量子力学试题B答案.doc
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试题编号：
重庆邮电大学2008-2009学年第二学期
量子力学试卷（期末）（B卷）（闭卷）
题号
一
二
2.1
2.2
2.3
2.4
总分
得分
评卷人
一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、A,B两束光，A的波长，B的波长，请问哪束光的能量更高？
A.
2、微观粒子的波函数应满足的三个标准条件是单值性，连续性，有限性.
3、一粒子的波函数，请问该粒子是否处在动量的本征态？
否.
4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？
减小..
5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？
对易.
6、对易关系，，.
7、已知,则.
8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？
是.
9、已知泡利算符分量，sx,sy的矩阵表达式
分别为，.
10、写出氧原子（原子序数）的电子排布:
.
二、解答题（本大题共6小题，共70分）
1、（10分）一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：
一位无限深势阱中，定态薛定谔方程
（1）（2分）
在阱外，,，若波函数,由
（1）式得,这是没有意义的。
因此,在阱外必有。
（2分）
在阱内,,令,由
（1）式得
.
（2）
上式的通解是,（3）
是两个待定常数.由于在边界处连续,有且
.
由于,否则只能有零解,故,.将粒子波函数代入归一化条件,积分得,所以,归一化波函数为
.（4）（5分）
粒子能量为.（5）（3分）
2、（10分）粒子状态处于一维谐振子的基态试求平均值和动量的几率分布函数。
（利用积分公式：
）
解：
平均值为
（4分）
因为动量的本征函数为，所以
（4分）
动量几率分布函数为
（2分）
3、（20分）有二个物理量，它们的矩阵表示为：
（1）如果测量，得到的可能的值是什么？
解：
的久期方程为
∴的本征值为（3分）
（2）求的本征函数。
解：
的本征方程
（1分）
其中设为的本征函数。
当时，有
由归一化条件
，所以
∴（2分）
当时，有
由归一化条件
，所以
∴（2分）
当时，有
由归一化条件
，所以
∴（2分）
（3）求的本征值。
解：
的久期方程为
∴的本征值为（3分）
（4）求的本征函数。
解：
的本征方程
其中设的本征函数.（1分）
当时，有
∴
由归一化条件
.取
（2分）
当时，有
∴
由归一化条件
.取
∴。
（2分）
当时，有
∴
由归一化条件.取
∴。
4、（10分）设一体系未受微扰作用时有三个能级：
，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。
解：
因为，由微扰论公式（2分）
可得
（4分）
（4分）
5、（10分）证明轨道角动量满足.（其中）
证明：
6、（10分）简述量子力学的基本假设。
答：
（1）微观体系的状态用波函数完全描述。
（2分）
（2）体系的状态波函数满足薛定鄂方程：
.（2分）
（3）力学量与力学量算符关系的假设：
力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，当体系处于波函数时，可用某力学量算符的本征函数展开，，测量力学量所得的数值必是算符的本征值之一，测得的几率为.（4分）
（4）全同性原理：
在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态.（2分）
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