC,EF∥AB,

∴四边形ＡBFＥ是平行四边形,

∴AB=EＦ，

∵AB＝ＡＣ,

∴ＡＣ=EF,

∴四边形AECF是矩形．

１6.∵D、E、F分别是AC、ＡB、BＣ的中点，

∴DE∥BC，且DＥ＝

BC,ＤF=

AB,CF＝

BC，

∴DＥ＝CF,

∴四边形CFED平行四边形，

又∵CE＝

AB,

∴ＣＥ=ＤF,

∴平行四边形CFED是矩形,

故四边形CFＥD是矩形．

17.

（1）证明：

∴ＡＤ∥BC，

∴△AＥO∽△CFＯ，

＝

∵OＡ＝CＯ,

∴OＥ=OF，

∴四边形AECＦ是平行四边形；

（2）证明:

∵四边形AECF是平行四边形，

又∵ＥＦ⊥ＡC,

∴平行四边形AEＣF是菱形;

（3）解：

当EF=AＣ时,四边形AEＣF是矩形,

理由是：

由

（1）知:

四边形AEＣF是平行四边形，

∵AC=EＦ，

∴平行四边形AEＣF是矩形

1８.

（1）∵DE⊥AC,DF⊥ＡB，

∴∠AFD=∠ＡＥD＝∠A＝90°

∴四边形AＥDＦ是矩形；

（2）当D时BＣ的中点时,四边形ＡEDF是正方形；

JU

理由：

∵D是BC的中点，

∴BＤ＝DＣ

∵AB=AＣ

∴∠B=∠Ｃ

又∵DF⊥ＡB,DE⊥ＡＣ,

∴∠BDF＝∠ＤＥＣ

∴△ＢFD≌△ＤCE,

∴DF＝ＤE,

∴矩形AＥDF是正方形．

19．

（1）∵CE平分∠ＡCB，CＦ平分∠ACＧ，

∴∠ACE=∠ECB,∠ＡCF=∠FCG,

又∵MN∥BG,

∴∠DＥC=∠EＣＢ，∠DＦC=∠ＦCG，

∴∠DEＣ=∠ＤＣE，∠DFC=∠DＣF,

∴DE=ＤＣ，DF＝DC，

∴DＥ＝ＤF.

（２）∵D为AＣ的中点,

∴ＡD=DC，

又DE=DF,

∴四边形AＥＣＦ为平行四边形，

∵∠ＡCE＝∠ＥCB,∠ＡCF=∠FＣG,

∴∠ECF=９０°

∴平行四边形ＡECF为矩形

20．∵BE∥AC，CＥ∥DB，

∴四边形OBEC是平行四边形，

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AＣ⊥BＤ，

∴∠AOＢ=90°

∴平行四边形OＢEC是矩形

21.

（1）解:

ＯE=OE,

∵直线l∥BＣ，

∴∠ＯEC=∠ECB，

∵CE平分∠ACB,

∴∠OCE＝∠BCE,

∴∠OEC＝∠ＯCE,

∴ＯE=OＣ，

同理ＯF=ＯC,

∴OE=OF．

（2）解：

O在AC的中点上时,四边形ＡECＦ是矩形,

∵OA=ＯＣ，OE=OＦ，

∵OE=OF=OC＝OＡ，

∴AC=ＥF,

22.

（1）证明：

∵AF∥BC，

∴∠ＡFE＝∠DCＥ（1分）

∵E是ＡD的中点,

∴AE＝DE.（2分）

∵∠ＡＥＦ=∠ＤEＣ，

∴△AEF≌△DEC．（３分）

∴AＦ=DC，

∵ＡF=BＤ

∴D是ＢC的中点；

（4分）

（2）四边形ＡFBD是矩形，（5分）

证明：

∵ＡＢ＝AC,D是BＣ的中点,

∴AＤ⊥BC，

∴∠ADＢ=９0°

（６分）

∵AF＝BD，AF∥ＢＣ,

∴四边形AFＢＤ是平行四边形,（7分）

∴四边形AFBD是矩形.

２3．∵∠OBC＝∠OCB，

∴OB=OC,

∵四边形AＢCD是平行四边形,

∴OＣ=OA=

ＡC,OB=OＤ=

BD，

∴AC=ＢD，

∴四边形AＢＣD是矩形,

即四边形ＡBＣＤ是矩形

24．∵ABＣD为平行四边形,

∴ＡD平行且等于BC，

又∵Ｍ为AD的中点，N为BＣ的中点，

∴MD平行且等于BN，

∴ＢNDM为平行四边形,

∴BM∥ND，

同理AN∥MC，

∴四边形PMＱＮ为平行四边形，（5分）

连接MN,

∵ＡＭ平行且等于BN，

∴四边形ABNM为平行四边形,

又∵ＡD=２AB，M为AD中点，

∴ＢN＝AB，

∴四边形AＢNM为菱形，

∴AN⊥BＭ,

∴平行四边形PＭQN为矩形.（10分）

25.∵四边形AＢCD为平行四边形,

∴OA=ＯＣ,AE∥FC,

∴∠EAO=∠FCO,

在△AOＥ和△COF中,

∴△AOＥ≌△COＦ，

∴AＥ＝ＣF，

∴四边形AECF为平行四边形,

又∵AF⊥BC，

∴∠ＡＦＣ＝９0°

则四边形ＡECF为矩形．

26．

（1）证明：

∵AF∥BE，

∴∠AFD=∠CEＤ，∠FＡＤ=∠DCＥ，

∵Ｄ是AC的中点，

∴ＡD＝DC，

在△ＦＡD和△ECD中

∴△ＦAD≌△ECD（AAS）,

∴AＦ=CE;

（２）证明：

∵△FAＤ≌△ＥCD，

∴ＦD=DE,

∵AＤ=ＤC，

∴四边形AＦCE是平行四边形,

∵ＡC＝ＥＦ，

∴平行四边形AＦCE是矩形

2７．

（1）证明：

∵E是AC的中点,

∴EＣ=

AC,

∵DB＝

∴DB=EC,

又∵DＢ∥AC,

∴四边形BCEＤ是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴BＣ＝ＤE;

（２）解：

△ABC满足AB=BＣ时，四边形DＢEA是矩形．

理由如下：

∵Ｅ是AC的中点,

∴ＡＥ=

AC，

∴ＤB=AＥ,

又∵DB∥AＣ，

∴四边形DＢＥA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,

∵AＢ＝ＢC，E为AＣ中点,

∴∠AEB=９０°

∴平行四边形ＤBEA是矩形,

即△ABC满足AB=BC时，四边形DBEＡ是矩形.

2８．是矩形．（1分）

理由:

∵DE∥AC，ＣE∥BD，

∴四边形OＣED是平行四边形，

又∵四边形ABＣD是菱形，

∴ＡＣ⊥BD,

∴DE⊥CE，

∴∠Ｅ=90°

∴平行四边形OCED是矩形

2９.∵BＣ是等腰△BEＤ底边ED上的高，

∴EC＝CD,

∵四边形ABＥＣ是平行四边形，

∴AＢ∥CD，AB＝CＥ=CD,AC=BE，

∴四边形ABCD是平行四边形.

∵AC=BE，BE=BＤ，

∴ＡC=BＤ，

∴四边形ABCD是矩形

３0.在△ABD和△AＣＥ中,

∵ＡB＝AC，AＤ＝AE,∠BAD=∠CAE,

∴△ABD≌△AＣE（ＳAＳ）

∴ＢD＝CE又ＤE＝ＢC．

∴四边形BCＥD为平行四边形．在△ACD和△AＢE中,

∵AC＝AＢ,AＤ＝AE,∠CＡＤ=∠CAＢ+∠BAD=∠CＡB+∠CAE=∠BAＥ，

∴△ADC≌△ＡＥＢ（ＳAS），∴CＤ=BＥ.

∴四边形ＢCＥD为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）