球形载流线圈的场分布与自感文档格式.docx
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因在球面上，
，所以
代入上式，可知对应于球面上线匝密度分布W′，应有
即沿球表面，该载流线圈的线匝密度分布W′正比于
，呈正弦分布。
因此，本实验模拟的在球表面上等效的面电流密度K的分布为
由上式可见，面电流密度K周向分布，且其值正比于
。
因为，在由球面上面电流密度K所界定的球内外轴对称场域中，没有自由电流的分布,所以,对应于如图1-8所示的计算场域，可采用标量磁位ϕm为待求场量，列出待求的边值问题如下：
上式中泛定方程为拉普拉斯方程，定解条件由球表面处的辅助边界条件、标量磁位的参考点，以及离该磁通球无限远处磁场衰减为零的物理条件所组成。
通过求解球坐标系下这一边值问题，可得标量磁位ϕm1和ϕm2的解答，然后，最终得磁通球内外磁场强度为
基于标量磁位或磁场强度的解答，即可描绘出磁通球内外的磁场线分布，如图1-9所示。
由上述理论分析和场图可见，这一典型磁场分布的特点是：
ⅰ）球内H1为均匀场，其取向与磁通球的对称轴（z轴）一致，即
（1-3）
ⅱ）球外H2等同于球心处一个磁偶极子的磁场。
（2）球形载流线圈自感系数L的分析计算
在已知磁通球的磁场分布的情况下，显然就不难算出其自感系数L。
现首先分析如图1-10所示位于球表面周向一匝线圈中所交链的磁通φ，即
然后，便可分析对应于球表面上由弧元
所界定的线匝dW所交链的磁通链
这样，总磁通链ψ就可由全部线匝覆盖的范围，即
由0到π的积分求得
最终得该磁通球自感系数L的理论计算值为
（1-4）
在本实验研究中，磁通球自感系数L的实测值可通过测量相应的电压、电流来确定。
显然，如果外施电源频率足够高，则任何电感线圈电阻在入端阻抗中所起的作用可被忽略。
此时，其入端电压和电流之间的相位差约等于90°
，即可看成一个纯电感线圈。
这样，由实测入端电压峰值与电流峰值之比值，即可获得感抗ωL的实测值，由此便得L的实测值。
（3）感应电势法测磁感应强度
若把一个很小的探测线圈放置在由交变电流激磁的时变磁场中，则根据法拉第电磁感应定律，该探测线圈中的感应电动势
（1-5）
式中，ψ为与探测线圈交链的磁通链。
如果探测线圈的轴线与磁场方向相一致，且磁场由正弦交变电流激励，那末，对应于式（1-5）的有效值关系为
由于探测线圈所占据的空间范围很小，故该线圈内的磁场可近似认为是均匀的，因此有Φ=BS=μ0HS，从而，被测处的磁感应强度
式中，N1为探测线圈的匝数；
E为探测线圈中感应电势的有效值（V）；
B为被测处磁感应强度的有效值（T）；
f为正弦交变电流的频率，本实验采用5kHz的交流；
S为探测线圈的等效截面积（m2）（关于S的计算方法参阅附录1）。
（4）霍耳效应法测磁感应强度
霍耳元件被制备成一块矩形（b×
l）半导体薄片，如图1-11所示。
当在它的对应侧通以电流I，并置于外磁场B中时，在其另一对应侧上将呈现霍耳电压Vh，这一物理现象称为霍耳效应。
霍耳电压为
（1-7）
式中，Rh为霍耳常数，取决于半导体材料的特性；
d是半导体薄片的厚度；
f（l/b）是霍耳元件的形状系数。
由式（1-7）可见，在Rh、d、I、f（l/b）等参数值一定时，Vh∝B（Bn）。
根据这一原理制成的霍耳效应高斯计，通过安装在探棒端头上的霍耳片，即可直接测得霍耳片所在位置的磁感应强度的平均值（T或Gs，1T=104Gs）。
本实验采用5070型高斯计，它既可测量时变磁场，也可测量恒定磁场（该高斯计使用方法简介参阅附录2）。
应指出，在正弦交流激励的时变磁场中，霍耳效应高斯计的磁感应强度平均值读数与由感应电势法测量并计算得出的磁感应强度的有效值之间的关系为
（1-8）
〖相关知识点〗
●
法拉第电磁感应定律；
恒定磁场、磁准静态场；
标量磁位ϕm、磁场强度H和磁感应强度B；
面电流密度K；
边值问题；
自感系数L；
霍耳效应。
三、主要仪器设备（必填）
球形载流线圈（磁通球）实验装置
1．
磁通球
2．
探测线圈棒
3．
无感电阻
4．
磁通球激磁电源（附交流毫伏表）
5．
示波器
6．
高斯计
图1-1
球形载流线圈（磁通球）
球半径R=5cm
线匝数N=131匝
材料：
环氧树脂（μ≈μ0）
结构特征：
精心缠绕的线匝模拟了铅垂方向具有均匀线匝密度分布的磁通球的设计要求
图1-2
3.磁通球激磁电源（附交流毫伏表）
输出直流：
0~1.3A
输出交流：
5kHz，0~1.3A
交流毫伏表：
0~50mV
图1-3磁通球激磁电源（附交流毫伏表）
探测线圈
探测线圈等效截面积的计算
探测线圈的轴向剖面图如图1-4（b）所示。
由于线圈本身的尺寸很小，故线圈内的磁场分布可近似认为是均匀的。
图中半径为r，厚度为dr的薄圆筒状线匝所包围的轴向磁通为
故与该薄筒状线匝所交链的磁通链为
式中
是薄筒状线圈对应的匝数。
将上式取积分，就可求出探测线圈的磁通链
因此，探测线圈的等效截面积为
（2）
5.
高斯计（5070型）
图1-5（a）接有横向探棒的5070型高斯计
图1-5（b）5070型高斯计的横向探棒
5070型高斯计的使用方法（简介）
本实验应用的5070型高斯计配有横向探棒，其结构示意图如图1-5（b）所示。
使用操作步骤如下：
ⅰ，将横向探棒接入高斯计右侧插孔中；
ⅱ，自测：
接通电源（按下POWER键），高斯计即进入自测过程。
若有故障，则显示“Err”；
ⅲ，测量模式选择：
调节FUNCTION选择器的指示，在MODE位置上配合SELECT键，可显示DC（恒定磁场）或AC（时变磁场）两种测量模式的选择；
ⅳ，测量单位的选择：
调节FUNCTION选择器，在UNITS位置上配合SELECT键，可显示G（高斯）、T（特斯拉）或A/m（安/米）三种测量单位的选择（前二者对应于磁感应强度B在CGS制与SI制中的单位（1T=104Gs）；
后者则对应于磁场强度H在SI制中的单位）；
ⅴ，测试量程选择：
调节FUNCTION选择器，在RANGE位置上配合SELECT键，可显示所期望的测试量程，如G、kG等；
ⅵ，零位调整：
高斯计探棒初始读数置零的操作是保证磁感应强度测量精度的前提条件。
首先，为屏蔽外磁场对探棒零读数的影响，可将探棒插入“零磁通腔”内；
然后，可选择自动调零功能，即将FUNCTION选择器置于ZERO的位置，按下AUTO键，约在5-10秒内该高斯计自动完成探棒初始读数置零操作。
ⅶ，测量：
将FUNCTION选择器置于MEASURE位置，即可读出被测场点处的磁感应强度值。
如果被测磁场范围未知时，应选择高量程测试（测量时，对应于G和T的测量单位的选择，超量程指示为“1999”）。
6.
20MHz模拟示波器
图1-6模拟示波器
四、操作方法和实验
（1）
测量磁通球轴线上磁感应强度B的分布
ⅰ）沿磁通球轴线方向上下调节磁通球实验装置中的探测线圈，在5kHz正弦交变电流（I=1A）激励情况下，每移动1cm由毫伏表读出探测线圈中感应电势的有效值E，然后，应用式（1-6）计算磁感应强度B；
ⅱ）在上述激磁情况下，应用5070型高斯计及其探棒，通过调节探棒端头表面位置，使之有最大霍耳电压的输出（即高斯计相应的读数最大），此时，探针面应与磁场线正交。
由此可以由高斯计直接读出磁通球北极（r=0，z=R）处磁感应强度Bav。
（2）
探测磁通球外部磁场的分布
ⅰ）在5kHz正弦交变电流（I=1A）激励情况下，继续探测磁通球外部磁场的分布。
测试表明，磁场分布如同图1-3所示：
磁场正交于北极表面；
在赤道（r=R，z=0）处，磁场呈切向分布；
磁通球外B的分布等同于球心处一个磁偶极子的磁场；
ⅱ）在直流（I=1A）激励情况下，应用高斯计重复以上探测磁通球外部磁场分布的实测过程，并定量读出磁通球北极（z=R）处磁感应强度B。
（3）
磁通球自感系数L的实测值
本实验在电源激励频率为5kHz的情况下，近似地将磁通球看作为一个纯电感线圈。
因此，通过应用示波器读出该磁通球的激磁电压u（t）和电流i（t）的峰值[本实验中，i（t）的波形可由串接在磁通球激磁回路中的0.5Ω无感电阻上的电压测得]，即可算出其电感实测的近似值L。
应指出，以上电压峰值读数的基值可由示波器设定，而电流峰值读数的依据既可来自于数字电流表的有效值读数，也可来自于0.5Ω无感电阻上的电压降。
（4）
观察磁通球的电压、电流间的相位关系
应用示波器观察磁通球的激磁电压u（t）和电流i（t）间的相位关系；
五、实验数据记录和处理
1.球形载流线圈的场分布与自感
1）磁通球轴线上磁感应强度B的分布
i.感应电势法测磁感应强度B
正弦激磁电流I=1A，f=5kHz，磁感应强度
序号
坐标r（cm）
（θ=0）
感应电势法
磁感应强度理论值
（Gs）
相对误差
测试线圈的感应电势E（mV）
磁感应强度B（Gs）
1
-5
27
10.52068966
10.96
4.01%
2
-4
28
10.91034483
0.45%
3
-3
27.5
10.71551724
2.23%
4
-2
5
-1
6
27.1
10.55965517
3.65%
7
8
9
27.3
10.63758621
2.94%
10
27.9
10.87137931
0.81%
11
平均值
27.2727
10.627
3.04%
由于球形载流线圈内磁场分布均匀，故将所测得的11组数据平均，作为所测得的磁感应强度，即10.627Gs，而磁感应强度的理论值则为10.96Gs，相对误差为3.04%。
可见实测值比理论值略微偏小，这是因为激磁电流源并不能稳定输出1A激磁电流，且交流毫伏表在测量时也会引入误差。
ii.霍尔效应法的磁感应强度B
计算磁感应强度
坐标（r,θ）
（cm,rad
霍尔效应法
实测值Bav（Gs）
计算磁感应强度B（Gs）
“北极”（交流激磁I=1A）
9.4
10.44444444
“北极”（直流激磁I=1A）
10.3
11.44444444
“赤道”（交流激磁I=1A）
4.7
5.222222222
“赤道”（直流激磁I=1A）
4.6
5.111111111
由实验数据可见，在北极处的磁感应强度比理论数据偏小，且交流激磁产生的磁感应强度要小于直流激磁产生的磁感应强度。
这是由于在用高斯计测量时，测量的是载流线圈外部的磁感应强度，即使十分靠近北极，所测得的磁感应强度也会比感应电势法测得磁感应强度小。
而且高斯计探棒在使用时不能完全保证其垂直于磁场线，这也会带来误差。
又由于测量的是载流线圈外部的磁感应强度，其分布不再均匀，故赤道测得的磁感应强度小于北极。
2）磁通球自感系数L的分布
Um（V）
Im（A）
实测值
，（H）
理论值
12.5
0.64
17.40%
由实验数据可见，实测值与理论值相差较大。
自感系数L的测量误差来源主要有方法误差、仪器误差。
方法误差在于测量时做了近似，将电源两端电压近似认为是载流线圈两端电压，产生误差。
仪器误差主要是选择的示波器，仪器精度不够高，示波器在读数时易产生较大误差，且信号易受干扰。
3）电压、电流间的相位关系
如图所示，u（t）为磁通球及无感取样电阻R两端电压，uR（t）为无感取样电阻R两端电压。
所以激磁电流
由图可读出Um及Im，也可观察到电压超前电流
六、实验结果与分析（必填）
（1）画出沿磁通球轴线B（z）|r=0的分布曲线，并按式（1-1）或式（1-3）的解析解，分析讨论理论值与实测值之间的对应关系，以及磁通球内磁场分布的特征；
将测得的磁感应强度画成图像如下：
从所测得数据可以看出，实测值比理论值偏小，这可能是因为电流源发出的信号没有达到我们所需的1A。
对于磁通球内磁场分布的特征，我使用仿真来说明：
我将以下程序键入ANSYS的命令框：
!
球形载流线圈在球表面层面电流密度按正弦分布
本例中如下处理：
每匝线圈截面相同，电流密度按线圈相应位置加载，使得球表面层面电流密度按正弦分布
静态分析
finish
/clear
定义参数，单位均采用国际制单位
r0=0.5!
场域外边界所对应的半径
r1=0.05!
球形载流线圈内半径
r2=0.051!
球形载流线圈外半径
dcita=1.0!
每个小线圈截面所占的角度
pi=2*asin
（1）!
3.1415926
alpha0=13!
两极未绕线圈的cita角度
mm=0
*do,i,alpha0+1,180/dcita-alpha0
mm=mm+sin（（0.5+i-1）*pi/180）
*enddo
js0=131*360/（mm*pi*（r2*r2-r1*r1））!
与电流密度相关的常数
前处理
/prep7!
et,1,plane53,,,1!
指定单元类型，轴对称场分析
mp,murx,1,1!
指定1号材料（空气）的相对磁导率
mp,murx,2,1!
指定2号材料（线圈）的相对磁导率
建立几何模型,实时显示
*do,i,1,180/dcita
pcirc,r1,r2,-90+（i-1）*dcita,-90+i*dcita
pcirc,0,r0,-90,90
aovlap,all
对几何模型（即，面）设置属性
选择线圈所对应的面，根据位置来选择
csys,1!
选择柱坐标系
asel,s,loc,x,r1,r2!
选择面，
aplot!
图形显示面，以查看所选择的面是否正确
aatt,2,,1,0,!
赋予属性
选择线圈以外的空气区域
allsel!
选择所有的模型
asel,u,loc,x,r1,r2!
不选择线圈所对应的面
aatt,1,,1,0
剖分，建立网格
先划分线圈所在区域
asel,s,mat,,2!
根据材料号来选择线圈
esize,,1!
单元分割数为1，即每个线圈截面就是一个单元，单元尺寸，单元份数，
amesh,all
划分线圈外的空气区域
lsel,s,loc,x,r0!
选择外边界处的圆弧线
lesize,all,,,180!
划分数为180
lsel,s,loc,x,0.5*（r1+r0）
lesize,all,,,80,8!
相邻的划分比例之间的比例
asel,s,loc,x,r2,r0
划分线圈内的空气区域，均匀变化，不用选得太细
smrtsize,3
mshape,1,2d!
三角形单元
mshkey,0!
自由剖分
asel,s,loc,x,0,r1
加载线圈电流密度
asel,s,loc,x,r1,r2
asel,r,loc,y,-90+（i-1）*dcita,-90+i*dcita
esla
bfe,all,js,,,,js0*sin（（0.5+i-1）*pi/180）
加载外边界磁力线平行边界条件
allsel
lsel,s,ext!
选择外边界处的线
dl,all,,asym!
磁力线平行
save
/solu
antype,0
solve
/post1
PLF2D,27,0,10,1
回车后得到：
查看一条路径上的结果：
先定义一条路径：
MainMenu>
GeneralPostproc>
PathOperations>
DefinePath>
ByLocation，出现窗口：
点击OK，出现窗口：
如图输入相应数据，点击OK。
窗口不变，如下图修改数据：
点击OK后，再点击Cancel。
显示路径：
PlotPaths，看见如下图形：
将结果数据（磁感应强度的y方向分量）映射到路径上：
MapontoPath：
图形显示结果：
PlotPathItem>
OnGraph，出现窗口：
点击OK。
看到如下图形：
也可列表显示路径上的结果数据：
PlotPathItem>
ListPathItems，出现窗口：
出现如下结果：
PRINTALONGPATHDEFINEDBYLPATHCOMMAND.DSYS=0
*****PATHVARIABLESUMMARY*****
SBY
0.00000.11129E-02
0.50000E-020.11129E-02
0.10000E-010.11130E-02
0.15000E-010.11132E-02
0.20000E-010.11133E-02
0.25000E-010.11134E-02
0.30000E-010.11136E-02
0.35000E-010.11137E-02
0.40000E-010.11138E-02
0.45000E-010.11138E-02
0.50000E-010.11128E-02
0.55000E-01-0.43290E-03
0.60000E-01-0.33366E-03
0.65000E-01-0.26262E-03
0.70000E-01-0.21058E-03
0.75000E-01-0.17137E-03
0.80000E-01-0.14142E-03
0.85000E-01-0.11805E-03
0.90000E-01-0.99636E-04
0.95000E-01-0.84886E-04
0.10000-0.72941E-04
我们可以显然看出，在0<
X<
0.50000范围内，磁场的值基本不变。
所以，沿磁通球轴线磁场为均匀场分布形态。
（2）对磁通球北极处在交流激磁（I=1A）情况下探测线圈和高斯计的读数，以及在直流激磁（I=1A）情况下高斯计的读数，予以比较，并进而给出该处磁感应强度B的实测值与理论值之间的比较；
全磁场
X向磁场
Y向磁场
整个磁场分布
在I=1A（直流或交流有效值）激励情况下，位于磁通球北极处，霍耳效应高斯计测得Bav≈9.7GS；
感应电势法测得探圈的感应电势E≈27mV，由此可算得B≈10.69GS。
基于Bav≈0.9B，即可对上述两种测磁方法在交变磁场条件下的应用作出分析与讨论。
（3）计算磁通球自感系数L的实测值，并按式（1-4）由磁通球的设计参数算出自感系数L的理论值，加以比较和讨论；
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