数学模型总结.doc

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【数学建模】数学模型总结

四类基本模型

1优化模型

1.1数学规划模型

线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2微分方程组模型

阻滞增长模型、SARS传播模型。

1.3图论与网络优化问题

最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题（MST）、旅行商问题（TSP）、图的着色问题。

1.4概率模型

决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

1.5组合优化经典问题

l多维背包问题（MKP）

背包问题：

个物品，对物品，体积为，背包容量为。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：

个物品，对物品，价值为，体积为，背包容量为。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：

资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于难问题。

l二维指派问题（QAP）

工作指派问题：

个工作可以由个工人分别完成。

工人完成工作的时间为。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：

台机器要布置在个地方，机器与之间的物流量为，位置与之间的距离为，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：

校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

l旅行商问题（TSP）

旅行商问题：

有个城市，城市与之间的距离为，找一条经过个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

l车辆路径问题（VRP）

车辆路径问题（也称车辆计划）：

已知个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

l车间作业调度问题（JSP）

车间调度问题：

存在个工作和台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。

2分类模型

判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分析。

聚类分析则是给定的一批样品，要划分的类型实现并不知道，正需要通过局内分析来给以确定类型的。

2.1判别分析

l距离判别法

基本思想：

首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组（类）的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第类的重心距离最近，就认为它来自第类。

至于距离的测定，可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

lFisher判别法

基本思想：

从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式。

其中系数确定的原则是使两组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。

对于一个新的样品，将它的p个指标值代人判别式中求出y值，然后与判别临界值（或称分界点（后面给出）进行比较，就可以判别它应属于哪一个总体。

在两个总体先验概率相等的假设下，判别临界值一般取：

最后，用统计量来检验判别效果，若则认为判别有效，否则判别无效。

以上描述的是两总体判别，至于多总体判别方法则需要加以扩展。

Fisher判别法随着总体数的增加，建立的判别式也增加，因而计算比较复杂。

lBayes判别法

基本思想：

假定对所研究的对象有一定的认识，即假设个总体中，第个总体的先验概率为，概率密度函数为。

利用bayes公式计算观测样品来自第个总体的后验概率，当时，将样本判为总体。

l逐步判别法

基本思想与逐步回归法类似，采用“有进有出”的算法，逐步引入变量，每次引入一个变量进入判别式，则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

2.2聚类分析

聚类分析是一种无监督的分类方法，即不预先指定类别。

根据分类对象不同，聚类分析可以分为样本聚类（Q型）和变量聚类（R型）。

样本聚类是针对观测样本进行分类，而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量，而又不丢失大部分信息。

变量聚类是一种降维的方法。

l系统聚类法（分层聚类法）

基本思想：

开始将每个样本自成一类；然后求两两之间的距离，将距离最近的两类合成一类；如此重复，直到所有样本都合为一类为止。

适用范围：

既适用于样本聚类，也适用于变量聚类。

并且距离分类准则和距离计算方法都有多种，可以依据具体情形选择。

l快速聚类法（K-均值聚类法）

基本思想：

按照指定分类数目，选择个初始聚类中心；计算每个观测量（样本）到各个聚类中心的距离，按照就近原则将其分别分到放入各类中；重新计算聚类中心，继续以上步骤；满足停止条件时（如最大迭代次数等）则停止。

使用范围：

要求用户给定分类数目，只适用于样本聚类（Q型），不适用于变量聚类（R型）。

l两步聚类法（智能聚类方法）

基本思想：

先进行预聚类，然后再进行正式聚类。

适用范围：

属于智能聚类方法，用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。

可以同时处理离散和连续变量，自动选择聚类数，可以处理超大样本量的数据。

l模糊聚类分析

l与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

2.3神经网络分类方法

3评价模型

3.1层次分析法（AHP）

基本思想：

是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。

将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序，在此基础上进行定性和定量分析。

它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。

基本步骤：

构建层次结构模型；构建成对比较矩阵；层次单排序及一致性检验（即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性）；层次总排序及一致性检验（检验层次之间的一致性）。

优点：

它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。

从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

缺点：

用AHP进行决策主观成分很大。

当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。

适用范围：

尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。

要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。

另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。

改进方法：

（1）成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。

（2）如果评价指标个数过多（一般超过9个），利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。

可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。

3.2灰色综合评价法（灰色关联度分析）

基本思想：

灰色关联分析的实质就是，可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。

关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，反之，变化态势则相悖。

由此可得出评价结果。

基本步骤：

建立原始指标矩阵；确定最优指标序列；进行指标标准化或无量纲化处理；求差序列、最大差和最小差；计算关联系数；计算关联度。

优点：

是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型，该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，可以排除人为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确。

整个计算过程简单，通俗易懂，易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理，可用原始数据进行直接计算，可靠性强；评价指标体系可以根据具体情况增减；无需大量样本，只要有代表性的少量样本即可。

缺点：

要求样本数据且具有时间序列特性；只是对评判对象的优劣做出鉴别，并不反映绝对水平，故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。

适用范围：

对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，适合只有少量观测数据的问题；应用该种方法进行评价时，指标体系及权重分配是一个关键的问题，选择的恰当与否直接影响最终评价结果。

改进方法：

（1）采用组合赋权法：

根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

（2）结合TOPSIS法：

不仅关注序列与正理想序列的关联度，而且关注序列与负理想序列的关联度，依据公式计算最后的关联度。

3.3模糊综合评价法

基本思想：

是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级（或称为评语集）状况进行综合性评价的一种方法。

综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数评判指标，再据此排序择优。

基本步骤：

确定因素集、评语集；构造模糊关系矩阵；确定指标权重；进行模糊合成和做出评价。

优点：

:

数学模型简单，容易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。

模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。

评判逐对进行，对被评对象有唯一的评价值，不受被评价对象所处对象集合的影响。

接近于东方人的思维习惯和描述方法，因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。

缺点：

并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题，隶属函数的确定还没有系统的方法，而且合成的算法也有待进一步探讨。

其评价过程大量运用了人的主观判断，由于各因素权重的确定带有一定的主观性，因此，总的来说，模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。

应用范围：

广泛地应用于经济管理等领域。

综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。

改进方法：

（1）采用组合赋权法：

根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

3.4BP神经网络综合评价法

基本思想：

是一种交互式的评价方法，它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值，直到用户满意为止。

因此，一般来说，人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

优点：

神经网络具有自适应能力，能对多指标综合评价问题给出一个客观评价，这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。

在以前的评价方法中，传统的权重设计带有很大的模糊性，同时权重确定中人为因素影响也很大。

随着时间、空间的推移，各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化，确定的初始权重不一定符合实际情况。

再者，考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统，必须建立权重的学习机制，这些方面正是人工神经网络的优势所在。

针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性，采用神经网络原理可对变量进行贡献分析，进而剔除影响不显著和不重要的因素，以建立简化模型，可以避免主观因素对变量选取的干扰。

缺点：

ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式，权值不能解释为一种回归系数，也不能用来分析因果关系，目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。

需要大量的训练样本，精度不高，应用范围是有限的。

最大的应用障碍是评价算法的复杂性，人们只能借助计算机进行处理，而这方面的商品化软件还不够成熟。

适用范围：

神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性，能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。

在对学习样本训练中，无需考虑输入因子之间的权系数，ANN通过输入值与期望值之间的误差比较，沿原连接权自动地进行调节和适