01极值点偏移概念.docx

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01极值点偏移概念

专题01极值点便宜的概念

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点．如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．

若相等变为不等，则为极值点偏移：

若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：

若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏．

如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏．

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1．若函数存在两个零点，且，求证：

（为函数的极值点）；

2．若函数中存在，且满足，求证：

（为函数的极值点）；

3．若函数存在两个零点，且，令，求证：

；

4．若函数中存在，且满足，令，求证：

．

三、问题初现，形神合聚

★函数有两极值点，，且．

证明：

．

【解析】令，则，是函数的两个零点．

令，得，

令，则，

，可得在区间单调递减，在区间单调递增，

所以，

令，

则，

当时，，单调递减，有，

所以，

所以，

因为，，在上单调递减

所以，即．

★已知函数的图象与函数的图象交于，，过的中点作轴的垂线分别交，于点，，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？

若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】设，，，则，

点，的横坐标，

，是函数的两个零点，

原问题即探究，的大小关系，

即的符号，

实质也是探究的极值点是否偏移中点．

四、招式演练

1．已知函数f（x）=xe−x（x∈R）

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值;

（Ⅱ）若x∈（0,1）,求证:

f（2−x）>f（x）;

（Ⅲ）若x1∈（0,1）,x2∈（1,+∞）,且f（x1）=f（x2）,求证:

x1+x2>2.

【答案】

（1）在（）内是增函数,在（）内是减函数.在处取得极大值且

（2）见解析（3）见解析

【解析】

解：

=（1﹣x）e﹣x

令，则x=1

当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：

x

（﹣∞，1）

1

（1，+∞）

+

0

﹣

f（x）

↗

极大值

↘

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

∴f（x）在x=1处取得极大值；

（Ⅱ）证明：

令g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）

则g（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2

∴g（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x

∵当时,,从而

所以,从而函数在是增函数.∵e﹣x＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数

又∵g

（1）=0∴0

（1）=0

即当0

（Ⅲ）证明:

∵

∴

由（Ⅱ）得:

∵

∴

∵在（）内是减函数

∴

即

2．已知函数f（x）=-x2+e•f′（）x．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若存在x1，x2（x1＜x2），使得f（x1）+f（x2）=1，求证：

x1+x2＜2．

【答案】（Ⅰ）在R上单调递增；（Ⅱ）见解析

【解析】

（I）f′（x）=e2（x-1）-2x+e•f′（）．

令x=，则f′（）=-1+e•f′（），解得f′（）=．

∴f′（x）=e2（x-1）-2x+1．f″（x）=2e2（x-1）-2=2（ex-1+1）（ex-1-1），

时单调递增；时单调递减，

∴x=1时，函数f′（x）取得极小值即最小值，∴f′（x）≥f′

（1）=0，

∴函数f（x）在R上单调递增．

（II）由（I）可得：

函数f（x）=-x2+x在R上单调递增．

要证明：

x1+x2＜2⇔x1＜2-x2⇔f（x1）＜f（2-x2），

又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）＜f（2-x2）⇔1-f（x2）＜f（2-x2），

即f（x2）+f（2-x2）-1＞0，f

（1）==，则x1＜1＜x2．

令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=-（2-x）2+2-x+-x2+x=+-2x2+4x-2，x＞1，g

（1）=0．g′（x）=-e2（1-x）+e2（x-1）-4x+4，

g″（x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-4≥0，∴g′（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴g′（x）＞g′

（1）=0，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴g（x）＞g

（1）=0，因此结论x1+x2＜2成立．

3．已知函数在内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a为常数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：

x1+x2＞2.

【答案】

（1）a＞1；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）因为,

由题意知x1，x2是导函数的变号零点,

令,则,所以在上单调递增,

又,所以,

所以x1，x2是的两个零点,即,则,

又令,则g（x1）=g（x2）,

从而只需直线y=a与函数g（x）的图象在x∈（0,+∞）上有两个交点,

由可得当时,；当时,,

所以g（x）在（0,1）递减,在（1,+∞）递增,

从而,

所以a＞1.

（2）证明:

由

（1）知,0＜x1＜1＜x2,

若不等式x1+x2＞2成立,则g（x2）＞g（2﹣x1）,即g（x1）＞g（2﹣x1）,

令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,则只需F（x）＞0,

而,只需研究的符号,

因为,,

所以,

所以,则,

所以,

即x1+x2＞2成立.

4．已知函数

（1）.求函数f（x）的单调区间及极值;

（2）.若x1≠x2满足f（x1）=f（x2）,求证：

x1＋x2＜0

【答案】

（1）的增区间是，减区间是，在处取得极小值，无极大值；

（2）证明过程详见解析.

【解析】

（1）∵，

∴当时，；当时，.

则的增区间是，减区间是.

所以在处取得极小值，无极大值.6分

（2）∵且，由

（1）可知异号.

不妨设，，则.

令=，8分

则，

所以在上是增函数.10分

又，∴，

又∵在上是增函数，

∴，即.12分

5．已知函数有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：

.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）．

（Ⅰ）设，则，只有一个零点．

（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．

又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

（Ⅲ）设，由得或．

若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以

．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．

6．已知函数f（x）＝ex﹣有两个极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：

x1+x2＞2．

【答案】

（1）（e，+∞）；

（2）见解析

【解析】

（1）解：

f′（x）＝ex﹣ax．

∵函数f（x）＝ex有两个极值点．

∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．

x＝0时不满足上述方程，

方程化为：

a，

令g（x），（x≠0）．

g′（x），

可得：

x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．

g

（1）=e,得到函数草图如图所示.

a＞e时，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有两个实数根．

∴实数a的取值范围是（e，+∞）．

（2）证明：

由

（1）可知：

a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．

证明：

+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，

由，因此即证明：

．

构造函数h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．

h′（x）（x﹣1），

令函数u（x），（0＜x＜2）．

u′（x）．

可得函数u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数v（x）在（0，1）内单调递减．

v（x）≥v

（1）＝0．∴h′（x）（x﹣1）,h（x）在（0，1）内单调递减．

∴h（x）＞h

（1）＝0,

∴．

因此+＞2成立．

7．已知函数，.

（1）若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程.

（2）若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。

①求实数a的取值范围；

②证明：

.

【答案】

（1）或.

（2）①②见解析

【解析】

解:

（1）解法一设经过点的切线与曲线相切于点，

由得，

所以该切线方程为，

因为该切线经过，

所以，解得，

所以切线方程为或.

解法二由题意得曲线的切线的斜率一定存在，

设所求的切线方程为，

由，得，

因为切线与抛物线相切，

所以，解得，

所以所求的切线方程为或.

（2）①由，得.

设，

则，

由题意得函数恰好有两个零点.

（i）当，则，

只有一个零点1．

（ii）当时，由得，由得，

即在上为减函数，在上为增函数，

而，

所以在上有唯一零点，且该零点在上.

取且，

则

所以在上有唯一零点，且该零点在上，

所以恰好有两个零点.

（iii）当时，由得，

若，，

所以在上至多有一个零点.

若，则，

当时，，即在上单调递减．

又，所以在上至多有一个零点.

当时，在上单调递增，在上为减函数，

又，

所以h（x）在上无零点.

若，则，

又当时，，

所以不存在零点．

在上无零点

故当时，；当时，．

因此在上单调递增，在上单调递减．

又。

所以在无零点，在至多有一个零点．

综上，的取值范围为．

②不妨设，

由①知，，且，在单调递减，

所以等价于，即．

由于，

且，

所以．

设，

则，

当时，，所以.

而，故当时，．

从而，故．

8．已知有两个零点

（1）求a的取值范围

（2）设x1、x2是f（x）的两个零点,求证证:

x1+x2>

【答案】

（1）；

（2）见解析

【解析】

（1），

当时，，此时在单调递增，至多有一个零点.

当时，令，解得，

当时，，单调递减，当，，单调递增，故当时函数取最小值

当时，，即，所以至多有一个零点.

当时，，即

因为，所以在有一个零点；

因为，所以，

，由于，所以在有一个零点.综上，的取值范围是.

（2）不妨设，由

（1）知，，.

构造函数，

则

因为，所以，在单调递减.

所以当时，恒有，即

因为，所以

于是

又，且在单调递增，

所以，即

9．已知函数f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．

（1）设g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：

x1+x2＞2．

【答案】

（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；

（2）见解析

【解析】

（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，

∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），

∴g'（x）

令g'（x）＝0，则x＝1，

∴当x＞1时，g'（x）＜0；当0＜x＜1时，g'（x）＞0，

∴g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；

（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，

∴x1，x2是g（x）的两零点，

则g（x1）＝g（x2）＝0，

不妨设0＜x1＜1＜x2，

∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，

∵g（x）在（1，+∞）上是