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3.平行公理推论：
平行于同一直线de两条直线互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c
（二）平行线de判定：
1.两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，两直线
平行）
2.两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线
3.两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（同旁内角互补，两
直线平行）
推论：
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
5.3平行线de性质
（一）平行线de性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等）
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等）
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角相等）
（二）命题、定理、证明
1．命题de概念：
判断一件事情de语句，叫做命题。
2.命题de组成：
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；
结论是由已知事项推出de事项。
命题常写成“如果„„，那么„„”de形式。
具有这
种形式de命题中，用“如果”开始de部分是题设，用“那么”开始de部分是结论。
3．真命题：
正确de命题，题设成立，结论一定成立。
4．假命题：
错误de命题，题设成立，不能保证结论一定成立。
5.定理：
经过推理证实得到de真命题。
（定理可以做为继续推理de依据）
6．证明：
推理de过程叫做证明。
5.4平移
1．平移:
平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定de距离，这样de图形运动叫做平移
变换（简称平移），平移不改变物体de形状和大小。
2.平移de性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新de图形，新图形与原图形de形状和大小完全
相同。
②新图形中de每一点，都是由原图形中de某一点移动后得到de，这两个点是对应点。
连接各组对应
点de线段平行且相等。
第六章实数
6.1平方根
1、平方根
2
（1）平方根de定义：
如果一个数xde平方等于a，那么这个数x就叫做ade平方根．即：
如果xa，
那么x叫做ade平方根．
（2）开平方de定义：
求一个数de平方根de运算，叫做开平方．开平方运算de被开方数必须是非
负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：
3de平方等于9，9de平方根是3
（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；
0de平方根是0.
（5）符号：
正数ade正de平方根可用a表示，a也是ade算术平方根；
正数ade负de平方根可用-a表示．
（6）xa
xa
<
—>
a是xde平方
xde平方是a
ade平方根是x
x是ade平方根
2、算术平方根
（1）算术平方根de定义：
一般地，如果一个正数xde平方等于a，即xa，那么这个正数x
叫做ade算术平方根．ade算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开
方数．
规定：
0de算术平方根是0.
也就是，在等式xa（x≥0）中，规定xa。
（2）ade结果有两种情况：
当a是完全平方数时，a是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它de算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它de算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数de大小
（5）xa（x≥0）
xa
x是ade算术平方根
ade算术平方根是x
（6）正数和零de算术平方根都只有一个，零de算术平方根是零。
a（a0）
a0
a
a
；
注意ade双重非负性：
-a（a<
0）
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数de平方根有两个，而它de算术平方根只有一个；
联系在于正数de正平方根就是它de算术平方根，而正数de负平方根是它de算术平方根de相反数。
6.2立方根
（1）立方根de定义：
如果一个数xde立方等于a，这个数叫做ade立方根（也叫做三次方根），
x
3
a
，那么叫做de立方根。
求一个数de立方根de运算，叫做开立方。
xa
即如果
（2）一个数ade立方根，记作3，读作：
“三次根号”，
其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3）一个正数有一个正de立方根；
0有一个立方根，是它本身；
一个负数有一个负de立方根；
任何数都有唯一de立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数de立方根，就可以利用这种互逆关系，检验
其正确性，求负数de立方根，可以先求出这个负数de绝对值de立方根，再取其相反数，即
aa0
a
。
（5）xa
a是xde立方
x是ade立方根
xde立方是a
ade立方根是x
（6）3
aa，这说明三次根号内de负号可以移到根号外面。
6.3实数
一、实数de概念及分类
无理数：
像前面de很多数de平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数
又叫无理数。
实数：
有理数和无理数统称实数。
1、实数de分类
正有理数
有理数
无理数
零
负有理数
正无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
实数
负无理数
正实数
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽de数，如7,2等；
π
（2）有特定意义de数，如圆周率π，或化简后含有πde数，如+8等；
（3）有特定结构de数，如0.1010010001…等；
二、实数de倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它de相反数是一对数（只有符号不同de两个数叫做互为相反数，零de相反数
是零），从数轴上看，互为相反数de两个数所对应de点关于原点对称，如果a与b互为
相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
数ade相反数是—a，这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数de绝对值就是表示这个数de点与原点de距离，|a|≥0。
零de绝对值是它本身，
也可看成它de相反数，若|a|=a，则a≥0；
若|a|=-a，则a≤0。
一个正实数de绝对值是它本身，一个负实数de绝对值是它de相反数，零de绝对值是
0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大de反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身de数是1和-1。
零没
有倒数。
4.实数与数轴上点de关系：
每一个无理数都可以用数轴上de一个点表示出来，
数轴上de点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上de点就是一一对应de，即每一个实数都可以用数轴上de一个点来表示；
反过来，数轴上de每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零de数字起到
右边精确de数位止de所有数字，都叫做这个数de有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做
a10de形式，其中1a10
n
，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小de比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度de直线叫做数轴（画数轴时，要注意三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合de思想，理解实数与数轴de点是一一对应de，并能灵活运用。
2、实数大小比较de几种常用方法
（1）数轴比较：
在数轴上表示de两个数，右边de数总比左边de数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数，
ab0ab,
ab0ab
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，1ab;
1ab;
b
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则abab。
（5）平方法：
设a、b是两负实数，则abab。
五、实数de运算
1、加法交换律
abba
2、加法结合律
（ab）ca（bc）
3、乘法交换律
4、乘法结合律
abba
（ab）ca（bc）
5、乘法对加法de分配律a（bc）abac
6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。
同级运算时，从左到右依次进行；
不是同级de混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；
运算中如有括号时，先做括号内de运算，按小括号、中括号、大括号de顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：
第一，除以一个不等于零de数，等于乘以这个数de
倒数；
第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零de数，商
都是零。
8、什么叫有理数de乘方？
幂？
底数？
指数？
相同因数相乘积de运算叫乘方，乘方de结果叫幂，相同因数de个数叫指数，这个因数叫底数。
记作:
a
9、有理数乘方运算de法则是什么？
负数de奇次幂是负数，负数de偶次幂是正数。
正数de任何次幂都是正数。
零de任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项de符号de变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外de因数是正数，去（加）括号后式子各项de符号与原括号内de式子
相应各项de符号相同；
括号外de因数是负数去（加）括号后式子各项de符号与原括号内式子相应各
项de符号相反。
第七章平面直角坐标系
7.1平面直角坐标系
（一）有序数对
1．有序数对：
用两个数来表示一个确定de位置，其中两个数各自表示不同de意义，我们把这种有顺
序de两个数组成de数对，叫做有序数对，记作（a,b）
2.坐标：
数轴（或平面）上de点可以用一个数（或数对）来表示，这个数（或数对）叫做这个点de坐标。
（二）平面直角坐标系
1．平面直角坐标系：
在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点de数轴。
这样我们就说在平面上建
立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。
2．X轴：
水平de数轴叫X轴或横轴。
向右方向为正方向。
3．Y轴：
竖直de数轴叫Y轴或纵轴。
向上方向为正方向。
4．原点：
两个数轴de交点叫做平面直角坐标系de原点。
对应关系：
平面直角坐标系内de点与有序实数对一一对应。
坐标：
对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应de
数a,b分别叫点Pde横坐标和纵坐标。
（三）象限
1．象限：
X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分，也叫四个象限。
右上面de叫做第一象限，其他三个
部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界，横轴、纵轴上de点
及原点不属于任何象限。
一般，在x轴和y轴取相同de单位长度。
2．象限de特点：
1、特殊位置de点de坐标de特点：
（1）x轴上de点de纵坐标为零；
y轴上de点de横坐标为零。
（2）第一、三象限角平分线上de点横、纵坐标相等；
第二、四象限角平分线上de点横、纵坐标互为相反数。
（3）在任意de两点中，如果两点de横坐标相同，则两点de连线平行于纵轴；
如果两点de纵坐标相同，则两点de连线平行于横轴。
2、点到轴及原点de距离：
点到x轴de距离为|y|；
点到y轴de距离为|x|；
点到原点de距离为xde平方加yde平方再开根号；
3、三大规律
（1）平移规律：
点de平移规律
左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加；
上下平移→横坐标不变，纵坐标上加下减。
图形de平移规律找特殊点
（2）对称规律
关于x轴对称→横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称→横坐标互为相反数，纵坐标不变；
关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
（3）位置规律
各象限点de坐标符号：
（注意：
坐标轴上de点不属于任何一个象限）
假设在平面直角坐标系上有一点P（a，b）
1.如果P点在第一象限，有a>
0，b>
0（横、纵坐标都大于0）
2.如果P点在第二象限，有a<
0（横坐标小于0，
纵坐标大于0）
第二象限
第一象限
（—，+）
（+，+）
3．如果P点在第三象限，有a<
0，b<
0（横、纵坐标都小于0）
4．如果P点在第四象限，有a>
（横坐标大于0，纵
坐标小于0）
第三象限
第四象限
（—，—）
（+，—）
5．如果P点在x轴上，有b=0
（横轴上点de纵坐标为
7.2坐标方法de简单应用
（一）用坐标表示地理位置de过程：
1．建立坐标系，选择一个合适de参照点为原点，确定X轴和Y轴de正方向。
2．根据具体问题确定适当de比例尺，在坐标轴上标出单位长度。
3．在坐标平面内画出这些点，写出各点de坐标和各个地点de名称。
（二）用坐标表示平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点de横坐标都加（或减去）一个正数a，相应de新图形就
把原图形向右（左）平移a个单位长度；
如果把它各个点de纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应de
新图形就把原图形向上（下）平移a个单位长度。
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
1.二元一次方程：
含有两个未知数de方程并且所含未知项de最高次数是1，这样de整式方程叫做二
元一次方程。
2．方程组：
有几个方程组成de一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数de
项de次数都是一次，那么这样de方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程de解：
一般地，使二元一次方程两边de值相等de未知数de值叫做二元一次方程组de解。
二元一次方程组de解：
一般地，二元一次方程组de两个方程de公共解叫做二元一次方程组。
8.2消元——解二元一次方程组
二元一次方程组有两种解法：
一种是代入消元法,一种是加减消元法.
1．代入消元法：
把二元一次方程中de一个方程de一个未知数用含另一个未知数de式子表示出来，再
代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组de解。
2．加减消元法：
两个二元一次方程中同一未知数de系数相反或相等时，把这两个方程de两边分别相
加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
8.3实际问题与二元一次方程组
实际应用：
审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。
关键：
找等量关系
常见de类型有：
分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
顺流逆流公式：
vvv水
v逆vv水
静
顺
8.4三元一次方程组de解法
三元一次方程组：
方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数de项de次数都是1，并且一共有
三个方程组，像这样de方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组de基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元。
把“三元”化为“二元”，使解
三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
第九章不等式与不等式组
9.1不等式
一、不等式及其解集
1．不等式：
用不等号（包括：
>
、、、<
、≠）表示大小关系de式子。
2．不等式de解：
使不等式成立de未知数de值，叫不等式de解。
3．不等式de解集：
一个含有未知数de不等式de所有解，组成这个不等式de解集。
二、不等式de性质:
性质1:
如果a>
b,b>
c,那么a>
c（不等式de传递性）.
性质2:
不等式de两边同加（减）同一个数（或式子），不等号de方向不变。
b,那么a+c>
b+c（不
等式de可加性）.
性质3:
不等式de两边同乘（除以）同一个正数，不等号de方向不变。
不等式de两边同乘（除以）同一
个负数，不等号de方向改变。
b,c>
0,那么ac>
bc;
b,c<
0,ac<
bc.（不等式de乘法法则）
性质4:
d,那么a+c>
b+d.（不等式de加法法则）
性质5:
b>
0,c>
d>
bd.（可乘性）
性质6:
0,n∈N,n>
1,那么a>
b,且.当0<
n<
1时也成立.（乘方法则）
nn
9.2一元一次不等式
1.一元一次不等式：
含有一个未知数，未知数de次数是1de不等式。
2．不等式de解法：
步骤：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一；
注意：
去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等
号de方向是否发生改变de问题。
9.3一元一次不等式组
1．一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数de几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一
元一次不等式组。
2．不等式组de解：
几个不等式de解集de公共部分，叫做由它们组成de不等式组de解集。
解不等式组
就是求它de解集。
3．解不等式组：
先求出其中各不等式de解集，再求出这些解集de公共部分，利用数轴可以直观地表
示不等式de解集。
解一元一次不等式组de一般方法：
以两条不等式组成de不等式组为例，
①若两个未知数de解集在数轴上表示同向左，就取在左边de未知数de解集为不等式组de解集，此乃
“同小取小”
②若两个未知数de解集在数轴上表示同向右，就取在右边de未知数de解集为不等式组de解集，此乃
“同大取大”
③若两个未知数de解集在数轴上相交，就取它们之间de值为不等式组de解集。
若x表示不等式de解
集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。
此乃“相交取中
④若两个未知数de解集在数轴上向背，那么不等式组de解集就是空集，不等式组无解。
此乃“向背
取空”
不等式组de解集de确定方法（a＞b）：
不等式组
在数轴上表示de解集
解
集
口
诀
x＞a
x＜b
同大取大；
同小取小；
相交取中；
x＞b
x＜a
b＜x＜a
空集
向背取空。
第十章数据de收集、整理与描述
全面调查：
考察全体对象de调查方式叫做全面调查。
抽样调查：
调查部分数据，根据部分来估计总体de调查方式称为抽样调查。
总体：
要考察de全体对象称为总体。
个体：
组成总体de每一个考察对象称为个体。
样本：
被抽取de所有个体组成一个样本。
样本容量：
样本中个体de数目称为样本容量。
频数：
一般地，我们称落在不同小组中de数据个数为该组de频数。
频率：
频数与数据总数de比为频率。
组数和组距：
在统计数据时，把数据按照一定de范围分成若干各组，分成组de个数称为组数，每一
组两个端点de差叫做组距。
1、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程。
（1）通过调查收集数据de一般步骤：
①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法
（2）收集数据常用de方法：
①民意调查：
如投票选举
④展开调查
②实地调查：
如现场进行观察、收集、
⑤记录结果
⑥得出结论
统计数据③媒体调查：
报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查。
2、数据de表示方法：
（1）统计表：
直观地反映数据de分布规律
（2）折线图：
反映数据de变化趋势
（3）条形图：
反映每个项目de具体数据（4）扇形图：
反映各部分在总体中所占de百分比
（5）频数分布直方图：
直观形象地反映频数分布情况6）频数分布折线图：
在频数分布直
方图de基础上，取每一个长方形上边de中点，和左右频数为零与直方图相距半个组距de两个点
3、调查方式：
（1）全面调查，优点是可靠，、真实；
（2）抽样调查，优点是省时、省力，减
少破坏性；
随机抽样调查具有广泛性和代表性。
4、总体和样本：
（1）总体：
要考察de所有对象
（2）个体：
组成总体de每一个考察对象
（3）样本：
从总体中抽出de所有实际被调查de对象组成一个样本。
（4）样本容量：
样本中给个体de数目
5、组距：
每个小组两个端点之间de距离
6、画直方图de一般步骤：
（1）计算最大值与最小值de差；
（2）决定组距与组数，先根据数据个数确定组距，再计算组数，
注意无论整除与否，组数总是比商de整数位数多1；
（3）确定分点，并分组；
（4）列频数分布表；
（5）绘制频数分布直方图
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