离散数学习题解答耿素云屈婉玲北京大学docxWord文档格式.docx
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后是有理数.其否定式今的真值为1.
（3）2.5是自然数.
2.5不是自然数.p：
2.5是自然数.q：
2.5不是自然数.其否定式q的真值为1.
（4）Ini是整数.
lnl不是整数.p：
lnl是整数.q：
lnl不是整数.其否定式g的真值为1.
4.将下列命题符号化，并指出真值.
（1）2与5都是素数
p:
2是素数，q:
5是素数，符号化为p八q,其真值为1・
（2）不但龙是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.
p：
龙是无理数，q：
自然对数的底e是无理数，符号化为PM，其真值为1.
（3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的白然数.
2是最小的素数，q：
2是最小的自然数，符号化为pxq，其真值为1.
（4）3是偶素数.
3是素数，q：
3是偶数，符号化为PM，其真值为0.
（5）4既不是素数，也不是偶数.
4是素数，q；
4是偶数，符号化为「"
「q,其真值为0.
5.将下列命题符号化，并指出真值.
（1）2或3是偶数.
（2）2或4是偶数.
（3）3或5是偶数.
（4）3不是偶数或4不是偶数.
（5）3不是素数或4不是偶数.
2是偶数，q：
3是偶数，厂：
3是素数，s:
4是偶数，/:
5是偶数
（1）符号化：
p7q,其真值为1.
（2）符号化：
pvr,其真值为1.
（3）符号化：
rvr,其真值为0.
（4）符号化：
f,其真值为1.
（5）符号化：
其真值为0.
6.将下列命题符号化.
（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
/?
：
小丽从筐里拿一个苹果，q：
小丽从筐里拿一个梨，符号化为：
pyq.
（2）这学期，刘晓月只能选学英语或tl语中的一门外语课.
刘晓月选学英语，q：
刘晓月选学口语，符号化为：
—pM）v（pr）.
7.设0：
王冬生于1971年，q:
王冬生于1972年，说明命题"
王冬生于1971年或1972年”既可以化
答:
列出两种符号化的真值表：
P
q
（pft-iq）V（-ipAq）
PVq
1
（1）只要错误!
（2）如果错误!
（3）只有错误!
（4）除非错误!
（5）除非错误!
，就有错误!
;
，则错误!
；
，才有错误!
，才有错误!
，否则错误!
根据真值表，可以判断出，只有当P与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值，但结合命题可以发现,P与q不可能同时为真，故上述命题有两种符号化方式.
&
将下列命题符号化，并指出真值.
（6）错误!
仅当错误味找到引用源。
.
设P：
，则错误!
设q：
未找到引用源。
符号化
真值
（1）
PF
（2）
（3）
（4）
-iq—R
（5）
-iq—p
（6）
PF
9.设p：
俄罗斯位于南半球,q：
亚洲人口最多，将下面命题用自然语言表述，并指出其真值:
（1）错误!
（2）错误!
（3）错误!
（4）错误!
（5）错误!
（6）错误!
（7）错误!
根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言
只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就最多
只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球
只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就最多
只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多
只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球
只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多
（7）
只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球
10.设p：
9是3的倍数,q：
英国与土耳其相邻，将下面命题用自然语言表述,并指岀真值:
根据题意,P为真命题,q为假命题.
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
11.将下列命题符号化，并给出各命题的真值：
（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；
（2）若2+2=4,则地球是运动不止的;
（3）若地球上没有树木，则人类不能生存；
（4）若地球上没有水，则错误!
是无理数.答:
命题1
命题2
p:
2+2=4
q:
地球是静止不动的
P*H
PT-1Q
P：
地球上有树木
q：
人类能生存
—ipt—iq
-iprq
12.将下列命题符号化，并给出各命题的真值：
（1）2+2=4当且仅当3+3=6；
（2）2+2=4的充要条件是3+3错误!
6；
（3）2+2错误!
4与3+3=6互为充要条件；
（4）若2+2错误!
4,则3+3错误!
6,反之亦然.答：
设p:
2+2=4,q:
3+3=6.
-iq
-ip$q
（）
ip<
>
叼
13.将下列命题符号化，并讨论各命题的真值：
（1）若今天是星期一，则明天是星期二；
（2）只有今天是星期一，明天才是星期二；
（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；
（4）若今天是星期一，则明天是星期三.
今天是星期一,q：
明天是星期二，「明天是星期三.
真值讨论
不会出现前句为真，后句为假的情况
q-p
必然为1
若P为真，则真值为0;
若p为假，则真值为1
14.将下列命题符号化：
（1）刘晓月跑得快，跳得高；
（2）老王是山东人或者河北人；
（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；
（4）王欢与李乐组成一个小组；
（5）李欣与李末是兄弟；
（6）王强与刘威都学过法语；
（7）他一面吃饭,一面听音乐；
（8）如果天下大雨，他就乘班车上班；
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班；
（10）除非天下大雨，否则他不乘班车上班；
（11）下雪路滑，他迟到了；
（12）2与4都是素数,这是不对的；
（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的.答：
命题3
刘晓月跑得快
刘晓月跳得高
—
"
老王是山东人
老王是河北人
（pA-ig）V（-ipAq）
天气冷
我穿羽绒服
pr
王欢与李乐组成
王欢与李乐组成一个
一个小组
小组
李辛与李末是兄
弟
李辛与李末是兄弟
王强学过法语
刘威学过法语
他吃饭
他听音乐
（8）
天下大雨
他乘车上班
（9）
q:
qfp
（10）
qrD
（11）
下雪
路滑
r：
他迟到了
（pgtr
（12）
2是素数
4是素数
-i（pg
（13）
q））
15.设卩：
2+3=5.
大熊猫产在中国.
太阳从西方升起.
求下列符合命题的真值：
p真值为1,q真值为1,r真值为0.
（1）0,
（2）0,（3）0,（4）1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：
17.判断下面一段论述是否为真：
“错误!
是无理数.并且，如果3是无理数,则错误!
也是无理数•另外，只有6能被2整除,6才能被4整除.”
错误味找到引用源。
是无理数q:
3是无理数r:
是无理数s:
6能被2整除t：
6能被4整除
符号化为:
，该式为重言式，所以论述为真。
18.在什么情况下，下面一段论述是真的:
“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而说如果小王会唱歌，小李就会跳舞是不正确的.”
小王会唱歌。
小李会跳舞。
真值为1.错误!
真值为0.可得，p真值为1,q真值为0.
所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型：
P错误!
解:
r
Pt（pVqVr）
此式为重言式
（P错误!
此式为ij满足式
-i（q—r）Ar
此式为才盾式
（pTq）T（-1QT-ip）
p
（pAr）令ipA—>
q）
此式为可满足式
（（pTQs@Tri）Y（pT"
s
（p—q）J（g
20.求下列公式的成真赋值:
解：
-ipTq
pv-iq
（FAq）T「F
-i（pVq）tq
由真值表得：
（1）的成真赋值是01,10,11
（2）的成真赋值是00,10,11
（3）的成真赋值是00,01,10（4）的成真赋值是01,10,11
21.求下列各公式的成假赋值:
—1（—ipAQ）V—11'
〔PTq）AC-i（pAf）Vp）
rti真值表得：
（1）的成假赋值是011
（2）的成假赋值是010,110
（3）的成假赋值是100,101
22.已知公式错误!
是矛盾式，求公式错误!
成真和成假赋值.
・・・错误!
是矛盾式・・・错误!
也是矛盾式。
由此可得：
该式无成真赋值。
而成假赋值为：
ooo,001,010,011,loo,loi,no,m
23.已知公式错误!
是重言式,求公式错误!
的成真和成假赋值.
・・•错误!
是重言式，.••错误!
也是重言式。
该式无成假赋值。
而成真赋值为：
24.已知错误!
是重言式，试判断公式错误!
及错误!
未找到引用源。
的类型.
是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11,A错误!
都是重言式。
25.已知错误!
是矛盾式，试判断公式错误!
是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00,A错误!
26.已知错误!
是重言式，错误!
是矛盾式，试判断错误!
未找到引用源。
是矛盾式。
是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项P1,P2,-,Pn的公式，证明:
是重言式当且仅当A和B都是重言式.
A
B
AAB
市真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，错误!
28.设A、B都是含命题变量项“P2,…,s的公式，已知错误!
是矛盾式，能得出A和B都是矛盾式的结论吗？
为什么？
AAE
同样由真值表可得，错误!
的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29.设A、B都是含命题变量项P1,p2,-,pn的公式，证明:
是矛盾式当且仅当A和B都是矛盾式.
AVR
由真值表可得，当且仅当A和B都是矛盾式时，错误!
30.设A、B都是含命题变量项p】,p2,…,s的公式，已知错误!
是重言式，能得出A和B都是重言式的结论吗？
AVB
由真值表可得错误!
的成真赋值有01,10,11.所以无法得到A和B都是重言式。
习题二
1・设公式A=piq,B=p八「q,用真值表验证公式A和3适合德摩根律:
-i（AvB）<
=>
^4a-iS
—（A7B）
―\Aa―B
2.公式A和B同题
（1）,用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式.
At3
AtB
-iAvB
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
（1）—{p/\qTq）
原式二—1（—1（/7av
=-（-\pv—qvg）
=0
是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
（1）人q）\/（#人—ig）
右式=p/\（qv—iq）=p八1=p
（2）（（pTq）人（#T厂））o（/?
T（g人厂））
右式二-ipv（（7ar）=（—ipv（7）a（-^pvr）=（pTq）人（/?
Tr））二左式
（3）-i（D㈠q）o（Pvq）人一>
（〃aq）
左式=-|（^/?
V^f）V-|（J7V-I^）
=（pv（-!
/2A<
7））A（「qv（rpAq））
=（pv（/）
（4）（/?
A—）（?
）V（-1/?
A（7）<
（pV^）a—!
（/?
A<
7）
左式=（/?
V（-tpA^））A（-!
^V（-^pA^））
=（pvq）八7pm）
5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
（1）（「pTg）T（制Vp）
签.
（-1〃Tg）T—qvp）=（pv（7）（-1^vp）=-i（pvv（「qvp）
=（~ypA-iq）V（-iQA（pV-）/?
））V（pA（^V—^）
=（/?
A^）v（pv-ip）v（-1#a-iq）=叫vm2v“
成真赋值为00,10,11.
（2）-y（pq）/\q/\r
一i（#Tq）人g人厂=—i（”\/q）aq/\r=pa-i^aga=0
所以为矛盾式。
（3）（pvar））（pvvr）
答
（pvar））—>
（pvvr）=—1（pvar））v（pvtyvr）=（「pa—i（qar））v（pv（yvr）
=（—1/?
a（—iqv—ir））v（pvr）=（—1/?
a—it/）v（—ipa—ir）v（pv（yvr）
a—\qA（rv—ir）v（—/>
A（tyv—it/）a—ir）v（pa（^v—iq）a（/*v—i厂））
v（（pv「/?
）At/A（rv-ir））v（（pv—p）a（^v—iq）ar）
A—iqAr）V（—1/?
A—!
§
A—If）V（—1/?
At/A—if）V（/2AAf）v（PAFA厂）V（pa—i?
0v（pa—it/a—ir）v（—i/?
a（7ar）=叫v加］v叫v叫v7%vvm6vg
所以是重言式，真值为000,001,010,Oil,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：
（1）-（q—>
—p）a—1/7
一1（<
7—>
-/?
）A—1/?
=—1（—QV―/?
）A—tp=CJ/\p/\—tp—0,是矛盾式，所冇赋值均
为成真赋值。
（2）（/?
a^）v（-ipvr）
（p/\q）v（rp\/r）=（pv-
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