精品时间序列分析股票价格分析Word文档下载推荐.docx

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笔者以下分析ARIMA模型，然后对它们的可行性进行实证分析。

二．模型简介

通常,在某些季节性时间序列中不仅含有季节性成分,还有非季节性成分.若单一用季节性或非季节性ARIMA模型进行拟合和预测,本文采用ARIMA（p,d,q）模型

（1）ARIMA模型三种基本形式：

自返回模型（AR：

Auto-regressive），移动平均模型（MA：

Moving-Average）和混合模型（ARMA：

Auto-regressiveMoving-Average）。

①自返回模型（AR）

由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。

最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。

用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自返回模型：

Xt=φXt-1+εt

常记作AR

（1）。

其中｛Xt｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为Xt对Xt－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。

如果Xt与过去时期直到Xt-p的取值相关，则需要使用包含Xt－1，……Xt-p在内的p阶自返回模型来加以刻画。

P阶自返回模型的一般形式为：

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+…+φpXt－p+εt

为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。

设B为滞后算子，即BXt=Xt-1,则B（Bk-1Xt）=BkXt=Xt-kB（C）=C（C为常数）。

利用这些记号，上式可化为：

Xt=φ1BXt+φ2B2Xt+φ3B3Xt+……+φpBpXt+εt

从而有：

（1-φ1B-φ2B2-……-φpBp）Xt=εt

记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φpBP）,则模型可以表示成

φ（B）Xt=εt

例如，二阶自返回模型Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）Xt=εt

②滑动平均模型（MA）

有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即

Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q

此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA（q），其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。

相应的序列Xt称为滑动平均序列。

使用滞后算子记号，（

Xt=（1-θ1B-θ2B2-……-θqBq）qt=θ（B）εt

③自返回滑动平均模型

如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自返回滑动平均模型，其一般结构为：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+……+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q

简记为ARMA（p,q）。

利用滞后算子，此模型可写为

φ（B）Xt=θ（B）εt

（2）时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性

首先介绍两个概念。

序列的传递形式：

设｛Yt｝为随机序列，｛εt｝为白噪声，若｛Yt｝可表示为：

Yt=εt+G1εt-1+G2εt-2+……+Gkεt-k+……=G（B）εt

且，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Yt｝是平稳的。

系｛Gk｝称为格林函数。

它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。

序列的逆转形式：

若｛Yt｝可表示为：

εt=Yt-π1Yt-1-π2Yt-2-……-πkYt-k-……=π（B）Yt

且，则称｛Yt｝具有逆转形式（或可逆形式）。

1MA模型

ⅰ.MA模型本身就是传递形式。

ⅱ.MA（q）总是平稳的（由上一章的例），MA（∞）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。

ⅲ.MA（q）模型的可逆性条件。

先以MA

（1）（Yt=εt-θ1εt-1）为例进行分析。

MA

（1）的可逆性条件为：

。

如果引入滞后算子表示MA

（1），则Yt=（1-θ1B）εt，可逆条件

等价于θ（B）=1-θ1B=0的根全在单位圆外。

对于一般的MA（q）模型，利用滞后算子表示有：

Yt=（1-θ1B-θ2B2-……-θqBq）εt=θ（B）εt

其可逆的充要条件是：

θ（B）=0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins，P79）。

在可逆的情况下，服从MA（q）模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：

θ-1（B）Yt=εt

MA（q）的可逆域：

使θ（B）=0的根全在单位圆之外的系数向量（θ1，θ2，……，θq）所形成的集合。

例：

求MA

（2）的可逆域。

解：

由

，其特征方程为：

该方程的两个根为：

由二次方程根与系数的关系，有

当MA

（2）平稳时，根的模

都必须大于1，因此必有：

由根与系数的关系，可以推出如下式子：

由于

是实数，

必同为实数或共轭复数。

又因为

，因此

故

反之，如果

，且

那么从

可以推出至少有一个

，例如，假设

，则根据

可推出

，由

可以推出

，从而

因此，

的根在单位圆之外。

（平稳域为一三角形）。

2AR模型

ⅰ.AR（P）模型本身就是一种逆转形式。

平稳性。

ⅱ.先以AR

（1）（Yt=

1Yt-1+εt）,进行分析。

AR

（1）平稳的条件为

，它等价于

（B）=1-

1B=0的根在单位圆外。

ⅲ.在平稳的情况下，AR

（1）有传递形式：

（1-

1B）Yt=εt

一般地，对于AR（P）模型：

（B）Yt=εt，序列｛Yt｝平稳的充要条件是：

（B）=0的根全在单位圆外。

此时，Yt有传递形式：

Yt=

-1（B）εt

AR（P）的平稳域：

使

（B）=0的根全在单位圆外的AR系数向量（

1，

2，……，

p，）的全体形成的集合。

练习：

求AR

（1）与AR

（2）的平稳域。

③ARMA（p,q）模型

ⅰ.平稳性与传递形式

首先考察ARMA（1，1）的平稳性:

Yt–φ1Yt-1=εt–θ1εt-1

Yt平稳︱φ1︱＜1（与AR

（1）的平稳域相同）

此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。

而且平稳条件与AR

（1）的平稳条件相同。

在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。

一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt平稳的充要条件是：

φ（B）=0的根全在单位圆外。

在平稳的条件下，Yt有传递形式Yt=φ-1（B）θ（B）εt

ⅱ.可逆性

对于ARMA（1,1），假定可逆形式为

εt=π（B）Yt=（1–π1B–π2B2–…–πkBk–…）Yt

代入ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得

εt=Yt–（φ1–θ1）Yt-1–θ1（φ1–θ1）Yt-2–…–θ1k-1（φ1–θ1）Yt-k–…

根据前面的定义（可逆性定义），应有︱φ1︱＜1。

因此，ARMA（1,1）可逆的条件是︱φ1︱＜1，它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。

而且可逆条件与MA

（1）的可逆条件相同。

一般地，服从ARMA（p,q）模型的序列Yt，其具有可逆性的条件是：

θ（B）=0的根全在单位圆外。

在可逆的条件下，Yt的逆转形式为

εt=θ-1（B）φ（B）Yt

（3）ARIMA（p，q）模型简介

　　若有平稳零均值随机序列｛Xt｝及白噪声序列｛αt｝［2］，满足　

Xt－φ1Xt－1－…－φpXt－p＝αt－θ1αt－1－…－θqαt－q　

（1）

引入后移算子B，记

Φ（B）＝1－φ1B－φ2B2－…－φpBp　Θ（B）＝1－θ1B－θ2B2－…－θqBq则式

（1）又可写为　　

XtΦ（B）＝αtΘ（B）

（2）

　　若Φ（B）＝0与Θ（B）＝0的根都在单位圆外，则上面的模型即为ARMA模型［2］。

它是时间序列法的一般形式，可视为一个单入单出的线性系统。

当将ARMA模型用于预报时，｛αt｝就是残差序列。

　　作为ARIMA的特例，当q＝0时称为AR（p）（p阶自回归）模型，其特点为：

偏自相关函数具有截尾性，自相关函数具有拖尾性；

当p＝0时称为MA（q）（q阶滑动平均）模型，其自相关函数具有截尾性，偏相关函数具有拖尾性；

对非平稳序列作d阶差分后再拟合ARIMA模型则称为ARIMA（p，d，q）模型。

三、时间序列的相关分析

（1）、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。

利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。

1、时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。

使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则：

若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性；

若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。

2、判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。

运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：

若时间序列的自相关函数

在k>

3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；

若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。

3、ARMA模型的自相关分析

AR（p）模型的偏自相关函数

是以p步截尾的，自相关函数拖尾。

MA（q）模型的自相关函数具有q步截尾性，偏自相关函数拖尾。

这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。

ARMA（p,q）模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。

（2）、ARIMA（p,q）的自相关函数

设ARIMA（p,q）的形式为：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt–θ1εt-1–…–θqεt-q

则Yt的s阶自协方差函数为：

γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p+E（Ytεt+S）–θ1E（Ytεt+S-1）–…–θqE（Ytεt+S-q）

当0≤s≤q时，εt+S，εt+S-1，…，εt+S-q中有一部分位于t时刻以前（t+s-i≤ts-i≤0），Yt与这一部分外部冲击有关，从而γs除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。

当s＞q时，s-q＞0，t+s-q＞t，从而εt+S，εt+S-1，…，εt+S-q全在t时刻以后，由于Yt与未来的外部冲击不相关，因此γs中后面的项全为零。

γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p

它只同自回归系数有关。

两边同除γ0，得ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p（s＞q）

即ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在s＞q时，与AR（p）的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。

借用前面关于AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。

（3）偏自相关函数

从前面的自相关函数的讨论中可看出，自相关函数的截尾性是MA（q）的独有特征，但自相关函数的拖尾性却是AR（p）与ARMA（p,q）共有的特征，尽管ARMA（p,q）的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减，但这还不足于区别AR（p）与ARMA（p,q），因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。

因此，还需寻找序列的其他统计特征。

这就是偏自相关函数的特征。

设｛Yt｝是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。

为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下：

设｛Yt｝是一零均值平稳序列，我们设想用Yt-1，Yt-2，…，Yt-s的s阶自回归模型去拟和Yt，即建立如下模型：

Yt=φs1Yt-1+φs2Yt-2+…+φssYt-s+et

其中et为误差项。

估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择φs1，φs2，…，φss使模型的残差方差Q=E（Yt-

φSjYt-j）2=Eet2达到最小。

根据极值条件应有：

Q∕

φSj=0（j=1，2，…，s）

据此，可推出φs1，φs2，…，φss所满足的方程为

其中ρk（k=1，…，s）为Yt的k阶自相关系数。

此方程组称为Yule-Walker方程。

可以证明，φSS是在给定Yt-1，Yt-2，…，Yt-s+1的条件，Yt和Yt-s之间的条件相关系数，即偏相关系数。

｛φSS｝就为｛Yt｝的偏相关函数。

要考察｛Yt｝服从自回归过程的情况下，偏自相关函数的特征，就需要由Yule-Walker方程解出φSS的表达式，然后进行分析。

由于求解过程比较复杂。

在此我们通过另外一条途径考察φss的特性。

假定｛Yt｝的真实过程为AR（p）（p阶自回归），我们用s阶自回归过程去逼近，则模型的残差方差为

Q=E[（Yt-

φSjYt-j）2]

=E[（

（φj-φSj）Yt-j+εt-

（φj-φSj）Yt-j-

φSjYt-j）2]+σ2

≥σ2

则当且仅当

φSj1≤j≤p

φSj=

0p<

j≤s

时，Q达到最小值。

上式表明，当s＞p时，φSS=0，即φpp=φp是AR（p）模型偏自相关函数｛φSS，s＞1｝中不为零的最后一项。

这种偏自相关p步截尾是AR（p）的典型特征。

四　基于SPSS系统的实证分析

1　数据分析

下面以2006年11月-2006年12月期间，中国石化股票每日收盘价价格为原始数据（来源于大智慧证券信息港）进行分析。

将中国石化股票2006年两个月（2006年11月-2006年12月）中30天的收盘价价格数据做时间序列图如

图1.

（图1）

　　从图1中可以看到中国石化股票价格具有如下基本趋势:

第一、随着时间的增长和经济水平的提高和国际形势的变化,中国石化股票价格有波动现象,但总体呈现不断增长的趋势.

第二、在该序列中,表现出10月份价格走势持平，在11月中旬价格突增，之后进另一个持平状态。

从而认为该序列是非平稳的,对其进行一阶差分后,

资料图如图2.

（图2）

从图2可以看出增长趋势不明显,周期性也明显被消除掉.因此,可以认为经一阶差分后,新序列是比较平稳的.但是均值线不在零点,也即新序列是非零均值的.从而,需将其零均值化.

但本文运用SPSS系统,将其均值作为参数来估计

2　模型的识别与定阶

作新平稳序列的自相关函数图（图3）、偏自相关函数图（图4）.

（图3）

（图4）

　　我们采用最佳准则函数定阶法中的Akaike最小信息准则（AIC:

AkaikeInformaitionCriterion）对模型的阶数进行判定.

当取（p,d,q）=（1,1,0）时得到：

AIC-2.0099762

SBC.

BSEBT-RATIOAPPROX.PROB.

AR1-.02912807.-.1514231.

CONSTANT.04974251.040783711.2196661.

当取（p,d,q）=（0,1,1）时：

AIC-2.007925

MA1.02662298..1383353.

CONSTANT.04972991.040854441.2172460.

当取（p,d,q）=（1,1,1）时：

AIC-.1374548

SBC3.9644327

AR1-..-1.7927781.08465182

MA1-..-2.0742461.04809590

CONSTANT.04870359.043635251.1161525.

经比较,在收敛标准为（最大值:

10;

参数变化:

0.001%;

平方和变化:

0.001%）的情况下,取（p,d,q）=（1,1,0）时,AIC值达到最小,为

SBC0.

BSEBT-RATIOAPPROX.PROB.

AR1-.029128070.-.1514231.

CONSTANT0.049742510.040783711.2196661.

因此，我们得到p=1,d=1,q=0.得到ARIMA（1，1，0）模型为：

（1-

1B）Xt=at+C

其中：

1=-0.0291C=0.0497B：

后移算子at:

残差

Xt：

中国石化股票价格收盘价格序列

3　预测

我们利用上述模型对2006年12月中国石化股票价格.以2006年11月份为原点向作预测.预测值序列图如图5.

实际值10.02

预测值9.49

相对误差5.5%

实际值9.93

预测值10.13

相对误差2.0%

实际值10.18

预测值10.44

相对误差2.5%

实际值11.20

预测值10.75

相对误差4.1%

实际值11.01

预测值11.22

相对误差1.9%

（图5）

由图5可见,2007年1月预测相对误差均在10%以内.因此,可以说模型的效果是不错的.

五．结　论

ARIMA模型具有更加广泛的适用范围;

在现实的经济生活中具有明显趋势的情况非常普遍,因此模型是对这类数据进行分析、预测的较好选择.本文基于SPSS系统所建立的ARIMA（1,1,0）较好地反映了中国石化股票价格的发展规律,对中国石化股票价格开发具有极大的参考价值;

更主要的是本文给出了如何基于SPSS系统建立模型的方法,利用该方法可以对现实生活中具有明显趋势和的经济数据进行建模,研究其内在规律,更好地把握其未来的发展趋势.

结束语

时间序列分析是概率统计学科中应用性较强的一个分支，在金融经济，信号处理等众多领域中有着广泛的应用。

本文是通过SPSS系统建立ARIMA模型简单的对一个非季节性的问题进行预测。

还可以通过其他的回归分析与相关分析法，因果关系法，趋势分析与简单季节分析法等等方法进行分析，讨论。

六．参考文献:

[1].何书元.应用时间序列分析[M].北京大学出版社,2003,9,1

[2].潘红宇.时间序列分析[M]对外经济贸易大学出版社,2006,1

[3].薛薇.SPSS统计分析方法及应用[M]电子工业出版社2004,9

[4].林国顺.北京地铁客流预报与模拟[J]数理统计与管理,1990,（02）

[5].田永强.谈谈AR模型在短期经济预测中的应用[J]数理统计与管理,1988，（05）

[6].纽平南.城市工业用水量预测[J]数理统计与管理,1988,（03）

[7].陈玉祥.预测技术与应用[M]机械工业出版社2004,9

[8].李少远.基于时间序列分析方法的预测模型研究[J]河北工业学院院报,1995，（03）

[9]

七．致谢

在本文的写作过程中，得到了邢国东老师的多方面指导，特别是在通过SPSS系统建立模型的，以及ARIMA模型的一些性质上，得到了邢老师的仔细，耐心指导，才能使笔者能顺利完成论文的写作。

附