线性系统的可控性和可观测性Word文档下载推荐.docx
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I
u(0)
记
S[gg|||n1g](8-91)
称(nn)方阵S1为单输入离散系统的可控性矩阵。
式(8-90)是一个非齐次线性方程组,n个方程中有n个未知数u(0),,u(n1),由线性方程组解的存在定理可知,当矩阵S1的秩
与增广矩阵S^x(0)的秩相等时,方程组有解(在此尚有惟一解),否则无解。
注意到在x为任意的情况下,要使方程组有解的充分必要条件是:
矩阵S1满秩,即
rankSn(8-92)
或矩阵S1的行列式不为零,或矩阵S1是非奇异的,即
detS10(8-93)
式(8-92)和式(8-93)都称为可控性判据。
当rankS1Vn时,系统不可控,表示不存在能使任意x(0)转移至任意x(n)的控制。
从以上推导看出,状态可控性取决于和g,当u(k)不受约束时,可控系统的状态转
移过程至多以n个采样周期便可以完成,有时状态转移过程还可能少于n个采样周期。
上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件,而且式(8-90)还给出了求取控制输
入的具体方法。
(2)多输入离散系统的状态可控性
单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统,设系统状态方程为
x(k1)
x(k)Gu(k)
(8-94)
可控性矩阵为
S2
GG川n1G
(8-95)
u(n1)
xG
G川%:
(8-96)
该阵为nnp矩阵,由于列向量u(0),,u(n1)构成的控制列向量是np维的。
式(8-96)
含有n个方程和np个待求的控制量。
由于x是任意的,根据解存在定理,矩阵S2的秩为n时,方程组才有解。
于是多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是
n1
rankS2rank[GGG]n(8-97)
或
detS2S;
0(8-98)
S2的行数总小于列数,在列写S2时,若能知道S2的秩为n,便不必把S2的其余列都计算和列写出来。
另外,用(8-98)计算一次n阶行列式便可确定可控性了,这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单些。
多输入线性定常离散系统的状态转移过程一般可少于n个采样周期(例8-31)。
例8-20设单输入线性定常散离系统状态方程为
1
x(k1)0
2
x(k)
0u(k)
试判断可控性;
若初始状态x(0)
0T,
确定使x(3)0的控制序列u(0),u
(1)
u
(2);
研究使x
(2)0的可能性。
解由题意知
10
02
7
g0
11
rankErank[ggg]=rank0
23n
3
故该系统可控。
可得状
x
(1)
x(0)
gu(0)
0u(0)
x
(2)
gu
(1)
6
2u(0)
u
(1)
x(3)
gu
(2)
12
2u
(1)
0u
(2)
4
1u(0)
令x(3)0,即解下列方程组
0u
(1)
1u
(2)
按式(8-96)求出u(0),u
(1),u
(2)。
下面则用递推法来求控制。
令k=0,1,2,
态序列
其系数矩阵即可控性矩阵
Si,它的非奇异性可给出如下的解
i
u(0)1112
u
(1)22012
u
(2)3114
若令x
(2)0,即解下列方程组
彳u
(1)
容易看出其系数矩阵的秩为2,但增广矩阵
5
11
8
20
6的秩为3,两个秩不等,
组无解,意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。
若该两个秩相等时,
着可用两步完成状态转移。
方程
便意味
例8-21多输入线性定常离散系统的状态方程为
x(k1)x(k)Gu(k)
0,G
试判断可控性,设初始状态为
[-1,0,2]T,研究使x
(1)0的可能性。
解
S2[GG2G]=0
10
由前三列组成的矩阵的行列式不为零,
故该系统可控,一定能求得控制使系统从任意初态
在三步内转移到原点。
由x
(1)
x(0)Gu(0)0,给出
1Gu(0)
设初始状态为
U1(0)
u2(0)
T
102,由于rank0
=rank
0=2,可求得
U1(0)1,U2(0)0,在一步内使该初态转移到原点。
当初始状态为
2123T亦然,
只是U1(0)0,U2(0)1。
但本例不能一步内使任意初态转移到原点。
2•连续系统的可控性
(1)单输入连续系统的状态可控性
单输入线性连续定常系统状态可控性定义为:
t[t°
tf],如果存在无约束的分段连续控制函数u(t),能使系统从任意
初态x(t。
)转移至任意终态x(tf),则称该系统是状态完全可控的,简称是可控的。
设状态方程为
有限时间间隔内
xAxbU
(8-99)
终态解为
x(tf)=eA(tft0)x(t°
)tfeA(tf}bu()d
t0
(8-100)
xx(tf)e
A(tf
t0)
x(t°
)
显然,x的取值也是任意的。
于是有
feA(tf
)bu()d
(8-101)
利用凯莱-哈密顿定理的推论
m(
)Am
Atf
xe
tf
)Ambu()d
Atfm.
eAb
0m()u()d
对多输入系统
xAxBu
记可控性矩阵
S4BAB川An1B
状态可控的充要条件为
rankS4n或detSqS:
0
(2)多输入线性定常连续系统的可控性:
与离散系统一样,连续系统状态可控性只与状态方程中的
(8-106)
(8-107)
(8-108)
A、B矩阵有关。
令
Um
m()u()dm0,1,
to
n1
(8-102)
考虑到
Um是标量,
则有
u°
Atfe
X
AmbumbAb
An1b
u1
(8-103)
m0
un1
S3
b
Ab川An1b
(8-104)
S3为单输入线性定常连续系统可控性矩阵,为(nn)矩阵。
可以证明:
由于各m()
之间线性无关,利用(8-103)式得到的Um是无约束的阶梯序列。
同离散系统一样,根据解的存在定理,其状态可控的充分必要条件是
(8-105)
rankS3n
例8-22试用可控性判据判断图8-21所示桥式电路的可控性。
解选取状态变量:
x1iL,x2uc。
电路的状态方程如下:
X1
1(R1R2L(RR2
只3巳
R3R4
)X1
1(R1L(R1R2
R3
)X2
X2
C(R
R2
R4)x丄
R3R41CR1R2
RT
R4
丄
可控性矩阵为S3bAb=L
1(R1R2
L2(R1R2
1(R2LC(R1R2
R3R4
当R1R4R2R3时,rankS32=n,系统可控;
反之当R1Rt
R2R3,即电桥处于平衡状态
时,rankS3
rankbAbL
1(R1R2
R3R4)
Rsr/,系统不可控,显然,u不
能控制X2。
图8-21电桥电路
图8-22并联电路
例8-23试判断图8-22所示并联网络的可控性。
解网络的微分方程为x1R1C1x1x2R2C2x2u
式中,
X1Uc1
1i1dt
C1
X2
Uc2
C2
i2dt
u
R1C1
rC1
状态方程为
R2C2
于是
rankb
Ab=rank
22
R2C2
、
当r1c1
R2C2时,
系统可控。
当R1
R2,C1C2,有R1C1R2C2,
Ab1
n,系统不可控;
实际上,设初始状态X1(t。
)X2(t。
),u只能使
Xi(t)X2(t),而不能将X1(t)与X2(t)分别转移到不同的数值,即不能同时控制住两个状态。
例8-24判断下列状态方程的可控性
X3
u2
S4
B
AB
a2b
显见S4矩阵的第二、三行元素绝对值相同,rankS323,系统不可控。
1.A为对角阵或约当阵时的可控性判据
当系统矩阵A已化成对角阵或约当阵时,由可控性矩阵能导出更简洁直观的可控性判据。
下面先来研究两个简单的引例。
10b
设二阶系统A、b矩阵为A1,b
0Jb2
bi1b1
其可控性矩阵S3的行列式为detS,detbAbb1b2(21)
b?
2匕2
由detS,0时系统可控,于是要求:
当A有相异特征值(21)时,应存在b10,
0,意为A阵对角化且有相异元素时,只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可
控。
若2i时,则不能这样判断,这时detS,0,系统总是不可控的。
又设二阶系统A、b矩阵为A1,b
01
b2
其可控性矩阵S,的行列式为detS,detbAb
b1b1b2
b;
b21b2
detS,0时系统可控,于是要求,b20,与bi是否为零无关,即当A矩阵约当化且相
同特征值分布在一个约当快时,只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零
行,即可判断系统可控,与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。
以上判断方法可推广到
A阵对角化、
约当化的
n阶系统。
设系统状态方程为
r11
r1p
U1
r21
r2p
U2
(8-109)
Xn
n
rn1
rnp
Up
式中1,,n,为系统相异特征值。
将式(8-109)展开,每个方程只含一个状态变量,状态变量之间解除了耦和,只要每
个方程中含有一个控制分量,则对应状态变量便是可控的,而这意味着输入矩阵的每一行都
是非零行。
当第i行出现全零时,Xj方程中不含任何控制分量,Xj不可控。
于是A矩阵为
对角阵时的可控性判据又可表为:
A矩阵为对角阵且元素各异时,输入矩阵不存在全零行。
当A为对角阵且含有相同元素时,上述判据不适用,应根据可控性矩阵的秩来判断。
X,
「31
r3p
U3(8-110)
rn1
r叩
up
式中,1为系统的
一重特征值且构成一个约当块,
3,
n为系统的相异特征值。
展开式
(8-110)可见,x2,,xn各方程的状态变量是解耦的,上述A对角化的判据仍适;
而X!
方
程中既含X!
又含X2,在X2受控条件下,即使X!
方程中不存在任何控制分量,也能通过X2
间接传递控制作用,使X!
仍可控。
于是A阵约当化时的可控性判据又可表为:
输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行(与约当块其它行所对应的行允许是全零行);
输入矩阵中与相异特征值所对应的行不是全零行。
当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时,适用,也应根据可控性矩阵的秩来判断。
例8-25下列系统是可控的,试自行说明。
例如
0,以上判据不
1)
20x11
2)
3)
110x1
010X2
002X3
U3
X4
U4
X5
1X5
U5
X6
U6
03X22
程为
在前面研究状态空间表达式的建立问题时,曾对单输入
-单输出定常系统建立的状态方
例8-26下列系统不可控的,试自行说明。
U
4•可控标准型问题
Xi
(8-111)
其可控性矩阵为
S3b
Ab
a。
a1
a2
an
Xn1
an1
III
(8-112)
与该状态方程对应的可控性矩阵
定是可控的,这就是式(8-111)
S3是
称为可控标准型的由来。
个右下三角阵,且其副对角线元素均为
1,系
843线性定常系统的可观测性
如果某个状态可直接用仪器测量,它必然是可观测的。
在多变量系统中,能直接测量的状态一般不多,大多数状态往往只能通过对输出量的测量间接得到,有些状态变量甚至根本就不可观测。
须要注意的是,出现在输出方程中的状态变量不一定可观测,不出现在输出方程中的状态变量也不一定就不可观测。
1•离散系统的状态可观测性
其定义为:
已知输入向量序列u(0),,u(n1)及有限采样周期内测量到的输出向量序
列y(0),,y(n1),能惟一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全可观测的,简称
系统可观测。
下面研究多输入-多输出离散系统的可观测条件。
(8-113)
x(k1)x(k)Gu(k)y(k)Cx(k)Du(k)
因为是讨论可观性,可假设输入为0,其解为
x(k)kx(0)y(k)ckx(0)
将y(k)写成展开式
y(0)Cx(0)
y
(1)cx(0)
(8-114)
y(n1)Cn1x(0)
C
X1(0)
y(0)
其向量-矩阵形式为
X2(0)
y
(1)
Cn1
Xn(0)
y(n1)
TC
V1
Cn
(8-115)
(8-116)
称(nqn)矩阵V:
为线性定常离散系统的可观测性矩阵。
式(8-115)展开后有nq个方程,若其中有n个独立方程,便可惟一确定一组的x1(0),,xn(0)。
当独立方程个数多于n时,解会出现矛盾;
当独立方程个数少于n时,便有无穷解。
故可观测的充分必要条件为
(8-117)
rankV|Tn
由于rankV「rank*,故离散系统可观测性判据又可以表示为
rankVrankCT
TCT|||(T)n1CTn
(8-118)
例8-27判断下列线性定常离散系统的可观测性,并讨论可观测性的物理解释。
矩阵有两种情况。
其输出
gu(k),
y(k)Ci(k),
(i1,2)
10,
解计算可观测性矩阵
(1)当i1时:
GT
TCT
2,(
T)2C;
detV1
故系统可观测。
由输出方程
y(k)
X2(k)可见,
在第
k步便可由输出确定状态变量
x2(k)o
由于
y(k1)X2(k
故在第(k+1)步便可确定
X3(k)o
2x2(k)X3(k)
y(k2)X2(k
2x2(k1)X3(k
4x2(k)3x1(k)
y(k),y(k+1),y(k+2)的
故在第(k+2)步便可确定
x1(k)。
该系统为三阶系统,可观测意味着至多观测三步便能由
输出测量值来确定三个状态变量。
(2)
当
2时:
9
Tc;
(
ran
ikV1
故系统不可观测。
X3(k)xdk)
y(k1)
X3(k
3x1(k)
2x3(k)
X1(k
X1(k)
X3(k)
y(k2)
3%(k
1)2x3(k
9xMk)
xdk
1)X3(k
2xdk)
3x3