四边形证明题及综合题Word文档格式.docx
《四边形证明题及综合题Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四边形证明题及综合题Word文档格式.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）若∠G＝，求证：
四边形DEBF是菱形．
11．已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F．
四边形AFCD是菱形．
12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F在边BC上，DE//AB，AF//CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？
并证明你的结论；
（2）现有三个论断：
①AD=AB；
②∠B+∠C
=90°
；
③∠B=2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．
13．已知：
如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N.
（1）写出图中的全等三角形.设CP=，AM=，写出与的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°
.如果可能，请求出此时CP的长；
如果不可能，请说明理由.
14、已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），
过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F.
（1）当点E落在线段CD上时（如图10），
①求证：
PB=PE；
②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？
若不变，试求出这个不变的值，
若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述
（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？
如果能，试求出AP的长，如果
不能，试说明理由．
15、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.
（1）求点的坐标.
（2）请判断△的形状并说明理由.
（3）动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.
16．已知：
如图，梯形中，∥，，，．是直线上一点，联结，过点作交直线于点．联结．
（1）若点是线段上一点（与点、不重合），（如图1所示）
①求证：
．
②设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2）直线上是否存在一点，使△是△面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
17．已知：
O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF（如图4）。
EO=FO；
（2）若正方形的边长为2，OE=2OA，求BE的长；
（3）当OE=2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1=时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形。
18．（本题满分10分，第
（1）小题3分，第
（2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EA⊥CF，垂足为H，
AE与CD相交于点G．
AG=CF；
（2）当点G为CD的中点时（如图1），求证：
FC=FE；
（3）如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC时（如图2），求DG的长．
答案
1．证明：
（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠D=90°
…………………………（2分）
∵∠BAE=∠DAF
∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）
∴BE=DF……………………………………………………………………（2分）
（2）∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠DAC………………………………………（1分）
∵∠BAE=∠DAF∴∠EAO=∠FAO……………………………………（1分）
∵△ABE≌△ADF∴AE=AF…………………………………………（1分）
∴EO=FO，AO⊥EF…………………………………………………………（2分）
∵OM=OA∴四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）
∵AO⊥EF∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）
2．
（1）证明：
联结EG，
∵梯形中，，且、分别是、的中点，
∴EG//BC，且，…………………………（2分）
又∵
∴EG=BF．……………………………………………………（1分）
∴四边形是平行四边形．…………………（2分）
（2）证明：
设AF与EG交于点O，
∵EG//AD，∴∠DAG=∠AGE
∵平分，∴∠DAG=∠GAO
∴∠GAO=∠AGE
∴AO=GO．………………………………（2分）
∵四边形是平行四边形，
∴AF=EG，四边形是矩形…………………………（2分）
3．证明：
（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC
∴∠BAE=∠ADF………………………………………………（1分）
∵AD=DC∴AE=DF…………………………………………（1分）
∵BA=AD∴△BAE≌△ADF，…………………………………（1分）
∴BE=AF．…………………………………………………………（1分）
（2）猜想∠BPF=120°
．……………………………………………………（1分）
∵由
（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．…………………（1分）
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……………………………………（1分）
而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°
，∴=120°
∴∠BPF=∠BAE=120°
．………………………………………………（1分）
4、证：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠DAC=∠BCA.
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC.
∴⊿DAN≌⊿BCM,---------------------------------------------------（3分）
∴AN=CM.---------------------------------------------------------------（1分）
（2）联结BD交AC于点O，
∵AN=NM=2,
∴AC=BD=6,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=DO=3，
在⊿ODN中，OD=3，ON=1，∠OND=,
∴DN=,--------------------------------------（2分）
∴矩形ABCD的面积=.-----------------------（1分）
5.解：
（1）方法1：
延长交于（如图1）.……………1分
在平行四边形中，∥，.
∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形.
∴.……………1分
又∵，，
∵∥，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A.A.S）.∴.…………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥.………………1分
方法2：
将线段的中点记为，联结（如图2）.………………1分
∴∥.…………1分
∴.
∵，，
∴≌（A.S.A）.…………………1分
又∵∥，
∴四边形是平行四边形.…………………1分
∴∥.…………………1分
其他方法，请参照上述标准酌情评分.
（2）如果梯形是等腰梯形，那么四边形是矩形.……………1分
∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.
∴.……………1分
又∵梯形是等腰梯形，∴.
（备注：
使用方法2的同学也可能由≌找到解题方法；
使用方法1的同学也可能由四边形是平行四边形找到解题方法）.
∵四边形是平行四边形，∴，.
∴平行四边形是矩形.……………1分
6．证明：
（1）∵在正方形ABCD中，AD//BC，∴∠A=∠HBE，∠ADE=∠H，…（1分）
∵AE=BE，∴△ADE≌△BHE．………………………………………（1分）
∴BH=AD=BC．…………………………………………………………（1分）
∵CM=GM，∴BM//GH．………………………………………………（1分）
（2）∵在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90º
，
又∵DF=AD，AE=AB，∴AE=DF．∴△AED≌△DFC．………（1分）
∴∠ADE=∠DCF．………………………………………………………（1分）
∵∠ADE+∠GDC=90º
，∴∠DCF+∠GDC=90º
．∴∠DGC=90º
．…（1分）
∵BM//GH，∴∠BMG=∠DGC=90º
，即BM⊥CF．…………………（1分）
7、证明：
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD.
又∵AE∥BF，∴∠BCA=∠CAD.--------------------------1分
∴∠BAC=∠BCA.
∴AB=BC.--------------------1分
同理可证AB=AD.
∴AD=BC.----------------------1分
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.-----1分
又AB=BC，∴□ABCD是菱形.-----1分
8.证明：
（1）∵正方形
∴…………1′
∵是的中点∴…………1′
∵
∴…………1′
∴∴…………1′
∵是的中点∴…………1′
（2）证…………1′∴
∵∴………1′
∵∴
9．证法一：
∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∴AD//DF，∴∠AEF=∠DFC．………………………………………（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………………………………………（1分）
又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．……………………………………（1分）
∴∠AEB=∠DFC，……………………………………………………（1分）
∴∠AEB=∠AEF．………………………………………………………（1分）
∵∠AEB+∠AEF=180º
，∴∠AEF=90º
．……………………………（1分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）
证法二：
联结AF、DE．…………………………………………………………（1分）
∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD，
∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，…………………………（1分）
∴△ABF≌△DCE．……………………………………………………（1分）
∴AF=DE，………………………………………………………………（2分）
10、证明：
（1）∵□ABCD，∴AB∥CD，AB＝CD-----------------------------------1分
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF＝12DC，BE＝12AB
∴DF∥BE，DF＝BE---------------------------------------------------------------------1分
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF-----------------------------------------------------------------------------------1分
∵AG∥BD，∴∠G＝∠DBC＝90°
，∴DBC为直角三角形---1分
又∵F为边CD的中点．∴BF＝12DC＝DF------------------------------------------1分
又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形----------------------1分
11．证明：
∵在梯形ABCD中，AD//BC，∴∠DAE=∠FAE，∠ADE=∠CFE．……（1分）
又∵AE=EC，∴△ADE≌△CFE．…………………………………………（1分）
∴AD=FC，…………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是平行四边形．……………………………………………（1分）
∵BC=2AD，∴FC=AD=BC．……………………………………………（1分）
∵AC⊥AB，∴AF=BC．…………………………………………………（1分）
∴AF=FC，……………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是菱形．……………………………………………………（1分）
12．
（1）解：
线段AD与BC的长度之间的数量为：
．…………………（1分）
证明：
∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．………………………………………………………（2分）
同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得AD=FC．……（1分）
又∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF．……………（1分）
∴AD=BE=EF=FC．
∴．……………………………………………………（1分）
（2）解：
选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）
∵DE//AB，∴∠B=∠DEC．…………………………………（1分）
∵∠B+∠C=90°
，∴∠DEC+∠C=90°
即得∠EDC=90°
．………………………………………………（2分）
又∵EF=FC，∴DF=EF．……………………………………（1分）
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是菱形．…………………………………………（1分）
13．
（1）⊿MBN≌⊿MPN………………………………1
∵⊿MBN≌⊿MPN
∴MB=MP,
∴
∵矩形ABCD
∴AD=CD（矩形的对边相等）
∴∠A=∠D=90°
（矩形四个角都是直角）………………………………1
∵AD=3,CD=2,CP=x,AM=y
∴DP=2-x,MD=3-y………………………………1
Rt⊿ABM中，
同理………………………………1
………………………………1
∴………………………………1
（3）………………………………1
当时，
可证………………………………1
∴AM=CP，AB=DM
∴当CM=1时，
14．
（1）①证：
过P作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N
∵正方形ABCD，∴PM=AM，MN=AB，
从而MB=PN………………………………（2分）
∴△PMB≌△PNE，从而PB=PE…………（2分）
②解：
PF的长度不会发生变化，
设O为AC中点，联结PO，
∵正方形ABCD，∴BO⊥AC，…………（1分）
从而∠PBO=∠EPF，……………………（1分）
∴△POB≌△PEF，从而PF=BO…………（2分）
（2）图略，上述
（1）中的结论仍然成立；
…………（1分）（1分）
（3）当点E落在线段CD上时，∠PEC是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能EP=EC，…………（1分）
这时，PF=FC，∴，点P与点A重合，与已知不符。
……（1分）
当点E落在线段DC的延长线上时，∠PCE是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能CP=CE，…………（1分）
设AP=x，则，，
又，∴，解得x=1.…………（1分）
综上，AP=1时，⊿PEC为等腰三角形
15.解：
（1）解得：
………………………1′
∴点P的坐标为（2，）………………………1′
（2）当时，∴点A的坐标为（4，0）………………………1′
∵……………1′
∴
∴是等边三角形………………………1′
（3）当0＜≤4时，………………………1′
当4＜＜8时，………………………1′
………………………1′
16．
（1）①
在上截取，联结.
又∵∠A＝90°
，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°
.
∴∠AGE＝45°
∴∠BGE＝135°
∵∥.
∴∠C＋∠D＝180°
又∵∠C＝45°
∴∠D＝135°
∴∠BGE＝∠D.……………………………………………………………1分
∵，.
∴.…………………………………………………………………1分
∵.
∴∠BEF＝90°
又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°
∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°
∠A＝90°
∴∠ABE＝∠DEF.……………………………………………………………1分
∴△BGE≌△EDF.……………………………………………………………1分
∴.
（1）②
关于的函数解析式为：
.………………………………1分
此函数的定义域为：
.………………………………………………1分
（2）存在.…………………………………………………………………………1分
Ⅰ当点在线段上时，（负值舍去）.………………1分
Ⅱ当点在线段延长线上时，（负值舍去）.………………1分
Ⅲ当点在线段延长线上时，.………………………………1分
∴的长为、或.
17、
（1）证明：
∵ABCD是正方形，对角线交于点O，
∴AO=BO，AC⊥BD，-----------------------------------------------------------1分
∴∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE，--------------------------------------1分
∵AC⊥BD，OF⊥OE，∴∠AOF==∠BOE，------------1分
∴△AOF≌△BOE，
∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分
∵ABCD是正方形，边长为2，∴AO=,∴OE=2OA=
∵OF⊥OE，EO=FO，∴EF=4，--------------------------------------------------1分
∵△AOF≌△BOE，∴AF=BE，--------------------------------------------------1分
设AF=BE=x，在Rt△EFB中，,即
解得，∵x＞0，∴，即BE=---------------2分
（3）△AOE1是直角三角形。
-------------------------------------------------------------1分
取OE中点M，则OM=EM=,-----------------------------------------------1分
∵OE=2OA，∴OA=，∴OA=OM
∵∠EOB=,∵AC⊥BD，∴∠AOE=,∴△OAM是等边三角形，----------1分
∴AM=OM=EM，∴∠MAE=∠MEA,∴∠MAO=∠MOA，
∵∠MAE+∠MEA+∠MAO+∠MOA=，∴2∠MEA+2∠MOA=，
∴∠MEA+∠MOA=，--------------------------------------------------------------------1分
即△AOE1为直角三角形。
18．
（1）证明：
∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠CDF=90º
，
∵AE⊥CF，∴∠AGD=90º
–∠GAD=∠CFD，………………………（1分）
∴△ADG≌△CDF，…………………………………………………（1分）
∴AG=CF．……………………………………………………………（1分）
（2
升级会员 