离散数学结构 第十二章 环与域Word文档格式.docx

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对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用x-y表示x+（-y）,nx表示

即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负元。

定理12.1设<

是环,则

（1）

a∈R, 

a0=0a=0

（2）

a,b∈R,（-a）b=a（-b）=-ab

（3）

a,b,c∈R, 

a（b-c）=ab-ac,（b-c）a=ba-ca

（4）

a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R（n,m≥2）

证只证

（1）,

（2）和（4）.（3）留作练习。

a∈R有

a0=a（0+0）=a0+a0

由环中加法的消去律得a0=0.同理可证0a=0.

a,b∈R,有

（-a）b+ab=（-a+a）b=0b=0

ab+（-a）b=（a+（-a））b=0b=0

因此（-a）b是ab的负元.由负元的唯一性可知（-a）b=-ab,同理可证a（-b）=-ab.

（4）先证

a1，a2，...，an有

对n进行归纳。

当n=2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。

假设

，则有

由归纳法命题得证。

同理可证，

b1，b2，...，bm有

于是

例12.2在环中计算（a+b）3，（a-b）2

解（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）

=（a2+ba+ab+b2）（a+b）

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ba-ab+b2

三．子环

1．子环的定义

定义12.2设R是环,S是R的非空子集。

若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环.若S是R的子环,且S

R,则称S是R的真子环。

例如整数环Z,有理数环Q都是实数环R的真子环。

{0}和R也是实数环R的子环,称为平凡子环。

2.子环的判定定理

根据子群和子半群的判定定理可以直接得到子环的判定定理。

定理12.2（子环判定定理）

设R是环,S是R的非空子集,若

a,b∈S,a-b∈S

a,b∈S,ab∈S

则S是R的子环。

证由

（1）S关于环R中的加法构成群。

由

（2）S关于环R中的乘法构成半群。

显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在S中也是成立的。

因此S是R的子环。

例12.3

（1）考虑整数环<

Z,+,·

对于任意给定的自然数n,nZ={nz|z∈Z}是Z的非空子集,且

nk1,nk2∈nZ有

nk1-nk2=n（k1-k2）∈nZ

nk1·

nk2=n（k1nk2）∈nZ

根据判定定理,nZ是整数环的子环。

（2）考虑模6整数环<

Z6,

不难验证{0},{0,3},{0,2,4},Z6是它的子环。

其中{0}和Z6是平凡的,其余的都是非平凡的真子环。

四．环的同态

定义12.3设R1和R2是环。

：

R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有

（x+y）=

（x）+

（y），

（xy）=

（x）

（y）

成立,则称

是环R1到R2的同态映射,简称环同态。

类似于群同态,也可以定义环的单同态,满同态和同构等。

例12.4设R1=<

是整数环,R2=<

是模n的整数环。

令

Z→Zn,

（x）=（x）modn

则

x,y∈Z有

（x+y）=（x+y）modn=（x）modn

（y）modn=

（xy）=（xy）modn=（x）modn

（y）

所以

是R1到R2的同态,不难看出

是满同态。

主要内容

1．

代数系统<

构成环的条件：

<

构成Abel群；

构成半群；

·

对于+满足分配律。

2.

环中运算性质：

a0=0a=0；

a（-b）=（-a）b=-（ab）；

乘法对加法的广义分配律。

3.

环R的非空子集S构成R的子环的条件：

任取a,b属于S,有a-b属于S；

ab属于S。

5. 

环同态映射的定义、判别法及其实例。

学习要求

1.

能判别给定代数系统是环。

2.

了解环的运算性质，能进行环中的运算。

能判别环的子集是子环。

4.

能判别映射

是环R1到R2的同态映射。

1.

在整数环中定义*和◇两个运算，

a,b∈Z有a*b=a+b-1,a◇b=a+b-ab。

证明<

Z,*,◇>

构成环。

提示根据定义进行验证，见定义12.1。

答案证明：

a,b∈Z有a*b,a◇b∈Z,两个运算封闭。

任取a,b,c

（a*b）*c=（a+b-1）*c=（a+b-1）+c-1=a+b+c-2

a*（b*c）=a*（b+c-1）=a+（b+c-1）-1=a+b+c-2

（a◇b）◇c=（a+b-ab）◇c=（a+b-ab）+c-（a+b-ab）c=a+b+c-（ab+ac+bc）+abc

a◇（b◇c）=a◇（b+c-bc）=a+（b+c-bc）-a（b+c-bc）=a+b+c-（ab+ac+bc）+abc

两个运算都满足结合律。

a*1=a+1-1=a，1*a=1+a-1=a

1为*运算的单位元。

a*（2-a）=a+（2-a）-1=1，（2-a）*a=（2-a）+a-1=1

2-a为a关于*运算的逆元。

由于*运算满足交换律，所以Z关于*运算构成交换群，关于◇运算构成半群。

a◇（b*c）=a◇（b+c-1）=a+（b+c-1）-a（b+c-1）=2a+b+c-ab-ac-1

（a◇b）*（a◇c）=（a+b-ab）+（a+c-ac）-1=a+b+a+c-ab-ac-1=2a+b+c-ab-ac-1

◇运算关于*运算满足分配律，从而<

设<

是环，a,b为环中任意元素，计算（a+b）2（b-a）。

提示根据环的性质进行计算。

注意乘法没有交换律。

答案

（a+b）2（b-a）=（a2+ab+ba+b2）（b-a）=a2b+ab2+bab+b3-a3-aba-ba2-b2a

3.

设A=

A关于矩阵加法和乘法构成环。

证明B=

是A的子环。

给出A到B的一个同态映射f。

提示根据子环判断定理加以证明，见定理12.2。

答案证明：

∈B，B非空。

任取B中元素

易见

根据子环判断定理，B是A的子环。

令f:

A→B,

则f是A到B的同态映射。

12.2整环与域

一、整环

1．交换环、含幺环、无零因子环、整环的定义

定义12.4设<

是环,

（1）若环中乘法·

适合交换律,则称R是交换环。

（2）若环中乘法·

存在单位元,则称R是含幺环。

（3）若

a,b∈R,ab=0

a=0∨b=0,则称R是无零因子环。

（4）若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,则称R是整环。

2．交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例

例12.5

（1）整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。

（2）令2Z={2z|z∈Z},则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。

但不是含幺环和整环,因为1

2Z.

（3）设n是大于或等于2的正整数,则n阶实矩阵的集合Mn（R）关于矩阵加法和乘法构成环,它是含幺环,但不是交换环和无零因子环,也不是整环。

（4）Z6关于模6加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环。

因为2

3=0,但2和3都不是0.称2为Z6中的左零因子,3为右零因子。

类似地,又有3

2=0,所以3也是左零因子,2也是右零因子,它们都是零因子。

一般说来,对于模n整数环Zn.若n不是素数,则存在正整数s,t（s,t≥2）,使得st=n.这样就得到s

t=0,s,t是Zn中的零因子,因此Zn不是整环。

反之,若Zn不是整环,则Zn一定不是无零因子环。

这就意味着存在a,b∈Zn,使得a

b=0,但a≠0且b≠0.根据模n乘法定义得n整除ab,从而推出n不是素数。

若不然必有n整除a或n整除b,与a≠0且b≠0矛盾.通过上面的分析可以得到下面的结论：

Zn是整环当且仅当n是素数。

下面的定理给出了一个环是无零因子环的充分必要条件。

定理12.3设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律。

即

a,b,c∈R,a≠0,有

ab=ac

b=c 

和ba=ca

b=c

证充分性。

任取a,b∈R,ab=0且a≠0.则由 

ab=0=a0和消去律得b=0.这就证明了R是无零因子环。

必要性。

任取a,b,c∈R,a≠0,由ab=ac得a（b-c）=0，由于R是无零因子环,a≠0,必有b-c=0,即b=c.这就证明了左消去律成立。

同理可证右消去律也成立。

例12.6设R1,R2是环,

a,b>

<

c,d>

∈R1×

R2,令

<

+<

=<

a+c,b+d>

ac,bd>

不难验证R1×

R2关于+和·

运算构成一个环,称为环R1和R2的直积,记作R1×

R2.

可以证明,若R1和R2是交换环和含幺环,则R1×

R2也是交换环和含幺环。

但是,若R1和R2是无零因子环,那么R1×

R2不一定是无零因子环。

例如Z3和Z2是无零因子环,因为消去律在Z3和Z2中都是成立的。

但是Z3×

Z2就不是无零因子环。

若不然,由

2,0>

0,1>

0,0>

和<

≠<

根据消去律就可得到<

。

显然这是不对的。

因此我们可以说整环的直积不一定是整环。

二．域的定义与实例

定义12.5设R是整环,且R中至少含有两个元素。

若

a∈R*=R-{0},都有a－1∈R,则称R是域。

例如有理数集Q,实数集R,复数集C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域。

但整数环只能构成整环Z,而不是域,因为并不是对于任意的非零整数z∈Z都有

∈Z。

对于模n的整数环Zn,若n是素数,可以证明Zn是域。

例12.7设p为素数,证明Zp是域。

证 

p为素数,p≥2,所以|Zp|≥2.

易见Zp关于模p乘法可交换,单位元是1,且对于任意的i,j∈Zp,i≠0有

i

j=0

p整除ij

p|j

所以Zp中无零因子,Zp为整环。

Zp关于乘法

构成有限半群,且Zp关于

适合消去律。

下面证明每个非零元素都有逆元。

任取i∈Zp,i≠0,令

Zp={i

j|j∈Zp}

则i

Zp=Zp,否则必存在j,k∈Zp,使得

j=i

k，

由消去律得j=k.这是矛盾的。

由于1∈Zp.这就推出,存在i＇∈Zp,使得i

i＇=1.由于

运算的交换性可知i＇就是i的逆元。

从而证明了Zp是域。

类似于子环,也可以定义子整环和子域。

请读者试给出相关的定义。

根据环中乘法的性质定义交换环（交换律）、含幺环（单位元）、无零因子环（消去律）、整环（交换、含幺、消去律）。

整环构成域的条件：

元素数大于1，每个非零元素有逆元。

环的直积仍旧是环，交换（含幺）环的直积仍是交换（含幺）环，无零因子环（整环、域）的直积不一定是无零因子环（整环、域）。

能判断给定的环是交换环、含幺环、无零因子环与整环。

能判断给定的环是域。

判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域，如果不构成，说明理由。

（1）A={a+bi|a,b∈Q},其中i2=-1,运算为复数加法和乘法。

窗体顶部

构成环 

整环 

构成域 

不构成环

窗体底部

（2）A={2z+1|z∈Z},运算为实数加法和乘法。

构成域

（3）A={2z|z∈Z},运算为实数加法和乘法。

（4）A={x|x≥0∧x∈Z},运算为实数加法和乘法。

（5）A={a+b

|a,b∈Q},运算为实数加法和乘法。

提示参看定义12.4，例12.5，例12.6，定义12.5，例12.7。

（1）是环，是整环，也是域。

（2）不是环，因为关于加法不封闭。

（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。

（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。

（5）不是环，因为关于乘法不封闭。

设R1和R2是整环，说明它们的直积是否为整环，为什么？

是整环

不是整环

不一定 

提示考虑直积中是否满足交换律，是否含么元，是否为无零因子环。

答案不一定是整环。

因为对于直积中的乘法可能有

<

a,0>

0,b>

=<

其中a和b不是0。

这样<

分别构成左和右零因子。