all事故树顶上事件发生概率公式含义及例题Word文档格式.docx
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=0.5x0.2+0.2x0.5x0.5—0.2x0.5x0.5x0.5
=0.125
2・但当事故树含有重复出现的基本事件时,或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时，最小割集之间是相交的，这时,应按以下几种方法计算。
①最小割集法
•事故树可以用其最小割集的等效树来表示。
这时，顶上事件等于最小割集的并集。
•设某事故树有K个最小割集：
Et、E八…、Er.....Ek,则有：
k
八UE
r=l
•顶上事件发生概率为：
P（T）=p[\jEr>
•化简，顶上事件的发生概率为:
尸（卩）=艺口名一sn们+…+（-1产’n佈"
Ixie£
f1"
"
=工％U气r=1
可佳E«
U环U习…Ud
r、s、k—最小割集的序号，r<
s<
ki
，一基本事件的序号，
l<
r<
k—A个最小割集中第厂、$两个割集的组合
顺序；
ve£
一属于第/•个最小割集的第i个基本事件；
u；
—属于第『个或第"
个最小割集的第‘个基棊事件。
'
w）=xns
r-*XreCr
-sn*十…十（一I）-*n幻
xfe£
f|j£
rr-1
公式屮的第一项“求齐最小割集E的发生概率的和”（将各垠小割集中的基本事件的概率积相加八但有重复计算的情况.因此，
在第二项中“减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两个最小割集并集的堆木事件的概率积相加）；
还仃重复计算的情况，
在第三项“加上毎三个嚴小剤集同时发生的概率”（将每三个最小割集并集的基木事件的概率积和加）:
以此类推,加减号交替,直到最后一项“计算所有最小割集同时发生的概率•”
某事故树共有3个最小割集：
试用
最小割集法计算顶事件的发生的概率。
E讦X29
e3={X3fx5}
已知各基本事件发生的概率为:
§
]=0.01；
g，=0・02；
务=°
・°
3;
血=0・04；
^5=0.05
求顶上事件发生概率？
p（T）=工口务一工n乞十••十（一i）jn幻r-lxfe£
rxfe£
f|J£
fr-1
E1={X1,X2,X3},E2={X1,X4}
£
3={X3,X5）
P（T）=qxq2q3+%仙+q3q5
一如乡2号3§
4一qH2耳3耳S一9局彳4彳5+今1乡2乡3乡4纟5
=0.001904872
③最小径集法
•根据最小径集与最小割集的对偶性，利
用最小径集同样可求出顶事件发生的概
率。
Pr、…、Pko用0.（r=l,2,•…k）表
示最小径集不发生的事件，用表示顶
上事件不发生。
•由最小径集定义可知，只要k个最小径集中有一个不发生，顶事件就不会发生，贝IJ：
_k
T=[jDr
r=l
1一P（T）=p[\jDr
•故顶上事件发生的概率:
几丁）=1-艺口（1-乞）+Sn（】-乞）—+（-i）r-lm^c/VU^
式中：
Pr—最小径集G=l,2,Ic）:
r>
s一最小径集的序数，r<
s；
k—最小径集数；
（1•务）一第i个基本事件不发生的概率；
x“—属于第厂个最小径集的第i个基本事件;
“7本斯属于第朴或黑个最小径集映个
卩（丁）=1一工口（1一*）+艺n（1一s）-r-ljc巧U巧
—+（-1）n（i-务）
r—1
打U化U/\・・・U/\
•公式中的第二项“减去各最小径集P实现的概率的和”（将各最小径集中的基本事件不发生的概率积相加）；
但有重复计算的情况,因此,
•在第二项屮“加上每两个故小径集同时实现的概率”（将每两个最小径集并集中的各基木爭件不发生的概率积相加）；
还有重复计算的情况，
•在第三项“减去毎三个最小径集同时实现的概率”（将毎三个垠小径集并集的基木事件不发生的概率枳和加）:
•以此类推，加减号交替，肓到垠后一项“计算所有垠小径集同时实现的概率”
某事故树共有4个最小径集，
P讦{X[,,P2={x{9x5},
P3=（X3,x4}』3={x»
x4,x5}已知各基本事件发生的概率为:
^!
=0.01；
?
2=°
2;
3=0・03；
^f4=0.04；
5=0・05
试用最小径集法求顶上事件发生概率？
卩（卩）=1-为口（i-sHzn（1-也）-・・・+（-i）in（i-s）/■-lJ-€FrISr<
$£
JtJT.W巧，u匕r-1
P1={X1,X3},P2={X1,X5},
P3={X3,X4},P3={X2,X4,X5}
P（T）=1■[（1■如）（1■弘）+（1■g】）（l■仏）+（1-gj（l■彳丿$（1■$）（1■仏）（1一仏）】
+[（1-S）（l-qj（l-“J+（1-®
）（1-竹）（1-殆）
+（i-<
7,）（1-^2）（i-<
7,）（1-”）（1一你）+（1-9）（1一仏）（1一殆）（1一qj
+（1-％）（1-乞）（1一仇）（1-幺）十（1一qj（l-0）（1-qJU一么）】
-1（1一9]）（1一彳、）（1一§
4）（1一们）+（1一务）（1一伕）（1一们）（1一务）（1一仏）
+（1-如）（1一竹）（1一什）（1一出）（1一仏）+（I一°
）（1一竹）（1一弘）（1一仏）（1一仏）】
+（1-务）（1一磅）（1一你）（1一务）（1一仏）
某事故树共有2个最小径集：
P产{XvX2},
P2={JV2,XJ。
已知各基本事件发生的概率为：
71=0-5;
<
72=0.2；
73=0.5；
P（T）=Pp「Pp2
=[1-（1-<
7.）（1-§
2川（1-（1-么）（1-竹）]
=（”+竹一q、q2+冷一伟幻）
=加2+q、q、一q、q、+q】ca+q凶、一
qg,-q、q业一①乞们+名牛風
-q、q、一qwm+竹+^^_少£
-qlq2q3+qlq2q3
=
■q}q2q^q2
=0.5x（）.5一0.5x（）.2x0.5+0.2=0.4
三、基本事件的概率重要度
•基本事件的重要度：
一个基本事件对顶上事件发生的影响大小。
•基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构分析各基本事件对顶事件的影响程度，所以，还应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的影响，即对事故树进行概率重要度分析。
•事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要度系数大小进行定量分析。
所谓概率重要度分析，它表示第，个基本事件发生的概率的变化引起顶事件发生概率变化的程度。
•由于顶上事件发生概率函数是舁个基本事件发生概率的多重线性函数
•对自变量务求一次偏导，即可得到该基本事件的概率重要度系数。
•F基本事件的概率重要度系数：
从）二竺4
P（T）—顶事件发生的概率；
q{—第Z个基本事件的发生概率。
•利用上式求出各基本事件的概率重要度系数，可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地降低顶事件的发生概率。
某事故树共有2个最小割集：
E{={XvX2},e2={X29xj。
]=0・4；
^2=0.2；
=（）.3；
排列各基本事件的概率車
要度,
P（T）=q}q2+q2q3-qtq2q3=0.116
dP（T）
匚
（1）==q2-q2q3=016
Q
（2）==%+%—=0.49
dP{T）
行（3）==q2-qlq2=0.12
叫
、基本事件的关键重要度（临界重要度）
•一般当各qi不等时，改变qi大的Xi较容易，但概率重要度系数并未反映qi变化
•考虑从本质上反映Xi在FT中的重要程度。
•关键重要度分析，它表示第i个基本事件发生概率的变化率引起顶事件概率的变化率；
•相比概率重要度关键重要度，更合理更
•基本事件的关键重要度:
具有实际意义。
lim
—>
O
•式中订；
0）—第，个基本事件的关键重要度系数;
[（/）—第i个基本事件的概率重要度系P（T）—顶事件发生的概率；
务一第i个基本事件发生概率•
d={XvX2},e2=（x2,xj。
7i=0.4；
排列各基本事件的关键車
要度，
P（T）=0.116;
/r（l）=0.16;
/,
（2）=0.49;
/,（3）=0.12
rq、0.4
r
（1）=71/
（1）=x0.16=0.552
uP（T）"
0.116
“q、°
・2
r
（2）=-—/
（2）=x0.49=0.845
尺P（T）g0.116
r么0.3
厂（3）='
1
（1）=x0.12=0.310
P（T）"
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