离散数学结构 第十二章 环与域Word文档格式.docx

1、对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.类似地,针对环中的加法,用x-y表示x+（-y）,nx表示,即x的n次加法幂,并且用-xy表示xy的负元。定理12.1 设是环,则 （1） aR, a0 = 0a = 0 （2） a,bR, （-a）b = a（-b） = -ab （3） a,b,cR, a（b-c） = ab-ac, （b-c）a = ba-ca （4） a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR（n,m2） 证 只证（1）,（2）和（4）.（3）留作练习。aR有 a0 = a（0+0） = a0+a0由环中加法的消去律得

2、a0=0.同理可证0a=0.a,bR,有 （-a）b+ab =（-a+a）b = 0b = 0 ab+（-a）b =（a+（-a）b = 0b = 0因此（-a）b是ab的负元.由负元的唯一性可知 （-a）b = -ab,同理可证a（-b）= -ab. （4） 先证a1，a2，.，an有 对n进行归纳。当n=2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。 假设，则有 由归纳法命题得证。 同理可证，b1，b2，.，bm有于是例12.2 在环中计算（a+b）3，（a-b）2 解 （a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b） =（a2+ba+ab+b2）（a+b） =a3+ba2+aba+b2a+a

3、2b+bab+ab2+b3 （a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ba-ab+b2 三子环 1子环的定义 定义12.2 设R是环,S是R的非空子集。若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环.若S是R的子环,且SR,则称S是R的真子环。 例如整数环Z,有理数环Q都是实数环R的真子环。0和R也是实数环R的子环,称为平凡子环。2. 子环的判定定理 根据子群和子半群的判定定理可以直接得到子环的判定定理。定理12.2 （子环判定定理） 设R是环,S是R的非空子集,若a,bS,a-bSa,bS,abS则S是R的子环。 证 由（1）S关于环R中的加法构成群。由（2）S关于环R中的乘法构成半

4、群。显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在S中也是成立的。因此S是R的子环。例12.3 （1）考虑整数环Z,+,对于任意给定的自然数n,nZ=nz|zZ是Z的非空子集,且nk1,nk2nZ有 nk1-nk2=n（k1-k2）nZ nk1nk2=n（k1nk2）nZ根据判定定理,nZ是整数环的子环。 （2） 考虑模6整数环Z6,不难验证0,0,3,0,2,4,Z6是它的子环。其中0和Z6是平凡的,其余的都是非平凡的真子环。四环的同态 定义12.3 设R1和R2是环。：R1R2,若对于任意的x,yR1有（x+y）=（x）+（y）， （xy）=（x）（y）成立,则称是环R1到R2的同态映射

5、,简称环同态。 类似于群同态,也可以定义环的单同态,满同态和同构等。例12.4 设R1=是整数环,R2=是模n的整数环。令ZZn,（x）=（x）modn则x,yZ有（x+y）=（x+y）mod n=（x）mod n（y）mod n =（xy）=（xy）mod n=（x）mod n（y） 所以是R1到R2的同态,不难看出是满同态。主要内容 1代数系统构成环的条件：构成Abel群；构成半群；对于+满足分配律。2.环中运算性质：a0=0a=0；a（-b）=（-a）b=-（ab）；乘法对加法的广义分配律。3. 环R的非空子集S构成R的子环的条件：任取a,b属于S,有a-b属于S；ab属于S。5.环同态

6、映射的定义、判别法及其实例。学习要求 1. 能判别给定代数系统是环。2. 了解环的运算性质，能进行环中的运算。能判别环的子集是子环。4. 能判别映射是环R1到R2的同态映射。1.在整数环中定义*和两个运算，a,bZ 有 a*b = a+b-1, ab = a+b-ab。证明构成环。提示 根据定义进行验证，见定义12.1。答案 证明：a,bZ有a*b, abZ, 两个运算封闭。 任取a,b,c （a*b）*c = （a+b-1）*c = （a+b-1）+c-1 = a+b+c-2 a*（b*c） = a*（b+c-1） = a+（b+c-1）-1 = a+b+c-2 （ab）c =（a+b-ab

7、）c =（a+b-ab）+c-（a+b-ab）c = a+b+c-（ab+ac+bc）+abc a（bc） =a（b+c-bc） = a+（b+c-bc）-a（b+c-bc） = a+b+c-（ab+ac+bc）+abc 两个运算都满足结合律。 a*1=a+1-1=a， 1*a=1+a-1=a 1为*运算的单位元。 a*（2-a）=a+（2-a）-1=1， （2-a）*a=（2-a）+a-1=1 2-a为a关于*运算的逆元。 由于*运算满足交换律，所以Z关于*运算构成交换群，关于运算构成半群。 a（b*c）=a（b+c-1）=a+（b+c-1）-a（b+c-1）=2a+b+c-ab-ac-1

8、（ab）*（ac）=（a+b-ab）+（a+c-ac）-1=a+b+a+c-ab-ac-1=2a+b+c-ab-ac-1运算关于*运算满足分配律，从而设是环，a,b为环中任意元素，计算（a+b）2（b-a）。提示 根据环的性质进行计算。注意乘法没有交换律。答案 （a+b）2（b-a） = （a2+ab+ba+b2）（b-a） = a2b+ab2+bab+b3-a3-aba-ba2-b2a3.设A=,A关于矩阵加法和乘法构成环。证明 B =是A的子环。给出A到B的一个同态映射f。提示 根据子环判断定理加以证明，见定理12.2。答案证明：B，B非空。任取B中元素,易见根据子环判断定理，B是A的子环

9、。 令 f:AB,则f是A到B的同态映射。12.2 整环与域 一、整环 1交换环、含幺环、无零因子环、整环的定义定义12.4 设,R1R2,令 +=ac,bd不难验证R1R2关于+和运算构成一个环,称为环R1和R2的直积,记作R1R2. 可以证明,若R1和R2是交换环和含幺环,则R1R2也是交换环和含幺环。但是,若R1和R2是无零因子环,那么R1R2不一定是无零因子环。例如Z3和Z2是无零因子环,因为消去律在Z3和Z2中都是成立的。但是Z3Z2就不是无零因子环。若不然,由2,00,10,0和,根据消去律就可得到。显然这是不对的。因此我们可以说整环的直积不一定是整环。二域的定义与实例 定义12.

10、5 设R是整环,且R中至少含有两个元素。若aR*=R-0,都有a1R,则称R是域。 例如有理数集Q,实数集R,复数集C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域。但整数环只能构成整环Z,而不是域,因为并不是对于任意的非零整数zZ都有Z。对于模n的整数环Zn,若n是素数,可以证明Zn是域。例12.7 设p为素数,证明Zp是域。 证 p为素数,p2,所以|Zp|2. 易见Zp关于模p乘法可交换,单位元是1,且对于任意的i,jZp,i0有 ij=0p整除ijp|j所以Zp中无零因子,Zp为整环。 Zp关于乘法构成有限半群,且Zp关于适合消去律。下面证明每个非零元素都有逆元。任取i

11、Zp,i0,令 Zp=ij|jZp则iZp=Zp,否则必存在j,kZp,使得j=ik，由消去律得j=k.这是矛盾的。由于1Zp.这就推出,存在iZp,使得ii=1.由于运算的交换性可知i就是i的逆元。从而证明了Zp是域。 类似于子环,也可以定义子整环和子域。请读者试给出相关的定义。根据环中乘法的性质定义交换环（交换律）、含幺环（单位元）、无零因子环（消去律）、整环（交换、含幺、消去律）。整环构成域的条件：元素数大于1，每个非零元素有逆元。环的直积仍旧是环，交换（含幺）环的直积仍是交换（含幺）环，无零因子环（整环、域）的直积不一定是无零因子环（整环、域）。能判断给定的环是交换环、含幺环、无零因子

12、环与整环。能判断给定的环是域。判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域，如果不构成，说明理由。（1）A = a+bi |a,bQ, 其中i2=-1, 运算为复数加法和乘法。窗体顶部构成环整环构成域不构成环 窗体底部（2）A=2z+1 |zZ, 运算为实数加法和乘法。构成域 （3）A=2z |z Z, 运算为实数加法和乘法。（4）A=x |x0 xZ, 运算为实数加法和乘法。（5）A=a+b |a,bQ, 运算为实数加法和乘法。提示 参看定义12.4，例12.5，例12.6，定义12.5，例12.7。（1）是环，是整环，也是域。（2）不是环，因为关于加法不封闭。（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元。（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，因此A关于加法不构成群。（5）不是环，因为关于乘法不封闭。设R1和R2是整环，说明它们的直积是否为整环，为什么？是整环不是整环不一定 提示 考虑直积中是否满足交换律，是否含么元，是否为无零因子环。答案 不一定是整环。因为对于直积中的乘法可能有 0,b = 其中a和b不是0。这样分别构成左和右零因子。