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也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素
（ZF7）替换公理：
也就是说，对于任意的公式A（x，y），对于任意的集合t，当x属于t时，都有y，使得A（x，y）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使A（x，y）成立。
也就是说，由A（x，y）所定义的有序对的类的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
（ZF8）基础公理：
也叫基础公理。
所有集都是良基集。
说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。
（AC）选择公设
对任意集c存在以c为定义域的选择函数g,
使得对c的每个非空元集x.g（x）属于x
ZF集合公理系统加上AC就成为ZFC公理系统
注：
ZF为Zermelo及Fraenkel
2公理化方法
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什么是公理化方法
随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。
公理化是一种数学方法。
最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’（如两点之问可连一直线）是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理”（如三对应边相等的陌个三角形垒等）则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特（DavidHilbert）在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。
他认为每一种数学理论部应以“基本概念——公理——定理”的模式来建立：
这里的公理是作为理论出发点的科学假设，它们要求有完备性（任何定理可由此导出），独立性（去掉其中之一有的定理就不能成立）和相容性（公理问是无矛盾的）,但公理本身也由人们作各种解释。
20世纪以来，整个数学几乎都巳按希尔伯特的漠式得到公理化处理。
公理化方法的应用发展
经济学中的公理化方法从30年代起就有了应用，但对经济学有决定性影响的则是德布鲁（G·
Debreu）的经典著作:
《价值理论：
经济均衡的一种公理化分析》在这一公理化分析中的基本概念是：
商品空问、价格体系，消费者和生产者。
由此又可导出需求、供给、可达状态、经济均衡等概念。
然后，再对各个抵念作出明确的数学规定，即公理，这包括一些最基本的前提假设。
供求双方的相互作用通过价格机制来间接完成，最终价格使经济中对立的、变动的力量达到一种力量相当、相对静止、不再变动的境界，实现了所有市场参与者的最大化和供求相等的状态，印市场出清了。
这是由公理出发证明的一般均衡存在的定理。
德布鲁以后，公理化方法已渗入到经济学的各个领域，它的优点首先在于能够使经济学中的“公理”与“定理”严格区分开来。
侧如，认为完全竞争与认为不完全竞争就是陌条不同的“公理”，它们导出的“定理”自然有所不同，但应该争论的是“公理”，而不应是“定理”，“公理”上的分歧是观念问题因此，一般均衡存在定理虽然是划分学派的重要标准，是经济自由主义与国家干预主义的分界线，但是在经济学中，对市场出清定理的分歧．是源于公理上的分歧，集中体现了两派在基本观念上的分歧。
公理化方法的重要应用之一是利用形式逻辑建立学科理论知识的关系。
关于形式逻辑在会计基本理论发展中的作用,利奥·
Ａ·
施密特教授曾做过有益的探索。
他提出,演绎逻辑是“通过显示讨论中的某一现象是一种公认判定的特定例证或应用,从而形成结论的过程。
公认判定在专业上称为大前提,特征事实的表述则称为小前提。
”而且,他还尝试着列举了三个会计方法中的大前提以及如何运用三段论式的演绎方法表述存货计价的方法。
他在研究中将演绎的方法引入会计学,具有一定的学术价值。
但其中仍存在一些不足:
他仅仅看到在会计师的日常工作中的确存在着一些观念性的公认的前提,而他们所做出的判定又往往是基于某种前提的暗示,但是对于这种暗示的实质并没有加以揭示。
而且,他没有具体解释这些前提在会计基本理论结构中的地位、作用以及理论本身发展所可能遵循的途径。
他的观点还停留在对会计活动的直观感受上,而尚未将其与公理学以及数理逻辑的研究成果相结合,上升为一种系统化的理性熟悉,因此也没能指出会计学演绎方法的本质。
数学公理化方法
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。
它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
公元前6世纪前后，希腊数学家泰勒斯（Thales）开始了几何命题的证明，开辟了几何学作为证明的演绎科学的方向。
毕达哥拉斯学派的欧多克斯于公元前4世纪在处理不可通约量时，建立了一公理为依据的演绎方法。
爱奥尼亚学派的芝诺（Zeno）在论辩术中运用了归谬法。
伯拉图阐明了许多逻辑原则。
亚里士多德在其著作《分析篇》中，对公理方法作了系统总结，指出了演绎证明的逻辑结构和要求，从而奠定了公理化方法的基础。
公元前3、4世纪之交，希腊数学家欧几里德在总结前人积累的几何知识基础上，把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，运用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了传世之作《几何原本》，标志着数学领域中公理化方法的诞生。
由于《几何原本》在第五公设的陈述和内容上复杂而累赘，引起人们对这一公设本身必要性的怀疑。
在此后的2000多年间，人们试图给出一个第五公设的证明，但所有的尝试都失败了。
19世纪，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基吸取前人失败的教训，从反面提出问题，给出了一个新的公理体系，创立了非欧几何学。
这是公理化方法的进一步发展。
1899年，德国数学家希尔伯特在前人工作的基础上，著《几何基础》一书，解决了欧氏几何的欠缺，完善了几何公理化方法，创造了全新的形式公理化方法。
为了避免在数学中出现悖论，希尔伯特认为要设法绝对的证明数学的无矛盾性，致使他从事“证明论的研究”，于是希尔伯特又把公理化方法推向一个新阶段，即纯形式化发展阶段，这就产生了纯形式公理化方法。
几何学的公理化，成为其它学科及分支的楷模。
相继出现了各种理论的公理化系统，如理论力学公理化，相对论公理化，数理逻辑公理化，概率论公理化等。
同时，纯形式公理化方法推动了数学基础的研究，并为机算机的广泛应用开阔了前景。
3[编辑本段]
第五公设
同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°
，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
第五公设又称为平行公设，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。
也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？
能不能依靠前四个公设来证明第五公设？
这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？
第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"
罗氏几何"
。
这是第一个被提出的非欧几何学。
第五公设的等价公设
在试图证明第五公设的正确性的过程中，不少数学家提出了与第五公设的等价公设，即这些公设在逻辑上与第五公设互为充要条件，因此证明这些公设也等于证明了第五公设。
在这些替代公设中，最著名的有以下四个：
■普罗克洛斯公理：
如果一条直线与两条平行线中的一条相交，也必定与另一条平行线相交。
■等距公设：
两条平行线之间距离处处相等。
■普莱费尔公设：
经过已知直线外一点，可以作一条，而且只能作一条与已知直线平行的直线。
■三角形公设：
三角形三个内角和等于180度。
4描述集合论
描述集合论（Descriptivesettheory）是数学中数理逻辑、集合论的一个分支。
在这一分支中，研究的对象是波兰空间中的“表现良好”的子集合。
数学家们将子集合依照其在拓扑上定义的复杂程度分成波莱尔集（Borel集）、解析集、投射集等以及更细的分类，并且依照这些类别研究他们的结构以及性质。
描述集合论的起源可以上溯到波莱尔（Borel）、贝尔（Baire）、勒贝格（Lebesegue）等人的工作。
以上这些内容通常又被称为“经典描述集合论”，与之相对应的是所谓的“能行描述集合论”（Effectivedescriptivesettheory）。
能行描述集合论结合了描述集合论和一般递归论的方法，得到了一系列与经典描述集合论平行的结果。
从中得到的一些经典的定理，目前还没有找到不借助于递归论方法的证明。
描述集合论的许多理论和观念与数学上的其它领域都有关连，包含数学分析、实分析、泛函分析、拓扑群论等等。
5波兰空间
在数学中，波兰空间是指“可分可完备距离化空间”。
具体说，就是一个这样的拓扑空间，它拥有一个可数稠密子集——可分性；
并且，它还同胚于一个完备距离空间。
波兰空间这个名称来自于最初的研究者雪平斯基（Sierpiński），库拉妥斯基（Kuratowski），塔斯基（Tarski）等人。
在当代数学中，波兰空间研究主要集中在描述集合论中。
常见的波兰空间的例子如：
实直线，有限维空间，巴拿赫空间，康托集，贝尔空间等。
一个波兰空间X的子集合A仍然是波兰空间的充分必要条见是：
A能够表示成X中一列开集的交集。
因此，开区间（0,1），无理数全体等，做为实直线的子集，都仍然是波兰空间。
6巴拿赫空间
巴拿赫空间理论（Banachspace）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach）一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
巴拿赫空间（Banachspace）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.（T.W.）以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。
1909年里斯﹐F.（F.）给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重大事件。
还有一个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间（1&
lt;
p&
∞）。
在1910～1917年﹐人们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表示﹐则照亮了通往对偶理论的道路。
人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间﹐并且引进全连续算子的概念。
当然还该想到希尔伯特空间。
正是基于这些具体的﹑生动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。
Banach空间
完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
是用波兰数学家巴拿赫（StefanBanach）的名字命名的。
巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。
这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。
巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无穷空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
同时也是泛函分析研究的基本对象之一。
里斯。
F在1909年就给出了『0，1』上连续线性泛函的表达式。
所以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空间的一种初等性质。
7拓扑空间
拓扑空间topologicalspace
赋予拓扑结构的集合。
如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。
引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。
下面介绍开集系方法。
在微积分学中，实一维欧几里得空间R′上的开集具有性质：
①任意个开集的并是开集。
②有限个开集的交是开集。
③R′及空集是开集。
对任一非空集合X，若X的一个子集族J满足：
①J中元的任意并在J中。
②J中元的有限交在J中。
③X、在J中，则称J是X的一个拓扑，J中的元称为开集，X连同拓扑J称为一个拓扑空间，记为（X，J）。
对任意x∈X，如果Z的子集U包含含有x的一个开集则U称为x的一个邻域。
如果X的子集A满足X－A是开集，则称X是闭集。
设X是非空集合，令J0＝｛X，｝，称（X，J0）为平庸拓扑空间，J0为平庸拓扑。
令J1＝｛A｜A&
Igrave;
X｝，称（X，J1）为离散拓扑空间。
在离散拓扑空间中任意子集均是开集。
对实数集R1，令J＝｛B&
R1｜"
x∈G，∈ε＞0，使（x－ε，x＋ε）&
G｝，则（R1，J）就是一维欧几里得空间。
类似地可定义n维欧几里得空间Rn。
设X是拓扑空间，如果X可写为非空开集的分离并，则X称为连通空间；
如果对X中任意两点，存在X中的道路相连接，则称X为道路连通空间；
如果X的任意开集作成的覆盖存在有限子覆盖，则称X为紧空间；
如果X中的任意序列有收敛子列，则称X是列紧空间；
如果X中任意两点都存在不相交的邻域，则称X是豪斯多夫空间（或T2空间）。
上面所提连通性，道路连通性、紧性、列紧性、T2性均是拓扑不变性。
连通空间上的实值连续函数具有介值性，即若f∶X→R1连续，X是连通空间，r∈（f（x1），f（x2），则存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）＝r。
紧空间上的实值连续函数具有最大值、最小值。
紧空间上的连续函数一致连续。
若A&
Rn，则A为紧，当且仅当A是有界闭集。
8实直线
数学上，实数轴就是实数的集合R。
然而，这一术语通常在R被当作某种空间（诸如拓扑空间，向量空间）的时候使用。
尽管至少早在古希腊时代，人们就开始研究实数线，但直到1872年，它才被严格地定义。
而自始至终，它一直是在数学的许多分支中扮演重要角色的实例。
定义
实数线具有一个标准拓扑，它可以通过两种等价的方法引入。
第一，实数满足全序关系，它们具有序拓扑。
第二，实数能够通过绝对值d（x,y）:
=|y−x|的度量转换到度量空间。
这一度量给出R上等价于序拓扑的拓扑。
作为拓扑空间，实数线是个1维的拓扑流形。
它既是可缩空间、局部紧致空间，也是仿紧致空间、第二可数空间。
它还具有标准可微结构，使它成为可微流形。
（由于可微同构，该拓扑空间只支持一个可微结构。
）事实上，R是历史上研究这些数学结构的第一个实例，它启示了现代数学这些分支。
（实际上，上述这些术语中的其中一些在没有R的情况下甚至不能被定义。
）
作为向量空间，实数线是实数域R（即其自身）上的1维向量空间
它具有标准内积，使它成为欧几里德空间。
（这个内积就是普通的实数的乘法。
）作为向量空间，它并不引起注意。
实际上是2维欧几里德空间首先被作为向量空间进行研究的。
然而，仍然可以说，由于向量空间首先是在R上进行研究的，它启示了线性代数。
R也是环，甚至是域的主要实例。
实数完备域实际上是第一个被研究的域，所以它也启示了抽象代数。
然而，在纯代数文献中，R几乎不被称为“线”。
9距离空间
距离空间（metricspace），它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定。
设一X是一个非空集，X被称为距离空间，是指在X上定义了一个二元实值函数满足一下三个条件:
1）（非负性）p（x,y）>
=0,而且的充要条件是x=y；
2）（对称性）p（x,y）=p（y,x）；
3）（三角不等式）p（x,z）<
=p（x,y）+p（y,z）对于任意的X中的x,y,z都成立。
这里p叫做X上的一个距离，以p为距离的距离空间记作（X，p）.
10数学分析
数学分析（MathematicalAnalysis）是数学专业的必修课程之一，基本内容是微积分，但是与微积分有很大的差别。
微积分学是微分学（DifferentialCalculus）和积分学（IntegralCaculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算，这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。
后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。
早期的微积分，由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展。
柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“
MathematicalAnalysis”，中文译作“数学分析”。
数学分析的基础是实数理论。
实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。
正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。
数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。
同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。
这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。
从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；
培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；
具备熟练的运算能力与技巧；
提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。
数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
111908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。
他的著名论文《关于集合论基础的研究》是这样开始的：
“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；
因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。
但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。
而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。
面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集合’的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念‘集合’或‘类’为其外延。
康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总体。
肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。
在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。
也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。
这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。
同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。
”
在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。
在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。
他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：
决定性公理（外延公理）、初等集合公理（空集公理、单元素公理、对集公理）、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理（稍稍改变一下原来形式）。
实际上策梅罗的公理系统Z（公理1至7）把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论
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