742超几何分布Word格式文档下载.docx
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4235
C.-D.-
4221
5.（多选）一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的口球，编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是（）
A.X表示取出球的最大号码
B.Y表示取出球的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个口球记1分,Z表示取出的4个球的总得分
D.T表示取出的黑球个数
6.（2019辽宁抚顺高三一模）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数，请写出随机变量X的分布列.（结果用分数表示）
X012
P
7.箱中装有4个口球和m个黑球.规定取出一个口球得2分，取出一个黑球得1分,现从箱中任取3个球,假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的
3个球所得分之和.
⑴若P（X=6）W，求m的值；
⑵当m二3时，求X的分布列.
8.厂家在产品出厂前需对产品进行检验,厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验，以决定是否接收这批产品.
（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7,从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格,按合同规定商家从这20件产品中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率.
组二超几何分布的期望与方差
9.（2020四川宜宾高三二模）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分,放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照
［0,20］,（20,40］,（40,60］,（60,80］,（80,100］分组,绘成如下频率分布直方图.
（1）分别求出所抽取的20人中得分落在［0,20］和（20,40］内的人数；
（2）从所抽取的20人中得分落在［0,40］内的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.
10.（2020北京海淀育英中学高三月考）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100名顾客，统计结果整理如下：
年龄（岁）20以下［20,30）
[30,40）
[40,50）
[50,60）
[60,70]
70以上
使用人数3
12
17
6
4
2
未使用人数0
3
14
36
（1）现从中随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在［30,50）内且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在［50,70］内使用自由购的顾客中随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在［50,60）内的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某H该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
11.（2020湖南衡阳八中高三下月考）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人;
文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人，从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生,而且这两个男生中文、理科生都有”，求事件A发生的概率；
（2）用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列及方差.
能力提升练
题组一超几何分布的应用
1.（2020河南名校联盟高三调研,#：
）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用
A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从木市n个人数超过1000的大集团和8个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，已知一次抽取2个集团，全是小集团的概率为右
⑴求n的值；
（2）若抽取的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；
（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X,求X的分布列和期望.
2.（2019山东日照高二下期中微信是现代生活信息交流的重要工具，随机对使用微信的100人进行统计,得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信依赖”，不超过两小时的人被定义为“非微信依赖”，己知
“非微信依赖”与“微信依赖”人数比恰为3：
2.
使用微信
时间（单
（0,0.5]
（0.5,1]
（1,1.5]
（1.5,2]
（2,2.5]
（2.5,3]
合计
位:
小时）
频数
5
15
X
30
y
100
频率
0.05
0.15
P
0.30
q
1.00
⑴确定X,y,p,q的值;
（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信依赖”和“非微信依赖”的100人中用分层随机抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信依赖”的人数为X,求X的分布列；
（3）求
（2）中选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率.
组二超几何分布与二项分布的综合应用
3.（2019山西太原第五中学高二月考,#：
）某高校通过自主招生方式在A市招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：
甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题回答.己知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率为£
甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不影响的.
（1）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.
4.（2020辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才学校等高三上期末联考,*）某种水果按照果径大小可分为四类:
标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级标准果优质果精品果礼品果
个数10304020
⑴若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率；
（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1：
不分类卖出，售价为20元/血，
方案2:
分类卖出，分类后的水果售价如下，
售价（元
16182224
/kg）
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望.
答案全解全析
1.D由超几何分布的概率公式可知,所求概率为辱•故选D.
L100
2.C由题意得,P（X=2）二洋，
C30
P（Y二2）芈埜
所以P（X=2）+P（Y二2）二鱼鱼弊2鱼.
屈。
故选C.
3.C对于选项A,其概率为芽弓.对于选项B,其概率为等三.对于选项C,其概率
L102L106
为竽二洛•对于选项D,其包括没有坏的，有1个是坏的，有2个是坏的三种情况，根L1010
据A选项,恰好有1个是坏的概率为△三，故D选项不正确.故选C.
210
4.A由题意知有两种情况:
0个正品、4个次品，1个正品、3个次品，
由超几何分布的概率可知，取出0个正品、4个次品的概率为*去，
5o210
取出1个正品、3个次品的概率为醤二卷咲，
所以所求概率为圭+諾.
故选A.
5.CD根据超几何分布的概念可知，选项C、D正确.
6.答案
1
10
21
解析X的可能取值为0,1,2,
当X=0时,表示没有抽到女生；
当X=1时，表示抽到1名女生；
当X=2时，表示抽到2
名女生,
•••P（X=O）=
C乡21"
P（X=1）二
Cg_10
~C^~21
P（X=2）=
7.解析
（1）由题意得，只有当取出的3个球都是口球时，随机变量X=6,.•・P（X=6）二即C斋+4=1°
，所以m二1.
Lm+45
（2）由题意得，当m=3时,X的可能取值为3,4,5,6.
P（X=3）
c=i
P（X=4）=
的_12
cf35
P（X=5）二
C|C|_18
c|35
P（X=6）二
耸_4C|35
•••X的分布列为
112184
35353535
8解析
（1）“从中任意取出3件进行检验,至少有2件是合格品”记为事件A,其中包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”两个基本事件,AP（A）=CjXO.72X0.3+0.7=0.784.
（2）X的可能取值为0,1,2,
^20
9S
•••x的分布列为
32
95
•・•只有2件都合格时才接收这批产品，
・•・商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格,记“商家拒收
这批产品”为事件B,
则P（B）=1-P（X=O）=T；
・•・商家拒收这批产品的概率为工.
19
9.解析
（1）由题图知，所抽取的20人中得分落在［0,20］内的人数有0.005
0X20X20=2,得分落在（20,40］内的人数有0.0075X20X20=3.
（2）由题意可知,X的可能取值为0,1,2,
所以X的分布列为
所以E（X）=0X—+1X-+2X^=-・
10S10s
10.解析
（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在［30,50）内且未使用自由购的共
有3+14=17人，
所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在［30,50）内且未使用自由购的概率
（2）X的可能取值为1,2,3,
C农.
JL
C：
cJcL
.3
CjC匕
•
P（X=1）
P（X=2）
P（X=3）
123
131
555
所以E（X）=lxi+2X-+3Xi=2.
（3）在随机抽取的100名顾客中使用自由购的顾客共有3+12+17+6+4+2二44人，所以估计该超市当天至少应准备环保购物袋的个数为益X5000=2200.
11.解析⑴由题意可得，抽取了理科男生4人,女生2人，文科男生1人,女生3
人.
所以P（A）二
C；
o21021
（2）X的可能取值为0,1,2,3,
P（X=0）竺丄
o
6,
工c：
cto
2,
3喙
3
Clo
0123
1131
621030
所WE（X）=OX1+1X1+2X±
+3X±
=|,
所以D（X）彳0列2一才x令（3W）■尹
3025"
1.解析
（1）由题意知共有（n+8）个集团，抽取2个集团的方法总数是耸+8,其中全是小集团的情况有必种，故全是小集团的概率是暑乙*怎冷整理得（n+7）（n+8）=210,即『+15n-154二0,解得n=7（n=-22舍去）.
（2）若抽取的2个集团全是大集团，则共有C午21种情况;
若抽取的2个集团全是小
集团,则共有C斜28种情况,
故所求概率为磊4
（3）由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P（XP豐专
PE詈鈴
_C擬_28
CK65’
P（X=4）二
c|c?
39
故X的分布列为
23
8
2856
65195
所以E（X）=OX-+1X-+2X聲+3X芈+4X三竺.
3939651953915
2.解析
（1）由题可知“非微信依赖”人数为100XMo,则“微信依赖”人数为
40,
故可得x=60-（5+15+15）=25,则P二着0.25;
y二40-30二10,则q斗沪0.10.
（2）根据题意，10人中“非微信依赖”人数为60X^6,“微信依赖”人数为
40X-M・
则X的可能取值为0,1,2,3,
P（X-2）-y-\P（X-3）^
o10C：
30'
To
（3）由题可知选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为P（X^2）,
由⑵中分布列可得P（XN2）氓+H.
丄UO\JO
故选取的3人中“微信依赖”至少2人的概率为？
3•解析
（1）由题意得甲.乙两名学生共答对2个问题的概率
P^xcix|xg）2^xcoxg）°
x
（2）设学生甲答对的题数为X,则X的可能取值为1,2,3,
P（X=l）电|琴,P（X=2）二詈气P（X=3）二詈迢
-10*1
则E（X）=1X-+2X-+3X~2,
OOO
D（X）=（l-2）2xl+（2-2）2X-+（3-2）2Xi=-.
5555
设学生乙答对题数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3,
由题意知Y~B（3,,则E（Y）=3X|=2,D（Y）=3x|x扌二|,
\/OOOO
・・・E（X）=E（Y）,D（X）<
D（Y）,
•••甲被录取的可能性更大・
4.解析
（1）设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则
P（A）二
20
100S
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z〜B（4,・・・恰好抽到2个礼品果的概率P（Z=2）=C2（I）2（9語
（2）设方案2中水果的售价为Y,则
E（Y）=16X—+18X—+22X—+24X—"
16+54+88+48^20.6.
1010101010
VE（Y）>
20,•••从采购商的角度考虑，应该采用方案1.
（3）用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品
果6个.
现从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，其可能的取值为
0,1,2,3.
P（X=0）^W，P（X=l）=^g
L1O6L1O2
PE瓷寻PT塞.
・・・X的分布列为
AE（X）=OX1+1X1+2X±
+3X£
4.
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