燕山大学振动理论习题答案Word下载.docx

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；

2-2-8如图2・8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼

cOci

rndl-I+c6hci+k6bb=0

tnl20+ca2O+kb20=O

ccr匕ccrccr

1-4m2l2b2k2ml2

由g=1nc=翌y[mk

a~

2-9图2-9所示的系统中，〃7=lkg,R=224N/m,c=48N.s/m,/i=/=0.49m,I2

=//2,h=//4,不计钢杆质量。

试求系统的无阻尼固有频率©

及阻尼了。

图2-9

{2.26}图T2-26所示的系统中,w=lkg,k=144N/m,c=48N・s/m,厶=/=0・49m,/：

=0.5/,厶=0.25人不计刚杆质量，求无阻尼固有频率©

及阻尼：

。

受力如答案图T2-26o对0点取力矩平衡，有:

m%・厶+C〃3・厶+R&

2•‘2=°

-11

m0+—c0+—kO=O

164

=>

36

"

4m

n©

=6rad/s

丄c

—=2^„m

c1

^==0.25

\x

陌

代2

、、、

nt

第三章单自由度系统的强迫振动

16/?

?

2©

3-1如图3・1所示弹赞质量系统中，两个弹赞的连接处有一激振力P（t）=P0sincoto试求质量块的振幅。

图3-1

设弹赞1,2的伸长分别为□和X2,则有，

由图

（1）和图

（2）的受力分析，得到

（B）

（C）

k1x1=k2x2+PQsiiicot

tnx=-k2x2

联立解得，

mx=-一x+十一Pqsincot

k1+k2+k2

・・k、krk,d・.

牙+—宁——x=-——=Posm（i）t

（kl+k2）m（k1+K2）m

p=nzz

所以"

Vw<

v2）,n=o,得,

h=1=P°

1

J（加-C+⑵S）'

kJ（1一才），+（2G尸h1_（£

）2

Pn

2

-

3

图

Posm6X

3-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力P（t）=P0smcotf写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量加作上下振动的振幅值：

（1）系统发生共振；

（2）血等于固有频率©

的一半。

图

（1）为系统的静平衡位置，以&

为系统的广义坐标，画受力如图

（2）

2/・c・（2/・&

）—3/・k（&

・3/）+3/qsin初

又I=ml2

...0+兰0+竺0=J_4sin初

mmml

9k

Pn=—

in

2“生/7=M

mml

1）系统共振，即1儿

a）=-P

fl

2）2

hl

4P"

込xl

ml

27kY4c29knrin

3-3建立图3・3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率©

，阻尼比J以及稳态响应振幅。

11

、nsinco/

图3-3

以刚杆转角©

为广义坐标，由系统的动量矩定理

4l2m（p=-k（l（p-xs）l-cl2（p

（p+—（p+—（p=—s]ncot

4/774/77I

丄=亠/?

_±

L八皀

令,

4/W,Pn&

叩“，4/7?

/,Pn得到

B申=—==

J（加一/）'

+⑵3）'

B=B02l=

p‘（1斗+（2上与J（lW+（26），

VPnPnPn

3-4

一机器质量为450kg,支撑在弹簧隔振器上，弹费静变形为0.5cm,机器有一偏心重，产生偏心激振力Po=2.254co2/g,其中Q是激振频率，g是重力加速度。

试求：

（1）在机器转速为120017mm时传入地基的力；

（2）机器的振幅。

设系统在平衡位置有位移x,则mx+kx=FQ

・・kF。

x+—x=—

即mmk=aiL

又有mg=k»

则6

（1）

F22co

B=——几=—®

=40兀retd/所以机器的振幅为k1-2-

（2）且几,A（3）

p2=L=-L

又有”〃7氏（4）

将

（1）

（2）（4）代入

（2）得机器的振幅B=0.584111111

则传入地基的力为卩丁=kB=514.7N

2-9一个粘性阻尼系统在激振力^（0=^0作用下的强迫振动力为

/、

a（/）=Bsina）t+—

S,已知尸0=激振力作的功叱及吧。

由己知可得：

P⑴=Pqsuiwt=19.6sin20刃x（t）=Bwcos（wf+£

）=龙cos（20加+£

Wi=J；

P（t）x（t）df

=[19.6sm20^r-^cos（20^r+—Wr

Jo6

=-4.9y/3心霁刃I；

-4.9^£

（1-cos80加）df

=-15.39J

同理可得：

W2=J；

P（f）x（f）df

Ji=j。

4019.6sin20加-^cos（20^r+—）dt

=0.0395J

3-5证明：

粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为

=¥

（1-，尸+（2勿）2

证明

AE=-cccrB2cos（曲-（p）clt=-zrccoB2

3-6单自由度无阻尼系统受图3・6所示的外力作用，已知X0）=i（0）=0o试求系统的响应。

2_k由于几加，所以有

当h<

t<

t2时，尸⑺一］贝IJ有

由图得激振力方程为

£

0「仏

F（f）彳-片<

t2

0t}t2

当o<

h时，n,则有

3-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3・7所示激振力的响应。

解：

F（r）=PQ（i--）

当时，「则有

砂订肖恥一扑吹（"

宀卽十

当时，F（Q=O,则有

M1T

X0=f——PQ（l--）sinpn（t-r）dr+O

J。

mpn

pi

=-r{一cos/和+-—[sinpnt一sinpn（t一fJ]}kPng

3-8图3・8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹赞的刚度R以及车

辆的水

平行驶速度-道路前方有一隆起的曲形地面：

（.2龙A

ys=a1-cos——x

（1）试求车辆通过曲形地面时的振动；

（2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。

由牛顿定律，可得系统的微分方程为，my=~k^y一儿）

儿打1Y0S空X

由曲形地面：

I1

2/rF（t）=ka（\-cos——x）得到系统的激振力为，/。

•••X=V/

2龙

/.F（r）=kci（l-cos—vt）

W）=I空厶inpna-r）dr=Jompn

=a（l-cospnt）-

・「sin（几+a））tsin（几-a））t、rcos（/?

„+a））tcos（pn-a））t

ap”{sm—-+—]+cosP/lt[—山—乙+——-

（1）车通过曲形地面时°

5/5人的振动为

-[Tsuipn（t-r）dr-『cos勿sinpH（t-r）dr]mpnJoJo

匕—]

2（几+血）2（几一<

y）」2（pn+co）2（p„-co）加一

rpncos劲pncospttaz&

-ap」——r-———]=a+———（血・cospnt-p;

coscot）

=aQ_cospnt）（p；

_矿）（？

_矿）p；

-w

（2）车通过曲形地面后的振动

车通过曲形地面后1n人以初位移》&

）和初速度y（，j作自由振动，即胞）=.+右acos以-P；

cos.OXO二步5sm以+阮ST）

y（/）

y（0=）G）cosptt（/—/】）+sinpn（/一/J

由公式几,得到车通过曲形地面后的振

动响应为

心总Tn）

或积分为

y3）=匚F'

T）Sinpn（r一r）dt=

-[f'

sinpn（t-r）dr-「coscorsinpn（t-r）dr]mpnJoJo

ora「z、

=———[cospnt-cospn（/_人）

Pn-少

3-9图3・9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。

试求弹赞从接触地面至反跳脱离接触的时间。

3-10图3J0所示的箱子从高/?

处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量〃7运动，并且箱体质量远大于加。

若箱子触地后不再跳起，试求：

（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；

（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。

4-

1图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方冋运动，假设加=〃人=〃°

=〃?

，

kl=k2=k.=k4=k5=k6=k。

试求系统的固有频率及振型矩阵

图4"

如图选择广义坐标。

求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

由特征矩阵B=K-/rM的伴随矩阵的第一列，

（3k-mp2）2-k2adjB⑴=k2+k（3k-nip2）

k2+k（3k-mp2）

将Pl■]lm代入得系统的第一阶主振型为

A⑴=（11l）r

A㈢满足如下关系：

（A⑴JMA⑵=o,（K-p；

M）Au）=0

展开以上二式得，九⑴+人缪+鸡〜0。

取4严=0,4严=-1,可得到鸡）=1。

即有

A⑺=（-10l）r

A⑴满足如下关系：

（Aw）rM4⑶=0,（A⑺丫MA⑶=0（K-庆M）A⑶=0展开以上二式得，Q+©

+©

=°

-人⑶+覆=°

联立得八f。

取A⑶=1，皆=1,可得到力缪=-2。

即得

A⑶=（1-2l）r

主振型矩阵为

_1-11_

A=10-2

111

图4-2

4-2试计算图4-2所示系统对初始条件a0=[0000『和i0=[v00vf的响应。

在习题4-6中己求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为

-1

1

十⑴

屮）

A⑴屮））=

1-V2

1+V2

P

/

-（1-V2）

-（1+V2）

_1

-1■

1+V2

0o-

V2-1

-1-V2

M=

Hl

00

m0

0m

主质量振型为

■4.000

MP=A’MA=m

-0.414

4.000

13.657

An

正则坐标初始条件为

0.5000

-0.6573

-0.2706

0.2706

0.6533

-0.5000

'

0.50000.50000.50000.5000’

卩000]

・«

99

-0.6533-0.27060.27060.6533

0100

0.5000-0.5000-0.50000.5000

0010

-0.27060.6533-0.65330.2706_

]o00〔

上

0.50000.50000.5000

-0.27060.27060.6533

-0.5000-0.50000.5000

0.6533-0.65330.2706

O.5OOO

-0.6533

x,Y（0）=A[1V仪0=0,

“（°

）

10

01

一0.2706

=y/m（v0v

0）r

正则坐标的响应为

xvl=y[mvt

Xn\

迈sin/y

其中频率

最终得到响应，由

x=A^x?

vl+A^x

COS〃3/

从6—6中可得主频率和主振型矩阵为

由质量矩阵

门=0、p2=

rni

、0

k_

m

Mp=A/MAp=4w

加丿

2->

/2

可求出主质量矩阵

则正则振刑矩阵为

-（2+VI）

虫

返

2+^2

-（2+>

/2）

屁2]

V2

>

/2-2

-V2

x/2

于是

xn（o）=an-1x0=（o

2+5/2

2>

of

Xn（O）=An-1Xo=（v7^0

于是得

X、严文ni（O”=W斬

=^N2（0）sm/V=0

■Pi'

XN3（0）.vy/m.«

XN5=—_■—smpj=smpj

AP,

XN4（O）

XN4=-v7smp4r=0

所以响应为

x=An%+An⑵Xn2+AN（3）XN3+AN（4）XN4,

「4.000

Mp=AMA=m\

4-3试确定题4-2的系统对作用于质量/wi和质量加4上的阶跃力=p4=p的响应。

4-4如图4-4所示，己知机器质量为"

=90kg,吸振器质量为他=2.25kg,若机器上有一偏心质量m'

=0.5kg,偏心距e=lcm,机器转速/?

=180017m。

（1）吸振器的弹赞刚度也多大，才能使机器振幅为零？

（2）此时吸振器的振幅企为多大？

（3）若使吸振器的振幅也不超过2mm,应如何改变吸振器的参数？

第六章弹性体系统的振动

6.1一等直杆沿纵向以速度V向右运动，求下列情况中杆的自由振动:

（1）杆的左端突然固定;

（2）杆的右端突然固定;

（3）杆的中点突然固定。

图6-1

解；

（1）杆的左端突然固定；

杆的初始条件为：

心°

）=MoW=O“（禺°

）=V

卩=警,i=1,3,5"

i（x）=9sm^x,7=l,3,5有题可知2/2/

D-sin

21丿

（O）=J：

sin昴加“⑼"

21

=PAVD-

必（O）.,

〃,=smp}

所以有：

必进而有：

/、乙/\吕小・i兀x2/2/.8V7吕1.irrx.\7ta

W（^U=S"

〃（'

）=EDism〒pAVDLLsmpj=十工-sm—-sin—盘器話二21i7t\7ta旷5翕5厂2/2/

%弘全部改成：

6

图6-2

6-2图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，

（1）若受到均匀分布力p（x）十的作用，试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；

（2）若杆上作用的轴向均匀分布干扰

力为^sin劲，试求杆的稳态强迫振动。

A0时的应变为EA

杆的初始条件为

3訂;

詈曲二涪

Mo（X）=0

一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为i兀a彳・、

P=亍0=1,3,5……）

•

S（x）=0sin知0=1,3,5……）

将主振型代入上式归一化为

Mi兀、

pA（Dism—x\dx=1

D严

以正则坐标表示初始条件为

〃”（0）=J：

PM（讪sm号皿=器2善（誉—令〃,（°

）=0（/=1，3,5……）

等9負⑶碍丄）

2E「7T2in

以正则坐标表示对初始条件的响应为

〃产⑺（0）cos/V

于是杆的自由振动为

16F0/®

1.inxilia

杆左端固定端，右嘉为自由端m（xJ）=U（x）（Acospt^Bsmpt）

U（x）=Ceos—+£

）sin—cia

边界条件

得固有频率，主振型

Pi=

Ui（x）=Djsill

⑵—1）龙

1=1,2,

二.iTD：

z,i7ta门.\7ta、"

W）=Esui—（A,,cos—t+Bisul^-0c*"

*】〉，尸•••••

杆在X处的应变

F°

.

—j—•'

s=r——dx

0J。

EA

_Fox2

~2EAI

初始条件

F

2EAI

u（xfi）=Mo（x）=0

（心135…）

（心1,3,5…）

（2）解：

因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为

p=i竺

Ui（x）=Dsin—x

将主振型代入归一化条件，得

得到正则振型

又第1个正则方程为

7+pF=J：

q（x，fMdx

.in.in曲sin——xdx2/

2DFz

=—S1116X（1,3、5…）

irt

所以可得正则坐标的稳态响应为

〃（）=/「二sin効

杆的稳态响应振动为

Cv）=Su几⑴=Eu几⑴

匸1,2,-Pl,3.5,…

4代sin曲吕1•衍

=>

—Sill—X

pA5,=w./（A2-^2）21

i/ra

其/F

6-3试写出图6・3所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。

U（X）=Ccos—x+£

）siii—x

aa

u（x,t）=U（x）（Acospt+Bsiiipt）

du小ppzx门.、

“c、八——=D—cos—x（Acospt+Bsinpt）

由U（0）=0,得C=0,dxaci

=-Dp2sin—x（Acospt+Bsinpt）Ora

EAD—cos—/=mDp1sin—/-/:

）siii—/

由条件

（2）得adaa

EA—cos—I=（nip2-k）sin—laaa

...泌心EAp

a-k）

这就是我们所要求的频率方程

fQpAUiUJdx=O（i^j）

fQpAUiUjdx=Mpj（i^j）MpJ为第j阶主质量

所以主振型关于质量的正交性

主振型关于刚度的正交性为

（1）该题中杆的振动方程为：

u（x,t）=t7（x）[4cos/”+Bsinpt]”<

]>

（a2=E/p）

其中U（x）=Ccos（j）x/a）+Dsin（px/a）

由于边界条件中U（0）=0

代入U（x）中得C=0

再将U（x）代入＜1＞中，由＜1＞知：

得:

亠p2_k）=EA匕aa

aplEA

—tan—=——；

panip・-k

即：

⑵己知方程加字諾（探雲）oVdxox

dxdx

将v1＞代入该式中得$（EA学）=-pirAUdxdx

取一特解S,p；

及另一特解

得斗（EA牛）=-p；

ApUi…….＜2＞

duEA丟

由＜2＞乘并对杆积分得仙叙已人警）dx=_p汀:

ApUg所以5（唸）|。

警警dx=-p江ApU吓.…

EA%

由&

得：

及"

（0）=0

代入<

3>

得p；

gUQUj（/）+[ApUiUjdx]=^EAU'

p'

/x+kUt（/）（/.（/）..…<

4>

i,j互换

p][mU,.Q）U）（/）+[ApUiUjdx]=^EAU；

U]d