01极值点偏移概念.docx

1、01极值点偏移概念专题01极值点便宜的概念一、极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同故单峰函数定义域内任意不同的实数，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左

2、偏二、极值点偏移问题的一般题设形式：1若函数存在两个零点，且，求证：（为函数的极值点）；2若函数中存在，且满足，求证：（为函数的极值点）；3若函数存在两个零点，且，令，求证：；4若函数中存在，且满足，令，求证：三、问题初现，形神合聚函数有两极值点，且证明：【解析】令，则，是函数的两个零点令，得，令，则，可得在区间单调递减，在区间单调递增，所以，令，则，当时，单调递减，有，所以，所以，因为，在上单调递减所以，即已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】设，则，点，的横坐标，是函数的

3、两个零点，原问题即探究，的大小关系，即的符号，实质也是探究的极值点是否偏移中点四、招式演练1已知函数 f (x) = x ex (xR) （）求函数 f (x)的单调区间和极值; （）若x (0, 1), 求证: f (2 x) f (x); （）若x1 (0, 1), x2(1, +), 且 f (x1) = f (x2), 求证: x1 + x2 2.【答案】（1）在()内是增函数, 在()内是减函数.在处取得极大值且（2）见解析(3)见解析【解析】解：=（1x）ex令，则x=1当x变化时，f（x）的变化情况如下表：x（，1）1（1，+）+0f（x）极大值f（x）在（，1）上是增函数，在（

4、1，+）上是减函数f（x）在x=1处取得极大值；（）证明：令g（x）=f（x）f（2x）则g（x）=xex（2x）ex2g（x）=（x1）（e2x21）ex当时, ,从而 所以,从而函数在是增函数.ex0，g（x）0，g（x）在1，+）上是增函数又g（1）=00x1时,g（x）g（1）=0即当0x1时，f（x）【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1），当时，此时在单调递增，至多有一个零点.当时，令，解得，当时，单调递减，当，单调递增，故当时函数取最小值当时，即，所以至多有一个零点.当时，即因为，所以在有一个零点； 因为，所以，由于，所以在有一个零点.综上，的取值范围是. （2）不妨设，由（1

5、）知，.构造函数， 则 因为，所以，在单调递减.所以当时，恒有，即 因为，所以于是又，且在单调递增，所以，即9已知函数f（x）xlnxx2ax+1（1）设g（x）f（x），求g（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）见解析【解析】（1）f（x）xlnxx2ax+1，g（x）f（x）lnxx+1a（x0），g（x）令g（x）0，则x1，当x1时，g（x）0；当0x1时，g（x）0，g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）f（x）有两个极值点x1，x2，x1，x2是g（x）的两零点，则g（x1）g（x2）0，不妨设0x11x2，由g（x1）0可得alnx1x1+1，g（x）在（1，+）上是