线性系统的可控性和可观测性Word文档下载推荐.docx

1、Iu（0）记S g g | n 1g （8-91）称（n n）方阵S1为单输入离散系统的可控性矩阵。 式（8-90）是一个非齐次线性方程组， n 个方程中有n个未知数u（0）, ,u（n 1），由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵 S1的秩与增广矩阵 Sx（0）的秩相等时，方程组有解（在此尚有惟一解），否则无解。注意到在 x 为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵 S1满秩，即rank S n （8-92）或矩阵S1的行列式不为零，或矩阵 S1是非奇异的，即det S1 0 （8-93）式（8-92）和式（8-93）都称为可控性判据。当rank S1V n时，系统不可控，表示不存

2、在能使任意 x（0）转移至任意 x（n）的控制。从以上推导看出，状态可控性取决于 和g，当u（k）不受约束时，可控系统的状态转移过程至多以n个采样周期便可以完成，有时状态转移过程还可能少于 n个采样周期。上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且式（ 8-90）还给出了求取控制输入的具体方法。（2）多输入离散系统的状态可控性单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统，设系统状态方程为x（k 1）x（k） Gu（k）（8-94）可控性矩阵为S2G G 川 n 1G（8-95）u（n 1）x GG川 :（8-96）该阵为n np矩阵，由于列向量 u（0）, , u（n 1）构成的控制列向量

3、是 np维的。式（8-96）含有n个方程和np个待求的控制量。由于 x是任意的，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n 时，方程组才有解。于是多输入线性定常散离系 统状态可控的充分必要条件是n 1rank S2 rankG G G n （8-97）或detS2S； 0 （ 8-98）S2的行数总小于列数，在列写 S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余列都 计算和列写出来。另外，用（8-98）计算一次n阶行列式便可确定可控性了，这比可能需要 多次计算 S2的n阶行列式要简单些。多输入线性定常离散系统的状态转移过程一般可少于 n个采样周期（例8-31 ）。例8-20设单输入线性定常散离系统状态

4、方程为1x（k 1） 02x（k）0 u（k）试判断可控性；若初始状态 x（0）0T，确定使x（3） 0的控制序列u（0）,u（1）u（2）;研究使x（2） 0的可能性。解由题意知1 00 27g 01 1rankE rankg g g= rank 02 3 n3故该系统可控。可得状x（1）x（0）gu（0）0 u（0）x（2）gu（1）62 u（0）u（1）x（3）gu（2）122 u（1）0 u（2）41 u（0）令x（3） 0，即解下列方程组0 u（1）1 u（2）按式（8-96）求出u（0） ,u（1） ,u（2）。下面则用递推法来求控制。令 k=0, 1, 2,态序列其系数矩阵即可控

5、性矩阵Si,它的非奇异性可给出如下的解iu（0） 1 1 1 2u（1） 2 2 0 12u（2） 3 1 1 4若令x（2） 0，即解下列方程组彳 u（1）容易看出其系数矩阵的秩为 2，但增广矩阵51182 06 的秩为3,两个秩不等,组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。 若该两个秩相等时,着可用两步完成状态转移。方程便意味例8-21多输入线性定常离散系统的状态方程为x（k 1） x（k） Gu（k）0 ,G试判断可控性，设初始状态为-1 , 0 ,2 T，研究使x（1） 0的可能性。解S2 G G 2G= 010由前三列组成的矩阵的行列式不为零,故该系统可控，一定能求得

6、控制使系统从任意初态在三步内转移到原点。由 x（1）x（0） Gu（0） 0，给出1Gu（0）设初始状态为U1（0）u2（0）T1 0 2 ，由于 rank 0=rank0 =2，可求得U1（0） 1,U2（0） 0 ,在一步内使该初态转移到原点。当初始状态为2 12 3T亦然,只是U1（0） 0, U2（0） 1。但本例不能一步内使任意初态转移到原点。2连续系统的可控性（1）单输入连续系统的状态可控性单输入线性连续定常系统状态可控性定义为:t t,tf，如果存在无约束的分段连续控制函数 u（t），能使系统从任意初态x（t。）转移至任意终态x（tf），则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。

7、设状态方程为有限时间间隔内x Ax bU（8-99）终态解为x（tf） = eA（tf t0）x（t） tfeA（tf bu（ ）dt0（8-100）x x（tf） eA（tft0）x（t）显然，x的取值也是任意的。于是有f eA（tf）bu（ ）d（8-101）利用凯莱-哈密顿定理的推论m（）AmAtfx etf）Ambu（ ）dAtf m.e A b0 m（ ）u（ ）d对多输入系统x Ax Bu记可控性矩阵S4 B AB 川 An 1B状态可控的充要条件为rank S4 n 或 detSqS： 0（2）多输入线性定常连续系统的可控性:与离散系统一样，连续系统状态可控性只与状态方程中的（8

8、-106）（8-107）（8-108）A、B矩阵有关。令Umm（）u（ ）d m 0,1,to,n 1（8-102）考虑到Um是标量，则有uAtf eXAmbum b AbAn 1bu1（8-103）m 0un 1S3bAb 川 An1b（8-104）S3为单输入线性定常连续系统可控性矩阵， 为（n n）矩阵。可以证明：由于各 m（）之间线性无关，利用（8-103 ）式得到的Um是无约束的阶梯序列。同离散系统一样，根据解 的存在定理，其状态可控的充分必要条件是（8-105）rank S3 n例8-22试用可控性判据判断图 8-21所示桥式电路的可控性。解 选取状态变量：x1 iL, x2 uc

9、。电路的状态方程如下:X11 （ R1R2 L（R R2只3巳R3 R4）X11 （ R1 L（R1 R2R3）X2X2C（RR2R4 ）x 丄R3 R4 1 C R1 R2RTR4丄可控性矩阵为 S3 b Ab = L1 （ R1 R2L2 （R1 R21 （ R2 LC （R1 R2R3R4当R1R4 R2R3时，rank S3 2=n，系统可控；反之当 R1 RtR2 R3，即电桥处于平衡状态时，rankS3rank b Ab L1 （ R1R2R3R4 ）Rs r/，系统不可控，显然，u不能控制X2。图8-21 电桥电路图8-22并联电路例8-23 试判断图8-22所示并联网络的可控性

10、。解 网络的微分方程为 x1 R1C1 x1 x2 R2C2x2 u式中，X1 Uc11 i1dtC1, X2Uc2C2i2dtuR1C1r C1状态方程为R2C2于是rank bAb = rank2 2R2 C2、当 r1c1R2C2 时，系统可控。当R1R2 , C1 C2 ，有 R1C1 R2C2 ，Ab 1n，系统不可控；实际上，设初始状态 X1（t。） X2（t。），u只能使Xi（t） X2（t），而不能将X1（t）与X2（t）分别转移到不同的数值，即不能同时控制住两个状态。例8-24 判断下列状态方程的可控性X3u2S4BABa2b显见S4矩阵的第二、三行元素绝对值相同， rank

11、 S3 2 3，系统不可控。1. A为对角阵或约当阵时的可控性判据当系统矩阵A已化成对角阵或约当阵时，由可控性矩阵能导出更简洁直观的可控性判 据。下面先来研究两个简单的引例。1 0 b设二阶系统A、b矩阵为 A 1 ,b0 J b2bi 1b1其可控性矩阵S3的行列式为 detS, detb Ab b1b2（ 2 1）b? 2匕2由det S, 0时系统可控，于是要求：当 A有相异特征值（2 1）时，应存在b1 0 , 0，意为A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。若2 i时，则不能这样判断，这时 det S, 0,系统总是不可控的。又设二阶系统A、b矩阵为 A

12、 1 ,b0 1b2其可控性矩阵S,的行列式为 detS, detb Abb 1b1 b2b；b2 1b2det S, 0时系统可控，于是要求， b2 0,与bi是否为零无关，即当 A矩阵约当化且相同特征值分布在一个约当快时， 只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。以上判断方法可推广到A阵对角化、约当化的n阶系统。设系统状态方程为r11r1 pU1r21r2pU2（8-109）Xnnrn1rnpUp式中1, , n，为系统相异特征值。将式（8-109）展开，每个方程只含一个状态变量，状态变量之间解除了耦和，只要每个方程

13、中含有一个控制分量，则对应状态变量便是可控的，而这意味着输入矩阵的每一行都是非零行。当第i行出现全零时，Xj方程中不含任何控制分量， Xj不可控。于是 A矩阵为对角阵时的可控性判据又可表为： A矩阵为对角阵且元素各异时，输入矩阵不存在全零行。当A为对角阵且含有相同元素时，上述判据不适用，应根据可控性矩阵的秩来判断。X,31r3pU3 （ 8-110）r n1r叩up式中，1为系统的一重特征值且构成一个约当块，3,n为系统的相异特征值。展开式（8-110）可见，x2, , xn各方程的状态变量是解耦的， 上述A对角化的判据仍适；而X!方程中既含X!又含X2，在X2受控条件下，即使 X!方程中不存

14、在任何控制分量，也能通过 X2间接传递控制作用，使 X!仍可控。于是 A阵约当化时的可控性判据又可表为：输入矩阵中 与约当块最后一行所对应的行不是全零行（与约当块其它行所对应的行允许是全零行） ；输 入矩阵中与相异特征值所对应的行不是全零行。当A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块时, 适用，也应根据可控性矩阵的秩来判断。例8-25 下列系统是可控的，试自行说明。例如0 ，以上判据不1）2 0 x1 12）3）1 1 0 x10 1 0 X20 0 2 X3U3X4U4X51 X5U5X6U60 3 X2 2程为在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾对单输入-单输出定常系统建立的状态方例8

15、-26 下列系统不可控的，试自行说明。U4可控标准型问题Xi（8-111）其可控性矩阵为S3 bAba。a1a2anXn 1an 1III（8-112）与该状态方程对应的可控性矩阵定是可控的，这就是式（8-111）S3是称为可控标准型的由来。个右下三角阵，且其副对角线元素均为1，系843线性定常系统的可观测性如果某个状态可直接用仪器测量， 它必然是可观测的。 在多变量系统中，能直接测量的 状态一般不多，大多数状态往往只能通过对输出量的测量间接得到， 有些状态变量甚至根本 就不可观测。须要注意的是，出现在输出方程中的状态变量不一定可观测， 不出现在输出方 程中的状态变量也不一定就不可观测。1离散

16、系统的状态可观测性其定义为：已知输入向量序列 u（0）, ,u（ n 1）及有限采样周期内测量到的输出向量序列y（0）, ,y（n 1），能惟一确定任意初始状态向量 x（0），则称系统是完全可观测的， 简称系统可观测。下面研究多输入-多输出离散系统的可观测条件。（8-113）x（k 1） x（k） Gu（k） y（k） Cx（k） Du（k）因为是讨论可观性，可假设输入为 0,其解为x（k） kx（0） y（k） c kx（0）将y（k）写成展开式y（0） Cx（0）y（1） c x（0）（8-114）y（n 1） C n 1x（0）CX1（0）y（0）其向量-矩阵形式为X2（0）y（1）C

17、n1Xn（0）y（n 1）T CV1C n（8-115）（8-116）称（nq n）矩阵V：为线性定常离散系统的可观测性矩阵。式（ 8-115）展开后有nq个方程, 若其中有n个独立方程，便可惟一确定一组的 x1（0）, ,xn（0）。当独立方程个数多于 n时, 解会出现矛盾；当独立方程个数少于 n时，便有无穷解。故可观测的充分必要条件为（8-117）ran kV|T n由于rankV rank*，故离散系统可观测性判据又可以表示为rankV rank CTTCT | （ T）n1CT n（8-118）例8-27 判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。 矩阵有两种情况。

18、其输出gu（k）,y（k） Ci（k）,（i 1,2）1 0,解计算可观测性矩阵（1）当i 1时:GTTCT2 ,（T）2C；detV1故系统可观测。由输出方程y（k）X2（k）可见,在第k步便可由输出确定状态变量x2 （ k） o由于y（k 1） X2（k故在第（k+1）步便可确定X3（k） o2x2（k） X3（k）y（k 2） X2（k2x2（k 1） X3（k4x2 （k） 3x1（k）y （k）, y （k+1）, y （ k+2）的故在第（k+2）步便可确定x1 （k）。该系统为三阶系统，可观测意味着至多观测三步便能由输出测量值来确定三个状态变量。（2）当2时：9,Tc；,（ranikV1故系统不可观测。X3（k） xdk）y（k 1）X3（k3x1 （k）2x3（k）X1（kX1（k）X3（k）y（k 2）3%（k1） 2x3（k9xMk）xdk1） X3（k2xdk）3x3