Matlab在最优化问题中的应用Word文件下载.docx
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linprog%求解如下形式的线性规划问题：
suchthat
其中f,x,b,beq,lb,ub为向量，A,Aeq为矩阵。
格式：
x=linprog（f,A,b）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）
[x,fval]=linprog（...）
[x,fval,exitflag]=linprog（...）
[x,fval,exitflag,output]=linprog（...）
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（...）
说明：
x=linprog（f,A,b）求解问题minf’*x，约束条件为A*x<
=b。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq）求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq。
若没有不等式存在，则令A=[]、b=[]。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得x始终在该范围内。
若没有等式约束，令Aeq=[]、beq=[]。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0）设置初值为x0。
该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options）用options指定的优化参数进行最小化。
[x,fval]=linprog（...）返回解x处的目标函数值fval。
[x,fval,exitflag]=linprog（...）返回exitflag值，描述函数计算的退出条件。
[x,fval,exitflag,output]=linprog（...）返回包含优化信息的输出变量output。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（...）将解x处的Lagrange乘子返回到lambda参数中。
exitflag参数
描述退出条件：
>
0表示目标函数收敛于解x处；
=0表示已经达到函数评价或迭代的最大次数；
<
0表示目标函数不收敛。
output参数
该参数包含下列优化信息：
·
output.iterations迭代次数；
output.cgiterationsPCG迭代次数（只适用于大型规划问题）；
output.algorithm所采用的算法。
lambda参数
该参数是解x处的Lagrange乘子。
它有以下一些属性：
lambda.lower—lambda的下界；
lambda.upper—lambda的上界；
lambda.ineqlin—lambda的线性不等式；
lambda.eqlin—lambda的线性等式。
例10-1求解下列优化问题：
min
sub.to
解：
在Matlab命令窗口键入：
f=[-5;
-4;
-6];
A=[1-11;
324;
320];
b=[20;
42;
30];
lb=zeros（3,1）;
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,[],[],lb）
Optimizationterminatedsuccessfully.
x=
0.0000
15.0000
3.0000
fval=
-78.0000
exitflag=
1
output=
iterations:
6
cgiterations:
0
algorithm:
'
lipsol'
lambda=
ineqlin:
[3x1double]
eqlin:
[0x1double]
upper:
lower:
lambda.ineqlin
ans=
1.5000
0.5000
lambda.lower
1.0000
lambda向量中的非零元素表示哪些约束是主动约束。
本例中，第2个和第3个不等式约束，第1个下界约束是主动约束（如这些解位于约束边界上）。
exitflag=1表示过程正常收敛于解x处。
例10-2生产决策问题。
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品甲需资源A3吨，资源B4m3；
制成一吨产品乙需资源A2吨，资源B6m3；
资源C7个单位。
若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？
令生产产品甲的数量为x1，生产产品甲的数量为x2。
由题意可以建立下面的数学模型：
sub.to
该模型中要求目标函数最大化，需要按照Matlab的要求进行转换，即目标函数为
在Matlab中实现：
f=[-7;
-5];
A=[32;
46;
07];
b=[90;
200;
210];
lb=[0;
0];
14.0000
24.0000
-218.0000
5
[2x1double]
由上可知，生产甲种产品14吨、乙种产品24吨可使创造的总经济价值最高为218万元。
例10-3厂址选择问题。
考虑A、B、C三地，每地都出产一定数量的原料也消耗一定数量的产品（见下表）。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：
A—B：
150km，A—C：
100km，B—C：
200km。
假定每万吨原料运输1km的运价是5000元，每万吨产品运输1km的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？
另外，由于其它条件限制，在B处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
A、B、C三地出产原料、消耗产品情况表
地点
年产原料（万吨）
年销产品（万吨）
生产费用（万元/万吨）
A
20
7
150
B
16
13
120
C
24
100
令
为由i地运到j地的原料数量（万吨），
为由i地运到j地的产品数量（万吨），i，j=1，2，3（分别对应A、B、C三地）。
根据题意，可以建立问题的数学模型（其中目标函数包括原料运输费、产品运输费和生产费用（万元））：
在Matlab中实现：
f=[75;
75;
50;
100;
150;
240;
210;
120;
160;
220];
A=[1-11-100330000
-11001-1003300
00-11-11000033
000000001100];
16;
24;
5];
Aeq=[000000101010
000000010101];
beq=[7;
13];
lb=zeros（12,1）;
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb）
7.0000
5.0000
8.0000
3.4850e+003
8
[4x1double]
[12x1double]
因此，要使总费用最小，需要B地向A地运送1万吨原料，A、B、C三地的建厂规模分别为7万吨、5万吨、8万吨。
最小总费用为3485万元。
10.2非线性规划问题
10.2.1非线性无约束规划问题
无约束规划由3个功能函数fminbnd、fminsearch、fminunc实现。
10.2.1.1fminbnd函数
fminbnd
功能：
求取固定区间内单变量函数的最小值，也就是一元函数最小值问题。
数学模型：
式中，
和
为标量，
为函数，返回标量。
x=fminbnd（fun,x1,x2）
x=fminbnd（fun,x1,x2,options）
x=fminbnd（fun,x1,x2,options,P1,P2,...）
[x,fval]=fminbnd（...）
[x,fval,exitflag]=fminbnd（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（...）
fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值
x=fminbnd（fun,x1,x2）返回[x1,x2]区间上fun参数描述的标量函数的最小值点x。
x=fminbnd（fun,x1,x2,options）用options参数指定的优化参数进行最小化。
x=fminbnd（fun,x1,x2,options,P1,P2,...）提供另外的参数P1，P2等，传输给目标函数fun。
如果没有设置options选项，则令options=[]。
[x,fval]=fminbnd（...）返回解x处目标函数的值。
[x,fval,exitflag]=fminbnd（...）返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（...）返回包含优化信息的结构输出。
fun：
需要最小化的目标函数。
fun函数需要输入标量参数x，返回x处的目标函数标量值f。
可以将fun函数指定为命令行，如
x=fminbnd（inline（‘sin（x*x）’）,x0）
同样，fun参数可以是一个包含函数名的字符串。
对应的函数可以是M文件、内部函数或MEX文件。
若fun=‘myfun’，则
x=fminbnd（@myfun,x0）
其中M文件函数myfun.m必须为下面的形式
functionf=myfun（x）
f=…%计算x处的函数值。
options：
优化参数选项。
你可以用optimset函数设置或改变这些参数的值。
Options参数有以下几个选项：
Display显示的水平。
选择’off’，不显示输出；
选择’iter’，显示每一步迭代过程的输出；
选择’final’，显示最终结果；
MaxFunEvals函数评价的最大允许次数；
MaxIter最大允许迭代次数；
TolXx处的终止容限。
exitflag：
0表示已经达到函数评价或迭代的最大次数；
output：
该参数包含下列优化信息：
output.iteratiions迭代次数；
output.algorithm所采用的算法；
output.funcCount函数评价次数。
注意：
（1）目标函数必须是连续的；
（2）fminbnd函数可能只给出局部最优解；
（3）当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度常常很慢。
此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度更高；
（4）fminbnd函数只用于实数变量。
例10-4在（0,
上求函数sinx的最小值。
Matlab中实现：
[x,y_min]=fminbnd（'
sin（x）'
0,2*pi）
4.7124
y_min=
-1.0000
或
[x,y_min]=fminbnd（@sin,0,2*pi）
例10-5对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的小正方形以制成方形无盖盒子，问如何剪法使盒子容积最大？
设剪去的正方形的边长为x，则盒子容积为
f（x）=（3-2x）2x
现在要求在区间（0,1.5）上确定x，使f（x）最大化。
因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求-f（x）最小化。
[x,f_min]=fminbnd（'
-（3-2*x）^2*x'
0,1.5）
f_min=
-2.0000
或编写M文件Ex1005.m
[x,f_min]=fminbnd（@Ex1005,0,1.5）
即剪去边长为0.5m的正方形，最大容积为2m3。
10.2.1.2fminsearch函数
fminsearch
求解多变量无约束函数的最小值。
其中，
为向量，
为一函数，返回标量。
格式：
x=fminsearch（fun,x0）
x=fminsearch（fun,x0,options）
x=fminsearch（fun,x0,options,P1,P2,...）
[x,fval]=fminsearch（...）
[x,fval,exitflag]=fminsearch（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（...）
fminsearch求解多变量无约束函数的最小值。
该函数常用于无约束非线性最优化问题。
x=fminsearch（fun,x0）初值为x0，求fun函数的局部极小点x。
x0可以是标量、向量或矩阵。
x=fminsearch（fun,x0,options）用options参数指定的优化参数进行最小化。
x=fminsearch（fun,x0,options,P1,P2,...）将问题参数P1、P2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的默认值。
[x,fval]=fminsearch（...）将x处的目标函数值返回到fval参数中。
[x,fval,exitflag]=fminsearch（...）返回exitflag值，描述函数的退出条件。
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（...）返回包含优化信息参数output的结构输出。
各变量的意义同前及下面fminunc函数。
（1）应用fminsearch函数可能会得到局部最优解；
（2）fminsearch函数只对实数进行最小化，即x必须由实数组成，f（x）函数必须返回实数。
如果x为复数，则必须将它分为实数部和虚数部两部分；
（3）对于求解二次以上的问题，fminunc函数比fminsearch函数有效，但对于高度非线性不连续问题时，fminsearch函数更具稳键性。
（4）fminsearch函数不适合求解平方和问题，用lsqnonlin函数更好一些。
例10-6求2x13+4x1x23-10x1x2+x22的最小值。
在Matlab中实现如下：
f='
2*x
（1）^3+4*x
（1）*x
（2）^3-10*x
（1）*x
（2）+x
（2）^2'
;
x0=[0,0];
[x,f_min]=fminsearch（f,x0）
1.00160.8335
-3.3241
或在Matlab编辑器中编辑M文件Ex1006.m：
functionf=Ex1006（x）
f=2*x
（1）^3+4*x
（1）*x
（2）^3-10*x
（1）*x
（2）+x
（2）^2;
x0=[0,0];
命令窗口运行：
[x,f_min]=fminsearch（@Ex1006,x0）
运行后结果一致。
10.2.1.3fminunc函数
fminunc
求多变量无约束函数的最小值。
格式：
x=fminunc（fun,x0）
x=fminunc（fun,x0,options）
x=fminunc（fun,x0,options,P1,P2,...）
[x,fval]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag,output]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc（...）
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（...）
fminunc给定初值，求多变量标量函数的最小值。
常用于无约束非线性最优化问题。
x=fminunc（fun,x0）给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。
x=fminunc（fun,x0,options）用options参数指定的优化参数进行最小化。
x=fminunc（fun,x0,options,P1,P2,...）将问题参数P1、P2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的默认值。
[x,fval]=fminunc（...）将x处的目标函数值返回到fval参数中。
[x,fval,exitflag]=fminunc（...）返回exitflag值，描述函数的退出条件。
[x,fval,exitflag,output]=fminunc（...）返回包含优化信息参数output的结构输出。
[x,fval,exitflag,output,grad]=fminunc（...）将解x处fun函数的梯度值返回到grad参数中。
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc（...）将解x处目标函数的Hessian矩阵信息返回到hessian参数中。
fun变量：
为目标函数。
fun函数需要输入向量参数x，返回x处的目标函数标量值f。
x=fminunc（inline（'
norm（x）^2'
）,x0）
同样，fun函数可以是一个包含函数名的字符串。
若fun=‘myfun’，则
x=fminunc（@myfun,x0）
其中M文件函数myfun.m必须有下面的形式：
functionf=myfun（x）
f=…%计算x处的函数值。
若fun函数的梯度可以算得，且options.GradObj设为’on’（用下式设定）
options=optimset（‘GradObj’,‘on’）
则fun函数必须返回解x处的梯度向量g到第二个输出变量中去。
注意，当被调用的fun函数只需要一个输出变量时（如算法只需要目标函数的值而不需要其梯度值时），可以通过核对nargout的值来避免计算梯度值
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